énoncé

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CONVERSION DE PUISSANCE
PARTIE I
MOTEUR DE MAQUETTE D’AVION
La majorité des moteurs utilisés en modélisme et en robotique amateur sont des moteurs à
courant continu à aimant permanent qui transforment l’énergie électrique fournie par les accumu-
lateurs en énergie mécanique.
Tous les composants électroniques sont supposés parfaits. Les amplificateurs opérationnels
(A.O.) utilisés sont idéaux. Si un amplificateur opérationnel fonctionne en régime de saturation, sa
tension de sortie sera égale à +USAT ou –USAT avec USAT = 12 V. Lorsqu’un composant est utilisé en
commutation (diode, transistor ou A.O.), le passage d’un état à l’autre s’effectue de façon instanta-
née. La résistance des fils de conduction électrique est nulle.
A- LE MOTEUR ÉLECTRIQUE A COURANT CONTINU
L’hélice est entraînée par un moteur à courant continu à aimant permanent (noté M.C.C.)
possédant, au point nominal de fonctionnement, les caractéristiques suivantes :
· tension nominale d’induit : UN = 12 V ;
Ÿ intensité du courant dans l’induit : IN = 2,50 A ;
Ÿ fréquence de rotation : NN = 3000 tr×min–1.
Le rotor ou induit du M.C.C. (figure 1) est constitué de n spires rectangulaires enroulées sur
un cylindre de rayon a et de longueur b. L’ensemble tourne à la vitesse angulaire W autour de son
axe zz’ (figure 2) en restant dans l’entrefer d’un aimant permanent (stator ou inducteur) – réalisé à
partir d’un alliage cobalt-samarium – qui crée un champ magnétique radial
rr
BBe
=
uruur
dont la com-
posante Br est représentée sur la figure 3. Les spires sont connectées à l’extérieur par le système
balai-collecteur en restant dans la configuration de la figure 2.
Le rotor est équilibré pour minimiser les vibrations. Le moment d’inertie de l’ensemble ra-
mené sur l’axe du moteur est J = 10–5 kg × m2 ; les pertes fer (dans le circuit magnétique) et mécani-
ques (frottements solides) sont négligées. Lors de sa rotation, le cylindre est soumis à une force de
frottement fluide, de couple : FF βΩ
z
CCe
=-=-
uururuur
(avec CF > 0 et b = 10–5 kg × m2 × s–1).
L’induit possède une résistance R = 0,24 W et une inductance L supposées constantes. Un
générateur de tension constante V
A
– VC = U (avec U > 0) alimente le moteur. À l’instant t, la
branche MN est située dans l’intervalle – p /2 < q < p /2 et la branche PQ dans l’intervalle
- p /2 < q < p /2.
I-A1. Démontrer les expressions de la force électromotrice du moteur E = F0W (E est reliée
à la force électromotrice induite e par la relation E = –e) et le couple des forces électromagnétiques
EM EM
z
CCe
=
uruur
Φ
z
ie
0
=
uur
, i étant l’intensité du courant dans l’induit et W la vitesse de rotation du rotor.
Exprimer le flux inducteur utile F0 en fonction de a, b, n et B0.
Le schéma électrique équivalent de
l’induit en régime dynamique est proposé ci-
contre :
I-A2. En déduire l’équation électrique
reliant les grandeurs E, U, R, L et i.
I-A3. Écrire l’équation mécanique re-
A
iC
U = VA – VC
R
L
E
=
F
0
×
W

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liant J,
Ω
ur
, le couple utile UU
z
CCe
=-
uruur
(avec CU > 0 et supposé constant), imposé au moteur lors-
qu’il entraîne la charge mécanique, le couple de frottement
F
C
ur
et le couple électromagnétique
EM
C
ur
.
En déduire la projection de cette équation mécanique suivant l’axe
z
e
uur
.
I-A4. Expliquer qualitativement comment freiner le moteur. Quel est le comportement du
moteur lorsqu’il tourne en roue libre, c'est-à-dire non alimenté ?
Fonctionnement en régime nominal
I-A5. Calculer la valeur de la force électromotrice du moteur E ; en déduire la constante F0
et préciser son unité.
