Géométrie synthétique - Gymnase Auguste Piccard

 Chloé Romano 3M4 Travail de Maturité
2010
Géométrie synthétique
Quelques théorèmes et
constructions classiques
C h lo é R o m a n o 3 m 4
G y m n a s e A u g u s te P ic c a r d
8 n o v e m b r e 2 0 10
M a îtr e d e T M : A le x a n d e r M ü lle r
1 Chloé Romano 3M4 TTaabbllee ddeess m
maattiièèrree :: IInnttrroodduuccttiioonn PPaarrttiiee sséém
miinnaaiirree :: LE RAPPORT DE SECTION : ............................................................................................................................................... 4 • Exemples : ........................................................................................................................................................... 4 Remarques : ................................................................................................................................................................. 4 Exemple de rapport de section : ............................................................................................................................ 4 • Points conjugués harmoniques : ................................................................................................ 5 Exemple : ....................................................................................................................................................................... 5 • Complément : ..................................................................................................................................................... 6 THEOREME DE PYTHAGORE : ........................................................................................................................................... 6 • Pythagore : ........................................................................................................................................................ 6 • Première démonstration : .................................................................................................................. 7 Théorème : ................................................................................................................................................................... 7 • Seconde démonstration : ..................................................................................................................... 8 • 3ème démonstration : .............................................................................................................................. 10 • 4ème démonstration : .............................................................................................................................. 11 LE SEGMENT MOYEN D’UN TRIANGLE : .................................................................................................................... 12 • Démonstration du théorème : ...................................................................................................... 13 COROLLAIRE DU THEOREME PRECEDENT : .............................................................................................................. 13 • Preuve : .............................................................................................................................................................. 14 QUELQUES LIGNES D’UN TRIANGLE : ...................................................................................................................... 14 THEOREME : (POUR LES MEDIANES) ........................................................................................................................ 14 UNE CONSTRUCTION : ................................................................................................................................................... 15 • Pour la réaliser : ................................................................................................................................ 16 THEOREME : ........................................................................................................................................................................ 17 THEOREME DE L’ANGLE INSCRIT : ............................................................................................................................. 17 • Démonstration : ......................................................................................................................................... 18 • Corollaire : .................................................................................................................................................. 18 THEOREME DE PTOLEMEE : ........................................................................................................................................... 19 • Démonstration de l’implication directe : ................................................................ 19 THEOREME DES BISSECTRICES : ............................................................................................................................... 20 • Démonstration : ......................................................................................................................................... 20 • Réciproque : .................................................................................................................................................. 21 LE CERCLE D’APOLLONIUS : .......................................................................................................................................... 22 • Marche à suivre : ................................................................................................................................... 22 THEOREME DE CEVA : ..................................................................................................................................................... 22 • Propriété nécessaire : ..................................................................................................................... 23 Preuve : ....................................................................................................................................................................... 23 • Démonstration du théorème de Céva : ............................................................................... 23 2 Chloé Romano 3M4 LA DROITE D’EULER : ...................................................................................................................................................... 24 • Euler : ................................................................................................................................................................ 25 • Théorème : ........................................................................................................................................................ 25 • Démonstration : ......................................................................................................................................... 25 THEOREME : ........................................................................................................................................................................ 26 • Démonstration : ......................................................................................................................................... 26 THEOREME DE NAPOLEON : ......................................................................................................................................... 27 • Énoncé : .............................................................................................................................................................. 27 • Preuve : .............................................................................................................................................................. 27 1ère étape : ................................................................................................................................................................... 28 2ème étape : .................................................................................................................................................................. 29 • Propriété nécessaire : ..................................................................................................................... 29 • Suite de la démonstration : ...................................................................................................... 29 LE PROBLEME DE FERMAT : ........................................................................................................................................... 30 • Propriété nécessaire : ..................................................................................................................... 30 • Suite démonstration : ....................................................................................................................... 31 LLeess pprroobbllèèm
meess dd''A
Appoolllloonniiuuss:: APOLLONIUS : .................................................................................................................................................................... 32 LES PROBLEMES D’APOLLONIUS : .............................................................................................................................. 33 DIX SITUATIONS : .......................................................................................................................................................... 33 TROIS POINTS : ................................................................................................................................................................ 35 TROIS DROITES : ............................................................................................................................................................. 36 • Propriété nécessaire : ..................................................................................................................... 37 Démonstration 1 : .................................................................................................................................................... 37 Démonstration 2 : .................................................................................................................................................... 38 DEUX POINTS ET UNE DROITE : ................................................................................................................................. 39 UN POINT ET DEUX DROITES : ................................................................................................................................... 41 • Propriété nécessaire : ..................................................................................................................... 41 Définition générale : ............................................................................................................................................... 41 • Résolution : .................................................................................................................................................. 41 Justification : .............................................................................................................................................................. 43 DEUX POINTS ET UN CERCLE : ..................................................................................................................................... 43 • Propriété nécessaire : ..................................................................................................................... 43 • Principe : ........................................................................................................................................................ 44 • Construction : ............................................................................................................................................ 45 CONCLUSION : ............................................................................................................... Erreur ! Signet non défini. GLOSSAIRE : ....................................................................................................................................................................... 49 ‐ Un triangle est dit : ........................................................................................................................ 49 ‐ Deux triangles sont dits : .......................................................................................................... 49 REMERCIEMENTS : ........................................................................................................................................................... 50 BIBLIOGRAPHIE : .............................................................................................................................................................. 50 • Livres utilisés : ................................................................................................................................... 50 • Sites internet consultés : ......................................................................................................... 50 3 Chloé Romano 3M4 PPaarrttiiee sséém
miinnaaiirree :: Quelques définitions, propriétés, … classiques : !
LE RAPPORT DE SECTION :
Soit A, B et P trois points alignés, on définit le rapport de section (AB ; P) = " le nombre suivant : AB = " BP Ce nombre " définit en quelque sorte la position relative de ces trois points alignés. !
• Exemples :
! ! !
(AB ; P) = ‐3 car AP = ‐3 BP (AB ; P) = ‐1 car !
! AP = ‐1 BP (AB ; P) = 0 car AP = 0 BP !
!
(AB ; P) = ? car AP = ? BP ! " / Impossible !
(AB ; P) = !
! AP = 5 BP (AB ; P) = 5 car !
Remarques :
!
!
" est nul si P se trouve en A ‐
" est négatif si P se trouve entre A et B ‐
" est positif si P se trouve à l’extérieur du segment AB ‐
! Exemple de rapport de section :
! !
3
2
A et B sont donnés, voici la construction du point P, tel que (AB ; P)=  AP = !
!
!
3
BP 2
!
