Géométrie synthétique - Gymnase Auguste Piccard

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LE RAPPORT DE SECTION :!...............................................................................................................................................!4!
•!Exemples :!...........................................................................................................................................................!4!
Remarques :!.................................................................................................................................................................!4!
Exemple de rapport de section :!............................................................................................................................!4!
•!Points conjugués harmoniques :!................................................................................................!5!
Exemple :!.......................................................................................................................................................................!5!
•!Complément :!.....................................................................................................................................................!6!
THEOREME DE PYTHAGORE :!...........................................................................................................................................!6!
•!Pythagore :!........................................................................................................................................................!6!
•!Première démonstration :!..................................................................................................................!7!
Théorème :!...................................................................................................................................................................!7!
•!Seconde démonstration :!.....................................................................................................................!8!
•!3ème démonstration :!..............................................................................................................................!10!
•!4ème démonstration :!..............................................................................................................................!11!
LE SEGMENT MOYEN D’UN TRIANGLE :!....................................................................................................................!12!
•!Démonstration du théorème :!......................................................................................................!13!
COROLLAIRE DU THEOREME PRECEDENT :!..............................................................................................................!13!
•!Preuve :!..............................................................................................................................................................!14!
QUELQUES LIGNES D’UN TRIANGLE :!......................................................................................................................!14!
THEOREME : (POUR LES MEDIANES)!........................................................................................................................!14!
UNE CONSTRUCTION :!...................................................................................................................................................!15!
•!Pour la réaliser :!................................................................................................................................!16!
THEOREME :!........................................................................................................................................................................!17!
THEOREME DE L’ANGLE INSCRIT :!.............................................................................................................................!17!
•!Démonstration :!.........................................................................................................................................!18!
•!Corollaire :!..................................................................................................................................................!18!
THEOREME DE PTOLEMEE :!...........................................................................................................................................!19!
•!Démonstration de l’implication directe :!................................................................!19!
THEOREME DES BISSECTRICES :!...............................................................................................................................!20!
•!Démonstration :!.........................................................................................................................................!20!
•!Réciproque :!..................................................................................................................................................!21!
LE CERCLE D’APOLLONIUS :!..........................................................................................................................................!22!
•!Marche à suivre :!...................................................................................................................................!22!
THEOREME DE CEVA :!.....................................................................................................................................................!22!
•!Propriété nécessaire :!.....................................................................................................................!23!
Preuve :!.......................................................................................................................................................................!23!
•!Démonstration du théorème de Céva :!...............................................................................!23!