I-A6. En négligeant la chute de tension aux bornes de la bobine, déduire des équations mé-
canique et électrique couplées, l’équation différentielle vérifiée par la vitesse angulaire W en utili-
sant F0, b, CU, J, R et U. Déterminer le temps t caractéristique de la « mise en vitesse » du moteur.
Exprimer la vitesse angulaire limite WLIM. Combien de temps est-il nécessaire pour atteindre cette
vitesse à 1% près ?
I-A7. Calculer le moment du couple utile CU en régime nominal et WLIM (en tr×min–1). Quel
est le courant iD dans l’induit au démarrage, si la tension d’induit est égale à la tension nominale ?
Commenter.
Quelle est, au démarrage, la tension minimale UD,MIN nécessaire pour entraîner le moteur ?
B- COMMANDE DU M.C.C. PAR UN HACHEUR
Le moteur est alimenté par un hacheur, la tension et le courant d’induit ne sont plus conti-
nus ; u(t) = vA(t) – vC(t) et i(t) sont des fonctions périodiques du temps et l’on suppose que i(t) ne
s’annule pas. Leurs valeurs moyennes respectives sont notées
(
)
ut
et
(
)
it
.
L’hélice tourne à vitesse constante. L’induit du M.C.C. représenté figure 4 est alimenté par
l’intermédiaire d’un hacheur série connecté à une source de tension idéale de valeur U0 = 12 V.
L’interrupteur électronique H1 est commandé de manière périodique à la période TH1 par un
signal rectangulaire ou créneau de rapport cyclique a et de fréquence de hachage N
HF = 2 kHz
généré par un circuit non représenté :
Ÿ l’interrupteur H1 est fermé entre les instants 0 et a TH1,
Ÿ l’interrupteur H1 est ouvert entre les instants a TH1 et TH1,
Ÿ à l’état passant, la diode D1 est assimilée à un interrupteur fermé,
Ÿ à l’état bloqué, elle est assimilée à un interrupteur ouvert.
Ÿ Le rapport cyclique est réglé à a = 0,6.
I-B1. Montrer qu’un interrupteur idéal ne consomme pas de puissance et que les interrup-
teurs H1 et D1 ne peuvent être ni fermés, ni ouverts simultanément.
I-B2. Quel est le rôle de la diode D1 dite "de roue libre" ?
I-B3. Représenter sur deux périodes le chronogramme de la tension u(t), c'est-à-dire son
évolution au cours du temps. Préciser sur le graphe l’amplitude de u(t) et les instants aTH1 et TH1.
I-B4. La différence de potentiel aux bornes de la résistance de l’induit est négligée. Calculer
la valeur moyenne
(
)
ut
de la tension u(t). En déduire la force électromotrice E et la vitesse de
rotation W de l’induit en tr×min–1. Montrer que la vitesse de rotation W du moteur est proportionnelle
au rapport cyclique a. Calculer la valeur de W pour a = 0,6.
I-B5. Justifier l’évolution au cours du temps de l’intensité du courant i(t) représentée sur le
graphe figure 5. Établir l’expression de l’ondulation du courant DI = IMAX – IMIN en fonction de U0,
L, a et TH1. Pourquoi est-il intéressant de diminuer l’ondulation du courant ?

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Préciser le rôle d’une bobine supplémentaire de lissage qui peut être placée en série avec le
moteur. À partir du graphe, calculer l’inductance L de l’induit.
I-B6. Déterminer la valeur moyenne
(
)
it
de l’intensité du courant. Vérifier que la chute de
tension aux bornes de R est négligeable. Expliquer l’intérêt du courant moyen (et de la tension
moyenne) pour un moteur à courant continu.
C- RÉALISATION DES SIGNAUX DE COMMANDE DU HACHEUR
Un générateur de tension est représenté sur la figure 6. Il comporte un condensateur de ca-
pacité C1 et un interrupteur électronique H2 commandé par de brèves impulsions périodiques de
période TH2 : à t = 0, l’interrupteur idéal H2 se ferme pendant un bref instant sur une première im-
pulsion, il est ensuite ouvert pendant la durée TH2 jusqu’à l’impulsion suivante.
USAT = 12 V ; R1 = 1 k W ; C1 = 1 µF ; TH2 = 0,5 ms.