4 •
Points conjugués harmoniques :
Chloé Romano 3M4 Soit 4 points A, B, R et S, alignés, ces 4 points sont « conjugués harmoniques » si : (AB ; R) = ‐(AB ; S) Exemple :
2
3
(AB ; R) =  AR = 2
BR 3
2
2
(AB ; S) = ‐  AS = ‐ BS ! 3 !
3
!
!
!
!
!
Moyen mnémotechnique : Le 2 va avec le A, le 3 avec le B !
Par Thalès : AR 2
= BR 3
AS et BS sont opposés donc nous pouvons déjà être sûr que le coefficient sera négatif. !
!
! 2!
AS
2
2
=  AS = BS  AS =‐ BS BS 3
3
3
!
!
!
!
5 •
Chloé Romano 3M4 Complément :
Soit A, B, R et S quatre points alignés, alors : (AB ;R)=k tel que AR = kBR (AB ;R)=(AB ;S)  R " S Deux démonstrations sont à faire (un sens et sa réciproque) !
!
<= (1er sens) : R
" S est l’hypothèse On admet que R " S il est donc évident que (AB ;R)=(AB ;S) !
=> (réciproque) : On admet que (AB ;R)=(AB ;S)=k !
Donc : AR = kBR  AR = k(AR " AB) (règle de Chasles)  AR = k AR " k AB  k AB = k AR " AR  k AB = (k "1)AR  AR = (
!
!
!
!
k
)AB k "1
!
!
!
AS = kBS  AS = k(AS " AB)  AS = k AS " k AB  k AB = k AS " AS  k AB = (k "1)AS k
 AS = (
!)AB k "1
!
!
En combinant les deux on trouve : THEOREME DE PYTHAGORE :
!
!
AR = AS et R " S !
# CQFD !
•
Pythagore :
Pythagore était un mathématicien grec qui a vécu à la fin du 6ème siècle av. J.‐C. (~580‐480 av J.‐C.), il serait né à Samos, une île de la mer Égée. Il serait parti fonder une école à Crotone au sud de l’Italie. Là‐bas, il consacrait son temps à l’étude de la musique, des mathématiques ou encore de la philosophie. D’autres personnes (ses disciples) étudiaient également dans cette école, cependant ils rapportaient toutes leurs découvertes à Pythagore lui‐même si bien qu’il est très difficile aujourd’hui de distinguer ses propres découvertes de celles de ses disciples. Cependant les activités politiques de l’école en faveur du régime aristocratique ont engendré des émeutes populaires durant l’une desquelles l’école fut détruite. Il est important de savoir que le théorème que tout le monde connaît aujourd’hui sous le nom du « théorème de Pythagore » était en réalité connu bien avant cette époque. En effet, les babyloniens (~1800 av. J.‐C.) avaient déjà trouvé les longueurs des côtés de 15 triangles rectangles différents. Selon une légende, du vivant de Pythagore, on lui aurait associé cette relation et il en fut si fier qu’il aurait sacrifié 100 bœufs aux dieux. 6 Chloé Romano 3M4 Il est possible que l’école de Pythagore ait été la première à donner une démonstration de ce théorème, cependant, depuis ce temps des centaines d’autres démonstrations ont été découvertes. Voici donc la présentation de quelques unes de ces démonstrations : • Première démonstration :
Cette démonstration est présente dans les « Éléments » d’Euclide : Notations : " (sigma minuscule) souvent utilisé comme abréviation d’aire/surface Il est important de noter que l’aire n’est pas égale à la surface ; l’aire est un nombre (ex 6 dm2) et la surface est un objet géométrique. !
Théorème :
« Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. » Les triangles KBA et CBD sont isométriques car : ‐ AB=BD, car ce sont deux côtés d’un même carré ‐ KB=CB, car ce sont deux côtés d’un même carré ‐ " KBA= " CBD, car : " KBA= " CBD= 90° + " !
!
!
!
!
!
7 Chloé Romano 3M4 Ces deux triangles comportent donc un angle isométrique compris entre deux côtés respectivement isométriques, ce qui est l’une des propriétés de deux triangles isométriques. KBA=CBD  " (KBA)= " (CBD) Or : " (KBA)= " (KBC) !
Car : " KBC= (BC étant la hauteur issue de B du KBA) !
Suivant le même raisonnement : ! " (CBD)= " (MBD) !
Ainsi : !" (KBC)= " (MBD) !
 1ère relation : En multipliant les aires de ces deux triangles par 2 on obtient une égalité entre les aires des deux !
carré/rectangle correspondants : ! !
" BCHK = " BDLM De la même manière, il est possible de démontrer : ! ème relation :  2
" AFGC = " AMLE En sommant les deux relations, on obtient : " (BCHK) + " (AFGC) = " (EABD) !
Ce qui revient à dire que : (BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2 !
!
#CQFD !
• Seconde démonstration :
Cette démonstration a été découverte par le vingtième président des Etats‐
Unis, James Abraham Garfield, né en 1831. Il était un étudiant doué dans presque toutes les matières et deviendra, après ses études professeur de lettres classiques. Il était ambidextre et pouvait selon une légende écrire simultanément le grec d’une main et le latin de l’autre. Étant également doué en mathématiques, il découvrit cette démonstration astucieuse du théorème de Pythagore en 1876. Il étudiera plus tard le droit. Etant membre du parti républicain, il sera élu président des Etats‐
Unis d’Amérique en mars 1881. Il fut assassiné environ 6 mois après son investiture, en septembre 1881. La démonstration dont il est l’auteur part d’un trapèze rectangle : !
!
!
!
!
! " BC
KB
KB " BC
et " KBA=
2
2
8 Chloé Romano 3M4 Les triangles UVT et VRS sont isométriques et disposés de telle manière à ce que la figure soit un trapèze. Dans cette figure, il existe deux manières de calculer l’aire du trapèze : Base " moyenne
"hauteur 2
a+b
 " (a + b) 2
!
1
= (a 2 + 2ab + b 2 ) 2
 !
!
= !
1 2
1
a + ab + b 2 2
2
 " UTV+ " VRS+ " STV !
ab 1 2
)+ c 2
! 2
!
 2(
!
= ab +
!
Nous allons maintenant égaliser les deux résultats : !
1 2
1
1
a + ab + b 2 = ab + c 2 2
2
2
 !
1 2 1 2 1 2
a + b = c 2
2
2
!
 "2  a 2 + b 2 = c 2 !
!
1 2
c
2 !
9 •
Chloé Romano 3M4 #CQFD 3ème démonstration :
Nous devons cette démonstration simple et expéditive à Michael Hardy (1986): !
!
Sur cette figure : "DAE est rectangle (= 90° ) car : cercle de Thalès. Étant donné que les ACD et ACE sont semblables, on peut en déduire que : DC AC !
=
AC CE
Soit B le sommet du triangle isocèle ABD Selon la figure : DC=(c+a), CE=(c‐a) et AC=b 10 !
!
!
!