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3!
LA DROITE D’EULER :!......................................................................................................................................................!24!
•!Euler :!................................................................................................................................................................!25!
•!Théorème :!........................................................................................................................................................!25!
•!Démonstration :!.........................................................................................................................................!25!
THEOREME :!........................................................................................................................................................................!26!
•!Démonstration :!.........................................................................................................................................!26!
THEOREME DE NAPOLEON :!.........................................................................................................................................!27!
•!Énoncé :!..............................................................................................................................................................!27!
•!Preuve :!..............................................................................................................................................................!27!
1ère étape :!...................................................................................................................................................................!28!
2ème étape :!..................................................................................................................................................................!29!
•!Propriété nécessaire :!.....................................................................................................................!29!
•!Suite de la démonstration :!......................................................................................................!29!
LE PROBLEME DE FERMAT :!...........................................................................................................................................!30!
•!Propriété nécessaire :!.....................................................................................................................!30!
•!Suite démonstration :!.......................................................................................................................!31!
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APOLLONIUS :!....................................................................................................................................................................!32!
LES PROBLEMES D’APOLLONIUS :!..............................................................................................................................!33!
DIX SITUATIONS :!..........................................................................................................................................................!33!
TROIS POINTS :!................................................................................................................................................................!35!
TROIS DROITES :!.............................................................................................................................................................!36!
•!Propriété nécessaire :!.....................................................................................................................!37!
Démonstration 1 :!....................................................................................................................................................!37!
Démonstration 2 :!....................................................................................................................................................!38!
DEUX POINTS ET UNE DROITE :!.................................................................................................................................!39!
UN POINT ET DEUX DROITES :!...................................................................................................................................!41!
•!Propriété nécessaire :!.....................................................................................................................!41!
Définition générale :!...............................................................................................................................................!41!
•!Résolution :!..................................................................................................................................................!41!
Justification :!..............................................................................................................................................................!43!
DEUX POINTS ET UN CERCLE :!.....................................................................................................................................!43!
•!Propriété nécessaire :!.....................................................................................................................!43!
•!Principe :!........................................................................................................................................................!44!
•!Construction :!............................................................................................................................................!45!
CONCLUSION :!...............................................................................................................!Erreur*!*Signet*non*défini.!
GLOSSAIRE :!.......................................................................................................................................................................!49!
‐!Un triangle est dit :!........................................................................................................................!49!
‐!Deux triangles sont dits :!..........................................................................................................!49!
REMERCIEMENTS :!...........................................................................................................................................................!50!
BIBLIOGRAPHIE :!..............................................................................................................................................................!50!
•!Livres utilisés :!...................................................................................................................................!50!
•!Sites internet consultés :!.........................................................................................................!50!
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Quelques*définitions,*propriétés,*…*classiques*:*
!
!
LE RAPPORT DE SECTION :
!
Soit!A,!B!et!P!trois!points!alignés,!on!définit!le!rapport!de!section!(AB!;!P)!=!
!
"
!le!nombre!suivant!:!
!
AB
!=!
!
"
!
BP
!
Ce!nombre!
!
"
!définit!en!quelque!sorte!la!position!relative!de!ces!trois!points!alignés.!
!
• Exemples :
!
! (AB!;!P)!=!‐3!car!
!
AP
=!‐3
!
BP
!
!
! (AB!;!P)!=!‐1!car!
!
AP
=!‐1
!
BP
!
!
! (AB!;!P)!=!0!car!
!
AP
!=!0
!
BP
!
!
! (AB!;!P)!=!?!!car!
!
AP
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!
BP
!
! (AB!;!P)!=!
!
"
!/!Impossible!
!
! (AB!;!P)!=!5!car!
!
AP
!=!5
!
BP
!
!
Remarques :
!
‐
!
"
!est!nul!si!P!se!trouve!en!A!
‐
!
"
!est!négatif!si!P!se!trouve!entre!A!et!B!
‐
!
"
!est!positif!si!P!se!trouve!à!l’extérieur!du!segment!AB!
!
Exemple de rapport de section :
!
A!et!B!sont!donnés,!voici!la!construction!du!point!P,!tel!que!(AB!;!P)=!
!
3
2
!
!
AP
=!
!
3
2
!
BP
!

! ! Chloé!Romano!
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!!!
5!
!
• Points conjugués harmoniques :
!
Soit!4!points!A,!B,!R!et!S,!alignés,!ces!4!points!sont!«!conjugués!harmoniques!»!si!:!
(AB!;!R)!=!‐(AB!;!S)!
!
Exemple :
!
(AB!;!R)!=!
!
2
3
!!
!
AR
!=!
!
2
3
!
BR
!
! Moyen!mnémotechnique!:!
(AB!;!S)!=!‐
!
2
3
!!
!
AS
!=!‐
!
2
3
!
BS
! Le!2!va!avec!le!A,!le!3!avec!le!B!
!
!
!
Par!Thalès!:!
!
AR
BR
!=!
!
2
3
!
!
AS!et!BS!sont!opposés!donc!nous!pouvons!déjà!être!sûr!que!le!coefficient!sera!négatif.!
!
!
AS
BS
!=!
!
2
3
!!AS!=!
!
2
3
!BS!!
!
AS
=‐
!
2
3
!
BS
!
!
!