I-C1. Exprimer l’intensité du courant I. Quelle est la fonction de l’A.O1 dans le circuit élec-
tronique ? Préciser le rôle de l’A.O2 et de l’A.O3.
I-C2. Déterminer la tension uC1(t) dans l’intervalle de temps [0, TH2] en fonction de USAT, R1,
C1 et t. Représenter le chronogramme uC1(t) sur deux périodes. Préciser la valeur maximale UCMAX
et la période de uC1(t).
I-C3. Quelle est la fonction de l’A.O4 ? En déduire la tension u0(t) appliquée à l’entrée in-
verseuse de l’amplificateur opérationnel A.O5.
I-C4. Expliquer le rôle de l’A.O5 et tracer le chronogramme u1(t) sur deux périodes pour une
tension de consigne VCONS réglable entre 0 et UC,MAX. Conclure.
I-C5. Exprimer le rapport cyclique a du signal obtenu en fonction de VCONS, USAT, TH2, R1 et
C1. Montrer que VCONS permet le contrôle de la vitesse de rotation W du moteur. Pour quelle valeur
de VCONS obtient-on un rapport cyclique de 0,6 pour le signal u1(t) ?
À quelle vitesse de rotation du moteur (exprimée en tr×min–1) cette valeur correspond-elle ?
PARTIE II
TRANSFORMATEUR
Les notations principales et des valeurs numériques utiles sont indiquées dans les tableaux
en fin d’énoncé. La perméabilité magnétique du vide vaut m0 = 4p´10–7 H×m–1.
A- ÉTUDE D’UN CIRCUIT MAGNÉTIQUE
Ce problème porte sur l’étude de transformateurs utilisés en régime permanent en électro-
nique de puissance, tels que représenté à la figure 7. Le circuit est constitué de quatre tronçons (1,
2, 3 et 4) d'un matériau ferromagnétique ; ces tronçons sont séparés par quatre entrefers identi-
ques, de longueur e. Les tronçons 1 et 3, de même section S1, sont entourés par des bobinages, qua-
lifiés de « primaire » pour le tronçon 1 et de « secondaire » pour le tronçon 2 ; ces tronçons sont
parcourus par des courants d’intensités respectives iP et iS. La section commune des tronçons 2 et 4
est notée S2. La caractéristique b(h) idéalisée dans le matériau magnétique est représentée figure 8.
Elle est symétrique par rapport au point O, linéaire pour |h| £ HSAT et affine pour |h| ³ HSAT. Le
régime saturé commence dès que |h| ³ HSAT. On note hE et bE les grandeurs magnétiques usuelles
au niveau des entrefers. On néglige les pertes par hystérésis et par courants de Foucault. Les autres
hypothèses d'étude sont les suivantes :
Ÿ toutes les lignes de champ sont canalisées par le circuit magnétique ;
Ÿ le champ magnétique est uniforme séparément dans chacune des pièces ferromagnétiques
et dans les entrefers ;

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Ÿ pour le calcul de circulation du champ excitation magnétique H, on prend, pour chaque
tronçon, la longueur de la ligne de champ moyenne.
II-A1. La conservation du flux du champ magnétique entraîne d’une part l’égalité b1 = bE,
d’autre part une relation entre b1, b2, S1 et S2. Donner cette dernière relation.
II-A2. Déduire du théorème d'Ampère la relation liant h1ℓ1, h2ℓ2, ehE et e = NPiP – NSiS. Dans
la suite, la grandeur e sera nommée force magnétomotrice du circuit.
II-A3. Sachant que le tronçon 1 commence à se saturer pour b = BSAT = BSAT(1), donner
l’expression et la valeur numérique de b1 = BSAT(2), pour lesquels le tronçon 2 commencera à se sa-
turer lui aussi. Que représente le rapport A = BSAT/HSAT = 1,2/600 = 2´10–3 T×m×A–1 ?
II-A4. Donner, en fonction de A, ℓ1, ℓ2, e, S1, S2, m0 et j = b1S1, l'expression littérale de e en
régime non saturé (0 £ b £ BSAT(1)). Cette expression définit R par e = Rj où R est appelée réluc-
tance équivalente à l'ensemble du circuit magnétique lorsque celui-ci n'est pas saturé, Vérifier que
R s’exprime en H–1 (inverse de henry) et calculer sa valeur numérique.