Chloé Romano 3M4 En utilisant les produits croisés, nous pouvons en déduire : (CE)(DC) = (AC) 2  b 2 = (c + a)(c " a)  b 2 = c 2 " a 2  a 2 + b 2 = c 2 #CQFD • 4ème démonstration :
Cette démonstration à été découverte par les Chinois en s’inspirant de l’un de leur jeu, le Tangram. Elle est l’une des démonstrations de ce théorème la plus célèbre. Hypothèse : Si l’on enlève à deux carrés identiques, des surfaces identiques (même découpée différemment), ce qui restera de chacun des deux carrés initiaux aura la même surface. De ce carré de côté a+b, découpons 4 petits triangles rectangles de côtés a et b et d’aire ab
2
On obtient alors un second carré dont le côté correspond à l’hypothénuse (c) du petit triangle de côtés a et b. La surface du carré restant=c2 !
11 Chloé Romano 3M4 En découpant ce second carré (identique au premier) de la manière ci‐dessus, on obtient : ‐ Deux carrés : un de côté a et l’autre de côté b ‐ Deux rectangles de côtés a et b Une fois ces deux rectangles coupés en deux, on obtient 4 triangles de petits côtés a et b ; c’est à dire les même que dans l’autre carré (de départ) Nous avons donc ôté à deux carrés identiques ces 4 triangles identiques, ce qui signifie que la surface restante est égale dans les deux carrés : D’une part c2 et d’autre part a2+b2 D’où : a2+b2= c2 #CQFD LE SEGMENT MOYEN D’UN TRIANGLE :
Nous allons démontrer ce théorème en utilisant la géométrie synthétique, cependant il est également possible de le démontrer en se servant des vecteurs. Dans un ABC : Appelons A’ le milieu de BC, C’ le milieu de AB et B’ le milieu de AC : Le théorème du segment moyen dit que : « Dans un triangle ABC, les milieux de deux côtés déterminent un segment parallèle au troisième côté et de longueur moitié. » Suivant ce théorème nous souhaitons alors démontrer que : 1
2
A’B’ // AB ; A’B’= AB !
12 Chloé Romano 3M4 1
2
1
B’C’ // BC ; B’C’= BC 2
A’C’ // AC ; A’C’= AC • ! Démonstration du théorème :
!
Soit D le symétrique de B’ par rapport à A’ Voici les propriétés d’un parallélogramme : ‐ Deux paires de côtés parallèles et égaux ‐ Ses diagonales se coupent en leur milieu ‐ Ses angles opposés sont isométriques Et si un quadrilatère satisfait à l’une de ces trois propriétés, il est un parallélogramme. BDCB’ est donc un parallélogramme car ses diagonales (BC et B’D) se coupent en leur milieu A’ (A’ étant le milieu de CB et D étant le symétrique de B’ par rapport à A’) On peut donc en déduire que : BD // B’C et BD=B’C Étant donné que AB’=B’C (B’ étant le milieu de AC)  AB’=BD, de plus AB’ // BD (AB’ étant sur la même droite que B’C) La combinaison de ces deux propriétés nous permet de trouver que : ABDB’ est un parallélogramme, en respectant la propriété : deux paires de côtés parallèles et égaux. Ainsi : B’D // AB et B’D=AB En sachant que ABDB’ est un parallélogramme, nous pouvons dès lors en déduire que : A’B’ // AB (soit la première partie de ce que nous voulions démontrer) À partir de là, la deuxième partie se déduit facilement : 1
2
A’ est le milieu de B’D donc, A’B’= B’D et vu que B’D=AB, nous pouvons en déduire que 1
2
A’B’= AB !
!
Les deux autres égalités se démontrent de la même manière. #CQFD COROLLAIRE DU THEOREME PRECEDENT :
13 Chloé Romano 3M4 Soit un triangle ABC : ses trois points milieux A’B’C’ : A’B’C’ est appelé triangle diminué de ABC Le triangle ABC est partagé en quatre triangles égaux. • Preuve :
C’est une conséquence du théorème précédent. (cf. quatre petits triangles ayant tous trois côtés égaux) QUELQUES LIGNES D’UN TRIANGLE :
• Les médiatrices se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit. (démonstration simple) • Les trois bissectrices intérieures en un point I qui est le centre du cercle inscrit. (démonstration simple) • Les trois hauteurs se coupent en un point H, l’orthocentre. • Les trois médianes se coupent en un point G, qui est le centre de gravité du triangle. THEOREME : (POUR LES MEDIANES)
Soit un triangle ABC, quelconque, A’, B’ et C’, les milieux respectifs de BC, AC et AB Alors : AA’, BB’ et CC’ se coupent en un point G situé au deux tiers. • Démonstration : AA’ et BB’ se coupent en P (=G) Dans un triangle ABC : 14 Chloé Romano 3M4 Soit D et E, les milieux de AP et BP Démontrons que DEA’B’ est un parallélogramme : (nous allons pour cela utiliser le théorème précédent) 1
2
Dans le ABC, selon le théorème du segment moyen : A’B’ // AB ; A’B’= AB 1
2
Dans le ABP, selon le théorème du segment moyen : ED // AB ; ED= AB !
 En combinant les deux, on obtient : A’B’// ED ; A’B’=ED (car ils valent chacun la moitié de AB) !
Donc on peut en déduire que DEA’B’ est un parallélogramme. Etant donné que nous avons un parallélogramme, nous pouvons ainsi en déduire que leurs diagonales EB’ et A’D se coupent en leur milieu (P). Donc : DP=PA’, or AD=DP  Le point P est placé aux deux tiers de AA’ Idem pour P placé aux deux tiers sur BB’ Et ainsi : AA’ et BB ‘ se coupent aux deux tiers. Nous pouvons montrer de la même manière que AA’ et CC’ se coupent aux deux tiers  Finalement les trois médianes se coupent en un point G (ici=P) qui est aux deux tiers. #CQFD UNE CONSTRUCTION :
« Construire un triangle ABC dont on connaît les longueurs des trois médianes (GA=6cm ; GB=4cm et GC=5cm) » Pour effectuer cette construction, j’ai tout d’abord complété la figure d’étude : B’ est le symétrique de B par rapport au point M. 15 Chloé Romano 3M4 Voici la construction : •
Pour la réaliser :
‐
‐
Tracer BB’=4cm, construire G tel que (BB’ ; G)= ‐2 Construire B’’, le symétrique de B par rapport à B’ ; ainsi que G’, le symétrique de G par rapport à B’ ‐
Construire le point A, situé à !
2
2
" 6 = 4 de G et à " 5 = 3.33 de G’ 3
3
! 16 Chloé Romano 3M4 ‐ Construire le point C, qui est le symétrique de A par rapport à B’ THEOREME :
« Par un point P de la médiane AM d’un triangle ABC, on mène la parallèle à AB, coupant BC en B’ et la parallèle à AC, coupant BC’ en C’. Montrer que AM est aussi la médiane du triangle AB’C’. (On suppose que P n’est pas sur BC) » Sur cette figure : Les triangles MB’P et MBA sont semblables car ils ont 2 paires d’angles égaux [ "ABM # "PB' M car correspondants et "BMA = "B' MP car confondus]  !
