Rapport Séminaire FIP Bits quantiques protégés contre la

Rapport Séminaire FIP
Bits quantiques protégés contre la décohérence
28 février 2009
Table des matières
1 Introduction
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2 Bits classiques : bit de parité
2.1 Code Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Méthode du code de répétition . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Bits quantiques
3.1 Similarités et différences avec les bits classiques . . . . . . . .
3.2 Problème : la décohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Protection contre la décohérence . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Conclusion
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Introduction
Les algorithmes quantiques nous réservent un vaste champ de possibilités. Ils permettraient d’accélerer les résolutions ou la factorisation en produits de facteurs premiers par exemple. Contrairement aux bits classiques
qui prennent comme valeur soit 0 soit 1, les bits quantiques ou qubits peuvent
valoir 0, 1, et toutes combinaisons linéaires de ces deux valeurs.
|ψi = α|0i + β|1i
D’autres propriétés typiquement quantiques joueront des rôles importants
dans les algorithmes, comme les intrications.
Cependant, la maitrise de ces algorithmes n’est pas encore complète.
En particulier, dans les transferts d’informations, une protection des bits
ou des qubits contre les erreurs est nécessaire. En quantique, la difficulté
réside dans l’existance de la décohrence. Nous allons d’abord voir comment
nous traitons ce problème avec les bits classiques. Ensuite, nous exposerons
l’analogie pour les bits quantiques, ainsi que l’insuffisance du modle classique
pour la protection des qubits contre la décohérence.
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Bits classiques : bit de parité
Lors d’un codage d’une information, on prend un message, c’est-à-dire
une suite de bits b1 , b2 , ...bn avec chaque bj = 0 ou 1. Une erreur peut provenir
d’un remplacement, c’est à dire une valeur échangé :
001 −→ 011
ou d’un décalage, c’est-à-dire qu’un bit a été oublié ou rajouté :
001 −→ 1001
Pour pouvoir détecter, nous allons réaliser un test : comparer la parité
du message avant et après tranmission. Pour cela, soit un message.
P = b1 + b2 + ... + bn
Avant la transmission, définissions une nouvelle variable S, appelé syndrôme,
où son premier bit b0 , appelé bit de parité, nous informe du modulo 2 du
message, c’est-à-dire si le nombre de 1 est pair (b0 = 0) ou impair (b0 = 1).
S = b0 + P
On voit que S est toujours pair. C’est ce terme que nous allons transférer,
et contrôler après.
– s’il n’y a aucune erreur, le modulo 2 de S = 0
– s’il y a un nombre impair d’erreurs, le modulo 2 de S = 1
On voit que cette vérification n’est pas très robuste, car s’il y a un nombre
pair d’erreur, le modulo 2 de S vaut 0 aussi, et le message est détecté comme
sans erreur. De plus, avec ce code, il est pas possible de corriger une erreur.
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2.1
Code Hamming
Le code de Hamming est un code linéaire permettant de corriger une
erreur dans une suite de bits. La première chose à faire pour corriger une
erreur est de d’abord déterminer la position j de l’erreur.
Un code de Hamming est dit parfait, c’est-à-dire pour une longueur de
code, il n’existe pas d’autre code plus compact avec les mêmes capacité de
correction. Son rendement est maximal.
L’algorithme général est le suivant, positionnant les bit de parités sur les
positions de puissance de 2, afin de faciliter la détermination du bit erroné :
– tous les positions en puissance de 2 sont utilisées des bits de parité,
tous les autres pour des données.
– chaque bit de parité j ne vérifie la parité que d’un certain nombre de
bits de données : il saute d’abord j − 1 bits, prend en compte les j
prochains, saute j bits, prend en compte j bits (illustré sur la figure
1 On peut vérifier que chaque bits de données est pris en compte par
une combinaison unique de bits de parité.
Fig. 1 – Illustration de l’algorithme général de Hamming : on voit la vérification des bits de parité en horizontal.
De cette manière-là, avec un système de vérification multiple, le code
arrive à identifier exactement la position de l’erreur, jusqu’à deux erreurs
simultanés, et à en corriger une erreur (une seule).
2.2
Méthode du code de répétition
Le code de répétition est une solution simple pour se prémunir des erreurs
de communication dues au bruit dans un canal binaire, un canal uniquement
avec des 0 et 1. La méthode est d’envoyer plusieurs copies de chaque bit.
Donc :
0 −→ 000
1 −→ 111
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Lors du décodage, c’est la majorité qui l’emporte : si on obtient par
exemple 010, on le décode comme étant 0. En effet, il y a plus de probabilité
qu’une seule erreur soit survenu que deux erreurs.
