Groupes, Anneaux et Arithmétique

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Groupes, Anneaux
et Arithm´etique
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Cours de Licence — Le Mans 2006/2007
Version 3.0
Bruno Deschamps

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Table des mati`eres
I Groupes 5
1 Structure de groupe 7
1.1 Magmas.................................. 7
1.1.1 Lois de compositions internes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Relations d’´equivalences compatibles . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 G´en´eralit´e sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Groupes produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.5 Somme directe dans un groupe ab´elien . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Indice, th´eor`eme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Relations d’´equivalences compatibles et groupes quotients . . 27
1.3.3 Sous-groupes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.4 Propri´et´es des groupes quotients, th´eor`emes d’isomorphisme . 34
2 Etude de quelques familles usuelles de groupes 39
2.1 Groupes monog`enes et cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Caract´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 Sous-groupes d’un groupe monog`ene . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.3 G´en´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.4 D´ecomposition en produit cart´esien d’un groupe cyclique . . 41
2.2 Groupes sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Rappels, propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 σ-orbite .............................. 44
2.2.3 Cycles et transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.4 G´en´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.5 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.6 Le groupe altern´e An...................... 50
2.3 Groupes di´edraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Groupes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 Groupes r´esolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.1 Suites de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.2 Propri´et´es et caract´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Th´eorie de Sylow 57
3.1 Groupe op´erant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.2 Stabilisateurs et orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.3 Points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3

4
3.1.4 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Th´eor`emes de Sylow et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1 Les th´eor`emes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.2 Applications aux groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.3 Classification des groupes finis d’ordre ≤10. . . . . . . . . . 71
II Anneaux 75
4 G´en´eralit´es sur les anneaux 77
4.1 Anneaux et morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1 Anneau .............................. 77
4.1.2 Morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.3 Caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Id´eaux et anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.1 Id´eaux et sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.2 Anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Anneaux euclidiens, principaux, factoriels . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.1 Arithm´etique des anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.2 Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.3 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.4 Anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Anneaux de polynˆomes 97
5.1 Polynˆomes en une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.2 Propri´et´es de l’anneau A[X]................... 99
5.1.3 D´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1.5 Irr´eductibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1.6 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.7 Fonctions polynˆomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Polynˆomes en plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.1 D´efinitions, propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.2 Polynˆomes sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 Arithm´etique des entiers 115
6.1 Pr´esentation axiomatique des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.1 Axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.2 Arithm´etique sur N....................... 117
6.2 L’anneau Zdes entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.2 Propri´et´e de l’anneau Z...................... 120
6.3 L’anneau Z/nZ.............................. 127
6.3.1 L’anneau Z/nZ.......................... 127
6.3.2 Le cryptosyst`eme R.S.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Partie I
Groupes
5