!
!
Les triangles MC’P et MCA sont également semblables car ils ont deux paires d’angle égaux [ "MC' P # "MCA car correspondants et "PMC'= "AMC car confondus]  !
MB' MP
=
MB MA
MC' MP
=
MC MA
!
De ces deux relations, nous pouvons déduire que :
!
!
 MB' MC'
MC MC'

=
=
= 1 (car milieu) MB MC
MB MB'
MB' MC'
=
= 1 (M étant le milieu de BC)  MB’=MC’ MB MC
!
!
 M est le milieu de B’C’  AM est la médiane du triangle AB’C’ #CQFD THEOREME DE L’ANGLE INSCRIT :
(Tel que Euclide l’avait présenté dans son livre « Les Eléments » ; 200‐300 av. J.‐C.) « Tout angle inscrit dans un cercle, a pour mesure la moitié de celle de l’arc qu’il intercepte sur le cercle » 17 Chloé Romano 3M4 !
!
• Démonstration :
On complète la figure en traçant la droite SO (elle coupe le cercle γ en D) Posons " = #BSO ; " = #OSA Les triangles BOS et AOS sont isocèles en O (cf rayons, ils ont chacun deux côtés égaux) ! Donc on retrouve !
" en B et " en A D’où : ‐ "BOS = 180° # 2$ ‐ "AOS = 180° # 2$ !
!
"BOA = 360° # [ (180° " 2# ) + (180° " 2$ ) ]= 2" + 2# !
! = 2(# + $ ) = 2("BSA) "BOA
!
!
#CQFD • Corollaire :
« Dans un quadrilatère inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires (" = 180°) » !
18 Chloé Romano 3M4 " + # = 180° (Car 2" + 2# = 360° ) " + # = 180° (Car 2" + 2# = 360° ) !
!
Preuve : conséquence du théorème de l’angle inscrit !
! DE PTOLEMEE :
THEOREME
(1er‐2ème siècle ap. J.‐C.) « Un quadrilatère ABCD convexe (pas d’angle > 180° ) est inscriptible si et seulement si le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des longueurs des côtés opposés [ (AC " BD) = (AB " CD) + (BC " AD) ] » !
• Démonstration de l’implication
directe :
!
On admet que ABCD est inscrit dans un cercle : Par le théorème de l’angle inscrit, on retrouve deux fois α (tous deux interceptent le même arc de cercle BC), de même on a deux fois " (tous deux interceptent le même arc AB) Construisons le point K, situé sur AC, tel que "ABK = "DBC !
!
19 Chloé Romano 3M4 Les triangles ABK et DBC sont semblables (car ils ont deux angles égaux) Donc : ➀ !
!
"ABD = "KBC ( "KBD commun + 1 "# ) Il s’en suit que les triangles ABD et KBC sont semblables (2 "# et 2"#  2 angles égaux) !
Donc : !
➁ !
!
AK CD
=
AB BD
!
DA CK
=
BD BC
!
➀ Nous donne : (par les produits croisés) AK " BD = AB " CD ➁ Nous donne : (par les produits croisés) CK " BD = BC " DA !
En faisant la somme des deux nous trouvons : ! " DA) (AK + CK)BD = (AB " CD) + (BC
Etant donné que : (AK + CK) = AC  AC " BD = (AB " CD) + (BC " DA) #CQFD !
!
THEOREME DES BISSECTRICES :
« Dans un triangle ABC, la bissectrice intérieure (extérieure) issue de A coupe la droite BC en un point P (P’ pour la bissectrice extérieure) tel que : PB AB
=
PC AC
(Pour la bissectrice extérieure :
P' B AB
) =
P'C AC
MB AB
appartient à l’une des deux =
MC AC
!
bissectrices issue de A » Réciproquement tout point M de la droite BC tel que ;
!
!
•
Démonstration :
20 Chloé Romano 3M4 Construire la parallèle d à AC par B On retrouve les angles ➀, ➁ et ➂ (cf. figure) Ils sont tous les trois égaux entre eux (cf. bissectrices intérieures + alterne interne) Les triangles PAC et PBD sont semblables (cf. deux angles égaux, opposés + alterne interne) PB BD
on appelle cette relation ✳ =
PC AC
Le triangle ABD est isocèle (cf. deux angles égaux) !
 AB=BD en utilisant cette relation dans ✳ on obtient :
PB AB
=
PC AC
#CQFD !
La démonstration pour la bissectrice extérieure est analogue. • Réciproque :
On a un point M tel que :
MB AB
AB
 (BC;M) =
=
MC AC
AC
Or, si b1 coupe BC en P  (selon la première implication) !
!
!
!
PB AB
=
PC AC
21  PA + PB + PC = CC' =
!
Chloé Romano 3M4 AB
AC
Donc (BC ;P)=(BC ;M) et P " M !
#CQFD !
LE CERCLE D’APOLLONIUS :
(Conséquence du théorème des bissectrices) Il s’agit d’un lieu géométrique. « Deux points A et B sont donnés, ainsi qu’un nombre k positif ; le lieu géométrique des points P tel que Donné sans démonstration. Exemple : k=2 On cherche les points P tel que PA
= k est un cercle. » PB
!
PA
= 2 PB
!
• Marche à suivre :
➀ Construire le point R tel que (AB ; R)=2 ➁ Construire le point S tel que (AB ; S)=‐2 ➂ Le cercle de Thalès du segment RS est le lieu géométrique cherché (ce cercle se construit en trouvant le milieu M de RS; M est le centre du cercle de Thalès) THEOREME DE CEVA :
22 Chloé Romano 3M4 Giovanni Céva était un mathématicien italien du XVIème siècle. « Dans un triangle ABC, si les céviennes (droites passant par un sommet) AA’, BB’ et CC’ sont concourantes en P, alors : BA' CB' AC'
"
"
= 1 A'C B' A C' B
!
[Peut aussi s’exprimer ainsi : (BC ;A’)(CA ;B’)(AB ;C’)=‐1] » • Propriété nécessaire :
Pour démontrer ce théorème nous avons besoin d’une propriété sur les fractions : Si a c
a c a"c
= alors = =
b d
b d b"d
Preuve :
!
On admet que !
a c
c a"c
= et on va montrer que =
b d
d b"d
c
a c
a"c
 c(b " d) = ?d(a " c)  bc " cd = ?ad " cd  bc = ?ad  = : ce qui est =?
d
b d
b"d
!
!
vrai donc on peut revenir en arrière pour prouver la relation. !
!
•
!
!