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3.1
Bits quantiques
Similarités et différences avec les bits classiques
En quantique, l’équivalent d’un bit est le qubit. Ce dernier est décris
par un vecteur d’état dans un système quantique à 2 niveaux (équivaut ainsi
partiellement le 0 et le 1). Cependant, la différence entre un bit et un qubit
est qu’alors un bit doit obligatoirement être soit 0 soit 1, un qubit peut être
0, 1 ou toute superposition des deux.
Pour la transmission des données, nous avons une nouvelle difficulté lorsqu’il s’agit des qubits : alors que les méthodes de correction des bits classiques
utilisent la redondance, en quantique il n’est pas possible de copier de l’information dû au théorème de non-clonage. Ceci semble dresser un obstacle
lors de la formulation d’une théorie de correction des bits quantiques. Cependant, Peter Shor a remarqué qu’il était possible d’étendre l’information
d’un qubit à un état hautement intriqué de plusieurs qubits.
Pour la détection des erreurs, nous utilisons en classique les syndrômes.
Ensuite on corrige une erreur en appliquant une opération corrective basée
sur le syndrôme. Pour les erreurs en quantique, nous allons aussi utiliser
des mesures de syndromes qui ne perturbent pas l’information des états
encodés, mais retirent les informations sur les erreurs. Cependant, la mesure
de syndrome qui nous informe des erreurs ne nous dit rien sur la valeur portée
par le qubit ; en effet si nous arrivons à lire une valeur d’un qubit intriqué
avec une série d’autres qubits, cette lecture va changer la valeur de tous les
autres qubits. C’est ainsi qu’on veut préserver les états "composés", ou des
états cohérents, le plus longtemps possible.
3.2
Problème : la décohérence
En quantique, la décohérence est un mécanisme d’intéraction entre un
système quantique et l’environnement, comme par exemple après une mesure.
Elle est analogue à une réduction de paquet d’onde, et peut être traduite
comme une perte d’information irréversible du système à l’environnement.
H = Hsyst + Henv
Parce que l’on a toujours besoin du principe du code de répétitions pour
des opérateurs-syndrômes, on a besoin d’intriquer des états. Or cette intrication est très sensible aux perturbations extérieures (mesures, correcteurs
d’erreurs..). On va donc chercher un moyen de les protéger de la décohérence.
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Un modèle équivalent de ce couplage entre système et environnement est
un modèle de déphasage, où l’hamiltonien est décomposé en deux parties :
H = HIsing + Hbruit
avec Hbruit =
3.3
PM
2
j=1 xg (t)σj
Protection contre la décohérence
Alexei Kitaev a proposé l’utilisatin des propriétés topologiques des systèmes quantiques qui garantient leur fiabilité, et ainsi réaliser des qubits
stables par rapport à leur environnement extérieur.
On cherche à implémenter expérimentalement l’idée de la protection
contre a décohérence. Le système, réseau de N par N spins par exemple,
doit avoir des propriétés topologiques qui vont limiter les effets de la décohérence. Pour cela, deux propriétes sont nécessaires :
– la possession d’un grand nombre de symétries, impliquant une existence
de deux états fondamentaux dégénérés
– l’existence d’un grand gap, c’est-à-dire dont la distance en énergie entre
les niveaux fondamentaux et les états excités est grande.
Traditionnellement, les systèmes de matière condensée, par exemple les
jonctions de Josephson ont une durée de vie de quelques microsecondes,
alors que les qubits dans des ions piéges une durée de quelques dizaines
de secondes. Ces ions piégés peuvent simuler un Hamiltonien fortement symétrique avec des états propres protégés contre les sources de décohérence.
Récemment, on cherche à incorporer la correction des erreurs dans le système
en soi, utilisant les symétries et intéractions entre les éléments superconducteurs d’un qubit.
4
Conclusion
La transfert de données classique est déjà très bien compris et fonctionne
selon différents méthodes et algorithmes de plus en plus performant et optimisés, même s’ils sont basés sur les mêmes principes que le code de Hamming
et la méthode de répétition. Cependant, en quantique, nous ne sommes pas
encore à ce point : malgré un grand parallèle dans la protection des bits
classiques et quantiques, des propriétés fondamentaux exige de nouveaux
concepts afin de pouvoir vérifier et corriger les erreurs efficacement pour les
qubits. La théorie des qubits topologiquement protégés proposé par A. Kitaev a lancé un nouveau souffle dans l’avancée de l’ordinateur quantique,
mais l’implémentation expérimental est un encore domaine de recherche très
actif.
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