II-A5. On suppose ici que BSAT(1) £ b1 £ BSAT(2) ; préciser l’état de saturation de chacune des
parties. Lorsque |h| ³ H
SAT, on pose b = Ch + D. Préciser les dimensions respectives de C et D.
Donner l’expression littérale de e en fonction de j. Les valeurs numériques des constantes
C
et
D
se déduisent des données de la Fig. 2 et l’on trouve e = 1,06´106 j – 4850.
II-A6. On suppose maintenant que b1 ³ BSAT(2). Donner l'expression littérale de e(j). Numé-
riquement, on trouve e » 1,60´106 j – 8370.
II-A7. Tracer sommairement la caractéristique j(e) pour |e| £ 8´10–3 Wb. Rassembler dans
le même tableau les relations numériques e(j) et j(e) correspondant aux trois états de saturation du
circuit magnétique. Préciser en particulier les valeurs numériques des coordonnées des points an-
guleux de cette caractéristique.
B- ÉTUDE D’UN TRANSFORMATEUR MONOPHASÉ BASSE FRÉQUENCE
Les enroulements primaire et secondaire d’un transformateur possèdent respectivement NP et
NS spires, dont on négligera la résistance (figure 9). On nomme j le flux dans une section S du cir-
cuit magnétique sur lequel ces spires sont bobinées.
La tension appliquée au primaire du transformateur est sinusoïdale :
(
)
(
)
P2cos p
vtVt
=w
.
II-B1. Expliquer pourquoi le flux j dans le circuit magnétique est lui aussi sinusoïdal.
II-B2. Le transformateur est refermé sur une charge résistive. Que peut-on dire, dans ces
conditions, sur le courant secondaire iS ? Le courant primaire est-il sinusoïdal ?
II-B3. Donner l’expression générale de la puissance instantanée absorbée par le transforma-
teur. Montrer que la valeur moyenne de la puissance fournie ne fait intervenir que l’harmonique
d’ordre 1, appelée fondamentale, du courant primaire.
II-B4. Le circuit secondaire du transformateur est ouvert. Il n’y a ni perte par hystérésis ni
perte joule, ni perte par courant de Foucault. Quelle est dans ce cas la puissance absorbée par le
transformateur ? Quel est le déphasage entre la tension primaire et l’harmonique 1 du courant pri-
maire ?
II-B5. Une caractéristique b(h) du milieu magnétique est représentée figure 10, en unités re-
latives. Préciser les notions de champ coercitif et d’aimantation rémanente. Quel est l’ordre de
grandeur de la valeur minimale du champ coercitif dans un matériau dit dur ? Faut-il, pour un trans-
formateur, préférer un fer dur ou un fer mou ? Pour quelle raison ?
On considère désormais que les pertes énergétiques ne sont plus négligeables, c’est-à-dire
que l’on tient compte des pertes fer et des pertes joule. La puissance nominale du transformateur
est de 2,2 kVA.

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Essai à vide : le secondaire est ouvert
On applique au primaire du transformateur sa tension nominale VP = 230 V. La valeur effi-
cace du courant appelé au primaire est IP = 1 A ; la puissance mesurée est P10 = 80 W.
II-B6. À quoi correspond cette puissance fournie au transformateur ? Quel est le déphasage
entre l’harmonique 1 du courant primaire et la tension appliquée au primaire ?
Essai en court-circuit : le secondaire est en court-circuit
On applique au primaire une tension VP,CC (tension primaire de court-circuit) telle que le
courant secondaire IS,CC soit égal à la valeur nominale du courant que peut débiter le transformateur.
Dans ces conditions, la tension au primaire est nettement plus faible que la tension nominale de
fonctionnement. La puissance fournie au primaire est P1,CC = 75 W.
II-B7. À quoi correspond cette puissance fournie au primaire du transformateur ?
Essai sur charge résistive
II-B8. Dans les conditions nominales de fonctionnement, on fournit à la charge une puis-
sance P2 = 2 kW.. Déduire de l’ensemble des résultats précédents le rendement du transformateur
dans les conditions de l’essai réalisé.
Le tableaux de valeurs numériques est donné en annexe.