Démonstration du théorème de Céva :
!
Dans le triangle ABC ci‐dessus : 23 Chloé Romano 3M4 BA' " (ABA')
=
A'C " (AA'C)
( " = aire ) Car : !
1
" (ABA') = # h # BA' 2
et !
1
" (AA'C) = # h # A'C 2
BA' " (PBA')
=
A'C " (PA'C)
De même : !
!
Car : 1
" (PBA') = # h'#BA' 2
et !
On reprend la propriété sur les fractions : !
!
a c a"c
= =
b d b"d
On prend : !
On a bien Donc : 1
" (PA'C) = # h'#A'C
2
a = " (ABA')
b = " (AA'C)
c = " (PBA')
d = " (PA'C)
a c
BA'
= car tous deux sont égaux à !
b d
A'C
! BA'
!
a"c
# (ABA') " # (PBA')
# (PAB)
=(
)=
=
➀ b " d # (AA'C) " # (PA'C) # (CAP)
A'C
On peut établir de la même manière : !
➁ CB' " (BCP)
=
B' A " (ABP)
et ➂ AC' " (CAP)
=
C' B " (BCP)
En « multipliant » ces trois équations, on obtient : !
!
BA' CB' A'C # (PAB) # (BCP) !# (CAP)
"
"
=
=
=
= 1 A'C B' A C' B # (CAP) # (ABP) # (BCP)
LA DROITE D’EULER :
#CQFD 24 Chloé Romano 3M4 Euler :
•
Léonard Paul Euler est né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le 18 septembre 1783 à Saint‐
Pétersbourg. Son père, Paul Euler, était un pasteur et sa mère, Marguerite Brucker, était elle même fille de pasteur. Il a été un mathématicien et un physicien suisse très célèbre qui a fait d’importantes découvertes dans beaucoup de domaines tels que le calcul infinitésimal, la théorie des graphes, la mécanique, la dynamique des fluides ou encore l’optique et l’astronomie. Euler est représenté sur la sixième série de billets de 10.‐ suisses (cf. photo) ou encore sur de nombreux timbres postaux, notamment en Allemagne et en Russie, où il a passé une grande partie de sa vie. • Théorème :
« Dans un triangle ABC, quelconque, le centre de gravité G, l’orthocentre H et le centre O du cercle circonscrit, sont toujours alignés » (La droite par laquelle passe tous ces points s’appelle la droite d’Euler) » • Démonstration :
(Nous allons utiliser les vecteurs pour cette démonstration car cette manière est plus simple) Soit le point S : OS = OA + OB + OC (✳) !
25 Chloé Romano 3M4  OS " OA = OB + OC et donc par la règle de Chasles : OS " OA = AS  [A’ est le milieu de BC, OA' =
!
!
!
!
Or, OA'"BC (médiatrice) AS"BC !
!
De ceci : ➀ S est sur hA !
Et de même on peut montrer que : ➁ S est sur hB et ➂ S est sur hC Avec : ➀, ➁ et ➂, on peut en déduire que S est l’orthocentre H OH = OA + OB + OC Donc en utilisant ✳ on peut en déduire : Or : !
1
(OB + OC) ]  AS = 2OA'  (colinéaire) AS //OA' 2
1
OG = (OA + OB + OC) 3
!
 OH = 3OG  OH et OG sont colinéaires et donc : O, H et G sont alignés. !
#CQFD !
!
THEOREME :
« Soit M le milieu du côté AB d’un triangle ABC. Les bissectrices des angles AMC et BMC coupent les droites AC et BC aux sommet D et E d’un trapèze. » • Démonstration :
Selon le théorème de la bissectrice : 26 Dans le triangle AMC : DC CM
=
AD AM
} Or, Dans le triangle MBC : !
Donc : !
Chloé Romano 3M4 CM CM
car AM=BM (milieu) =
AM BM
CE CM
=
BE BM
!
!
DC CE
 DE // AB (Théorème de Thalès) =
AD BE
Et ABED est un trapèze. !
!
#CQFD THEOREME DE NAPOLEON :
Napoléon s’intéressait beaucoup à la géométrie quelqu’un lui a donc dédié ce théorème. La première trace écrite de ce théorème date du début du IXème siècle. • Énoncé :
« Soit ABC un triangle quelconque ; on construit les trois triangles équilatéraux sur les côtés AB, BC et CA. Les « centres » de ces trois triangles équilatéraux forment un triangle équilatéral. » •
Preuve :
27 !
!
!
Chloé Romano 3M4 1ère étape :
Dans un premier temps, nous allons démontrer que les trois cercles circonscrits se coupent en un point (les cercles sont concourants) (cercle circonscrit à ABC’) " (cercle circonscrit à AB’C) " { A;#} (Et nous allons voir que " est forcément sur le 3ème cercle) ➀ "BC' A = 60° (car le triangle BC’A est équilatéral) ! = 120° (cf. corolaire p.19) Le quadrilatère !AC' B" est inscrit donc "B#A
!
➁ "AB'C = 60° (ca le triangle AB’C est équilatéral) Le quadrilatère AB'C" est inscrit donc "A#C = 120° (cf. corolaire p.19) !
!
De ➀ et ➁, on peut déduire : !+ 120°)] ! = 120° [= 360° " (120°
"B#C
Imaginons par l’absurde que " n’est pas sur le 3ème cercle circonscrit : !
!
Le quadrilatère A’CSB est inscrit dans le cercle de centre I Selon la réciproque du théorème de l’angle inscrit (qui dit que si un quadrilatère est inscrit dans un cercle, les angles opposés sont supplémentaires) et en sachant que "BA'C = 60° , on peut déduire que "BSC = 120° Donc si le quadrilatère BA'C" est inscrit dans le cercle de centre I, " est forcément confondu avec S. !
!
!
!
28 Chloé Romano 3M4 Nous avons donc à présent démontré que les trois cercles se coupent en ". 2ème étape :
!
Démontrons que KJ est la médiatrice de A" : ‐ KA = K" (=rayon du 1er cercle) JA = J" (=rayon du 2ème cercle) ‐
!
Donc : ! !
• KJ est la médiatrice de A" [K et J sont équidistants de A et " (cf propriétés des médiatrices)] De même on peut démontrer que : !
!B" • KI est la médiatrice de • IJ est la médiatrice de C" (Ces trois relations sont possibles uniquement car " se trouve sur les trois cercles) !
!
• Propriété nécessaire :
!
Avant de poursuivre, nous avons besoin d‘une propriété qui nous servira pour la suite de la démonstration : Soit a et b, deux droites ; si r " a et s " b  r et s déterminent le même angle (ou le supplémentaire) que a et b !
!
•
Suite de la démonstration :
29 Chloé Romano 3M4 "IKJ = ? Mais : KI"B# (cf. médiatrice démontrée plus haut) Et : KJ"A# (cf. médiatrice démontrée plus haut) !
Et en plus, "B#A = 120° (vu plus haut) ! !
Donc au vu de la propriété que l’on vient de démontrer : ! et KJ se coupent selon un angle de 120° ou 60° ; ici nous gardons l’angle aigu et nous KI
trouvons : "IKJ = 60° De même : !
!
"KJI = 60°#
$  Le triangle KIJ est équilatéral "KIJ = 60°%
#CQFD LE PROBLEME DE FERMAT :
Pierre de Fermat (1601‐1665) posa le problème suivant au physicien italien Torricelli (1608‐
1647) : « Un triangle ABC, quelconque étant donné, déterminer le point P intérieur à ABC qui minimise la somme des distances PA+PB+PC » Intuitivement, le point P est à l’intérieur du triangle ABC. • Propriété nécessaire :
Prenons P un point quelconque à l’intérieur de ABC. Faisons une rotation rB : de centre B et d’amplitude +60° (inverse du sens des aiguilles d’une montre) rB : P " P’ A "!C’ Le triangle BAC’ est équilatéral ( "ABC'= 60° + isocèle car BA=BC’) !
!
!
!
30 !
Chloé Romano 3M4 Le triangle BPP’ est équilatéral ( "PBP'= 60° + isocèle car BP=BP’) (C, P, P’ et C’ ne sont (à priori) pas alignés ; la ligne C’, P, P’ C est (à priori) brisée) !
• PA=C’P’ (car par rotation rB , BPA " BP’C’) • PB=P’P (car PBP’ est équilatéral)  PA + PB + PC = C' P'+P' P + PC " CC' !
!
Ainsi, quelque soit P et en sachant que CC’ est une constante, on a : PA + PB + PC " CC' • Suite démonstration :
!
Prenons maintenant pour le point P, le " du théorème de Napoléon : !
"APC = "BPC = "APB = 120° (P est le « point de Fermat » ou ") !
!
!
$
"BP' P = 60°(cf#équilatéral)
% => "C' P' P = 180° "BP'C'= (rotation)"BPA = 120°&
!
"BPP'= 60°(cf#équilatéral)$
% => "P' PC = 180° "BPC = 120°
&
De ces deux égalités on peut en déduire que les points C’, P’, P et C sont alignés ; ainsi on a construit un point P tel que PA + PB + PC " CC' (cf points alignés) Ce point P minimise donc la somme PA+PB+PC !
#CQFD 31 Chloé Romano 3M4 PPaarrttiiee ppeerrssoonnnneellllee :: Les problèmes d’Apollonius : APOLLONIUS :
Apollonius de Perge, né en 262 av. J.‐C. et mort en 190 av. J.‐C. était un des plus grands géomètres grecs de l’Antiquité. Il s’est également intéressé à l’astronomie. Il serait né à Perge (d’où son nom), une cité antique autrefois capitale de la Pamphylie (nom donné dans l'Antiquité à une région du sud de l'Asie mineure). Apollonius fut formé à Alexandrie, il baigna dans la tradition euclidienne. Euclide ayant vécu peu avant lui (325 av. J.‐C.‐265 av. J.‐C.). Il perpétua et développa d’ailleurs cette tradition en géométrie au travers de son travail sur les coniques, présenté en huit livres dont un seulement fut perdu, les autres ayant été conservés. Les quatre premiers ouvrages ne présentent rien de nouveau, ils traitent d’informations déjà mises en place par Euclide, cependant les trois suivants mettent en place des éléments tout à fait nouveaux qui ont permis d'établir la propriété caractéristique des sections coniques. Par ce traité sur les coniques, Apollonius baptisa en outre l’ellipse, la parabole et l’hyperbole des noms qu’on leur connaît aujourd’hui. La tradition euclidienne se manifesta aussi dans ses travaux par la classification des problèmes qu’il a réalisée selon les moyens mis en œuvre pour leur résolution : [problèmes plans (règle et compas), solides (utilisant des coniques)]. L’hypothèse des orbites excentriques qui explique le mouvement apparent des planètes et la variation de la vitesse de la lune lui est également attribuée. Hypothèse qu’il mît en commun avec celle des épicycles pour établir une équivalence et ainsi donner une réponse à beaucoup de questions que se posaient les astronomes de l’Antiquité. A côté de ses écrits, qui l’ont d’ailleurs rendu célèbre, Apollonius a rédigé une série d’autres ouvrages mais malheureusement une grande partie d’entre eux ont été perdu. Pappus en particulier, un important mathématicien de la Grèce Antique, a néanmoins donné des informations sur ces ouvrages perdus. Ces dernières permirent aux mathématiciens de la Renaissance d’en déduire une partie du contenu. Nous savons dès lors qu’il a travaillé pour améliorer l’approximation du nombre pi trouvé par Archimède. Il est aussi l’un des principaux fondateurs de l'astronomie grecque, laquelle utilisait des modèles géométriques pour expliquer la théorie planétaire. Apollonius a bien entendu beaucoup influencé les mathématiciens qui l’ont suivi. Il s’est entre autre intéressé à dix problèmes géométriques à résoudre à la règle et au compas. C’est sur ces problèmes que nous allons maintenant nous pencher plus précisément. 32 Chloé Romano 3M4 LES PROBLEMES D’APOLLONIUS :
Apollonius a posé un problème à résoudre à la règle et au compas. Voici en quoi il consiste : « Trouver un cercle tangent à trois objets donnés, ces objets étant des points, droites ou cercles. Il y a dix cas de choix des objets. Le cas le plus difficile étant celui de trois cercles. » Pour résoudre ces problèmes, il faut faire appel à la géométrie synthétique. C’est donc sur cela que portera la suite de mon travail. Je me suis intéressée à ces problèmes les uns après les autres en constatant que la difficulté augmentait au fil des cas. Pour des raisons de difficulté, je n’ai étudié que les cinq premières situations. Les suivantes faisant appel à des notions, comme les inversions par exemple, dont je n’ai pas connaissance. Voici donc une brève présentation des dix situations et le développement des cinq premières : DIX SITUATIONS :
1. Trois points : 2. Trois droites : 3. Deux points et une droite : 4. Un point et deux droites : 33 Chloé Romano 3M4 5. Deux points et un cercle : 6. Un point, une droite et un cercle : 7. Un point et deux cercles : 8. Deux droites et un cercle : 9. Une droite et deux cercles : 34 10. Trois cercles : Chloé Romano 3M4 TROIS POINTS :
Cette situation ne peut être résolue que d’une seule manière. Pour réaliser cette construction : Relions les trois points, le résultat est un triangle ABC. Traçons ensuite les médiatrices de AB, BC et AC. L’intersection des trois médiatrices est le centre O du cercle circonscrit du triangle ABC. Le cercle circonscrit est donc le cercle recherché car il passe par les trois points de départ : #CQFD 35 Chloé Romano 3M4 TROIS DROITES :
Cette situation peut être résolue de quatre manières différentes. Le premier cercle que l’on peut construire est le cercle inscrit du triangle formé par les trois droites. Pour réaliser cette construction : Traçons les trois bissectrices intérieures du triangle ABC formé par les trois droites. L’intersection des bissectrices intérieures est le centre O du cercle inscrit du triangle ABC. Le cercle inscrit est donc le cercle recherché car il est tangent aux trois droites. Les trois autres cercles peuvent être construits en traçant les bissectrices extérieures du triangle ABC. Les trois intersections trouvées sont les centres respectifs des trois autres cercles tangents aux trois droites. #CQFD 36 •
Chloé Romano 3M4 Propriété nécessaire :
Pour certaines des situations suivantes, nous aurons besoin d’une propriété appelée « La puissance d’un point à un cercle » : Théorème du produit constant : « Sur toutes les sécantes d’un cercle donné c passant par un même point donné P non situé sur c, le produit des deux segments issus de P et arrêtés au cercle c est le même. » Les points : A, B, A’, B’ ∈ c et P ∉ c Démonstration 1 :
Pour démontrer ce théorème, il nous faut montrer que les produits PA " PB et PA'"PB' sont égaux, donc que PA " PB = PA'"PB' Pour les deux cas ; celui où P se trouve à l’extérieur de c et celui où P se trouve à l’intérieur de c, !
!
le raisonnement est identique. !
Considérons le cas où P se trouve à l’extérieur de c : Traçons les segments BA’ et B’A sur notre figure : Considérons maintenant les triangles BA’P et B’AP : ‐ ∠APB’=∠A’PB car ils sont confondus ‐ ∠AB’P=∠A’BP car ils interceptent le même arc de cercle 37 Chloé Romano 3M4 Les triangles BA’P et B’AP sont donc semblables car ils ont deux, donc trois angles égaux. Les côtés correspondants de ces deux triangles sont donc proportionnels, comme on peut le constater en les séparant comme ceci : Donc, PA PB'
soit PA " PB = PA'"PB' =
PA' PB
Le raisonnement est identique lorsque P se trouve à l’intérieur de c. !
! #CQFD Démonstration 2 :
Examinons maintenant exclusivement le cas où P se trouve à l’extérieur de c : Lorsque la droite AA’ tourne autour de P de manière à ce que les deux points A et A’ se rapprochent de plus en plus l’un de l’autre, cette droite finit par ne devenir plus qu’un point qui est confondu avec une tangente PT : Considérons les triangles : PAT et PTA’ : ∠TAA’= α => ∠TOA’=2α TOA’ est isocèle car OT=OA=rayon  " = (180° # 2$ )
1
= 90° # $ 2
"# = 90° $ (90° $ % ) = % !
!
38 Chloé Romano 3M4 Donc, les triangles PAT et PTA’ sont semblables car ils ont deux angles égaux : ‐ En P (confondus) ‐ ∠TAP=∠PTA’=α Comme dans la démonstration précédente, les côtés correspondants de ces deux triangles semblables sont proportionnels donc : PA PT
=
<=> PA " PA'= (PT) 2 PT PA'
!
#CQFD DEUX POINTS ET UNE DROITE :
Cette situation peut être résolue de deux manières différentes. Pour nous aider à résoudre cette situation, considérons une figure d’étude : En bleu : les points A et B, ainsi que la droite d donnés. En vert : les traits de construction. En rouge : les solutions. Soit P, l’intersection de la droite AB avec la droite d Sur la figure d’étude ci‐dessus, il nous manque la longueur PM Or, selon « La puissance d’un point à un cercle » démontré précédemment, nous avons par rapport au cercle γ (en rouge) : ‐
PA " PB = (PM) 2 Autrement dit : !
PM = PA " PB ‐
Or le théorème de la hauteur (admis sans démonstration) dit : ! Dans un triangle rectangle ABC de hauteur h : h 2 = PA " PB !
39 Chloé Romano 3M4 Nous pouvons donc construire ce triangle ABC : Traçons AB de longueur PA+PB Puis le cercle de Thalès c (de diamètre AB) Traçons maintenant la perpendiculaire h à AB en P L’intersection de h et du cercle c, est le sommet C du triangle ABC On a h, donc la longueur PM (=h) Construisons donc maintenant les cercles cherchés : Reportons cette longueur (h) sur d de chaque côté de P Nous avons donc les deux points M et M’ qui nous permettent, en traçant la médiatrice de AB et la perpendiculaire à d en M (respectivement M’), de trouver les centres des deux cercles cherchés. #CQFD 40 Chloé Romano 3M4 UN POINT ET DEUX DROITES :
• Propriété nécessaire :
Pour résoudre cette situation, nous aurons besoin d’une « homothétie ». Une homothétie est une transformation géométrique qui vise à agrandir ou rétrécir une figure en fixant le centre et le rapport de l’homothétie. Définition générale :
Homothétie de centre O et de rapport k : ‐ O " O M " M' ‐
‐ OM' = k " OM ! ! Exemple : k=2 ! !
Soit M et M’ sur la droite d passant par O et N et N’ sur la droite f passant également par O OM' = 2 " OM La droite MN→ la droite M’N’ Et forcément MN // M' N' (par Thalès) !• Résolution :
Cette situation peut être résolue de deux manières différentes. Aidons nous à nouveau d’une figure d’étude résolue : 41 Chloé Romano 3M4 Les deux droites données a et b se coupent en O En prolongeant ces deux droites, nous obtiendrions quatre « parties » autour du point O, cependant nous allons nous intéresser uniquement à la « partie » contenant P. Voici la méthode pour réaliser cette figure : Traçons tout d’abord la bissectrice f de la croix (a ;b) (dans la « partie » où se trouve P) Prenons un point A quelconque sur f, puis traçons le cercle γ centré en A et tangent à a et b Pour ceci, il faut tracer la perpendiculaire p à a passant par A ; l’intersection T de a et p est le point de contact du cercle γ à la droite a (le cercle γ sera également tangent à b car son centre A se trouve sur la bissectrice de a et b) Traçons maintenant la droite OP Cette droite coupe le cercle γ en B et B’ Traçons la droite parallèle à AB passant par P Cette droite coupe la bissectrice f en X Puis la droite parallèle à AB’ passant par P coupe la bissectrice f en X’ Les cercles cherchés sont centrés en X et X’ et passent par P 42 !
Chloé Romano 3M4 Justification :
Pour justifier que les cercles centrés en X et X’ et passant par P sont bel et bien tangents à a et b nous devons utiliser la propriété démontrée ci‐dessus. En effet il y a une homothétie de centre O amenant A sur X et le cercle γ sur les cercles cherchés c et c’ Les droites AB et XP (respectivement AB’ et X’P) sont parallèles. Donc AB " XP et AB'" X' P par un rapport k #CQFD !
DEUX POINTS ET UN CERCLE :
• Propriété nécessaire :
Pour résoudre cette situation, nous aurons besoin d’un point de théorie supplémentaire. On considère deux cercles γ1 et γ2, il est possible de démontrer que le lieu géométrique des points P dont les puissances à γ1 et γ2 sont égales est une droite (nous admettrons cette propriété sans démonstration). Cette droite est perpendiculaire à la droite reliant les centres des deux cercles γ1 et γ2. On appelle ce lieu géométrique, l’axe radical (d) de γ1 et γ2 43 Chloé Romano 3M4 Cette deuxième situation nous intéresse. Si les cercles se coupent, alors l’axe radical passe par les points d’intersection des deux cercles. • Principe :
Cette situation comporte deux solutions. Etudions tout d’abord une figure d’étude résolue : En noir : les points A et B, ainsi que le cercle c donnés. En rouge et vert : les traits de construction. En bleu : les solutions. 44 Chloé Romano 3M4 Soit le cercle c et les points A et B donnés (en noir sur la figure d’étude). Le point T≡ point de contact de c et c1. (Le point T’≡ point de contact de c et c’1) Dès lors, nous n’étudierons plus que la méthode qui permet de construire le cercle c1, tout en sachant que la construction de c’1 est analogue. Soit t (la droite IT sur la figure d’étude) la tangente commune à c et c1 en T. t coupe la droite AB en I Soit c3, un cercle quelconque passant par A et B (en vert sur la figure d’étude) (son centre est J, sur la médiatrice de AB). Considérons maintenant le point I et sa puissance par rapport aux cercles c, c1 et c3 : 1. Puissance (I;c) = IC " ID = (IT) 2 2. Puissance (I;c1 ) = IA " IB = (IT) 2 3. Puissance (I;c 3 ) = IA " IB (car c3 passe par A et B) !
Si l’on associe maintenant les points 1, 2 et 3, on trouve : !
! (I;c) = puissance (I;c ) = (IT) 2 Puissance 1
Et puissance (I;c1 ) = puissance (I;c 3 ) = IA " IB Donc : puissance (I;c 3 ) = puissance (I;c) = (IT) 2 !
!
!
!
Donc, selon la propriété énoncée plus haut, nous pouvons savoir que le point I se trouve sur l’axe radical des cercles c et c3 (car les puissances de ce point à ces deux cercles sont égales). !
!
Cela signifie que I se trouvera sur la droite CD (CD étant l’axe radical des cercles c et c3) I sera donc obtenu par l’intersection des droites AB et CD. • Construction :
Nous allons maintenant étudier la méthode de construction du cercle c1 tangent à c et passant par A et B : Soit le cercle c et les points A et B, donnés. Tracer un cercle c3, quelconque, passant par A et B (son centre J se trouve sur la médiatrice de AB). Soit C et D, les intersections des deux cercles c et c3 Puis, tracer les deux droites AB et CD. Elles se coupent en I 45 !
Chloé Romano 3M4 Nous allons maintenant construire la longueur IT : IC " ID = (IT) 2 = x 2 Donc, selon le théorème de la hauteur, nous pouvons construire la longueur IT=x grâce au cercle de Thalès comme déjà fait précédemment (cf. PPD p.37) 46 Chloé Romano 3M4 Reportons donc cette longueur, en traçant le cercle c4 de centre I et de rayon IT (=x) : Nous obtenons ainsi le point T (respectivement T’) : c4 coupe c en T (respectivement T’) La droite IT est la tangente t à c Construisons maintenant les cercles cherchés c1 et c’1 Tracer la médiatrice de AT (respectivement AT’). Elle coupe la médiatrice de AB en O1 (respectivement O2), qui est le centre du cercle c1 (respectivement c’1) Tracer les deux cercles cherchés : 47 Chloé Romano 3M4 #CQFD 48 Chloé Romano 3M4 GLOSSAIRE :
‐ CÉVIENNES : Les céviennes sont toutes les droites qui passent par le sommet d’un triangle, les plus connues étant : Bissectrices : Hauteurs : Médianes : ‐ Un triangle est dit :
‐ ACUTANGLE : Si ses trois angles sont aigus. ‐ RECTANGLE : Si un de ses angle est droit. ‐ OBTUSANGLE : Si un de ses angle est obtus. ‐ SCALÈNE : Si tous ses côtés sont inégaux. ‐ ISOCÈLE : Si deux de ses côtés sont égaux. ‐ ÉQUILATÉRAL : Si ses trois côtés sont égaux. ‐
Deux triangles sont dits :
ISOMÉTRIQUES, lorsqu’ils sont images l’un de l’autre par une ou plusieurs isométries (translation, rotation, symétries,…) Les trois cas d’isométrie des triangles étant : ‐ Un côté isométrique compris entre deux angles respectivement isométriques ‐ Deux côtés respectivement isométriques adjacents à un angle isométrique ‐ Leurs trois côtés sont respectivement isométriques SEMBLABLES, lorsque leurs trois angles sont respectivement égaux deux à deux. Les trois cas de similitude des triangles étant : ‐ Un angle isométrique compris entre deux côtés respectivement proportionnels ‐ Deux angles respectivement isométriques ‐ Leurs trois côtés respectivement proportionnels 49 Chloé Romano 3M4 REMERCIEMENTS :
Je souhaite tout d’abord adresser un grand merci à Monsieur Alexander Müller, qui m’a suivi et s’est montré à l’écoute tout au long de ce travail. Ce dernier n’aurait pu voir le jour sans ses explications et conseils qui me furent précieux. Ma reconnaissance également à ma famille et à mes proches pour le soutien et l’aide qu’ils m’ont apporté lors de la réalisation de ce travail. BIBLIOGRAPHIE :
• Livres utilisés :
« Le triangle trois points c’est tout », Revue tangente, Hors série n° 24 « Géométrie plane », André Delessert, Ed. SPES, 1961 « College Geometry, an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle », Nathan Altshiller Court, Ed Barnes & Noble, 1952 • Sites internet consultés :
Biographie de Pythagore : http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=pythagore Démonstration supplémentaire du théorème de Pythagore : http://www.kulturica.com/theoreme.htm Biographie de James Abraham Garfield : http://fr.wikipedia.org/wiki/James_Abram_Garfield Biographie d’Euler : http://fr.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Biographie d’Apollonius : http://fr.wikipedia.org/wiki/Apollonius_de_Perga http://www.lycee‐international.com/travaux/HISTMATH/apollonius/ Documents d’étude pour les problèmes d’Apollonius : http://www.maths.ac‐aix‐marseille.fr/debart/seconde/contruc_cercle.html 50 Chloé Romano 3M4 51 http://mathafou.free.fr/pbg/sol136.html