Exercices : Signaux Périodiques

Exercices : Signaux Périodiques
Pour les exercices 5.01 à 5.03, vérifier les affirmations a , b , c , d .
5.01 On considère le signal ci-contre :
a. La composante continue de u(t) vaut 1,5V.
b. La décomposition en série de Fourier de
l’ondulation de u(t) ne renferme que des
termes en cos(nωt).
c. Si on double la fréquence de ce signal, la valeur efficace de u(t) double également.
d. On applique u(t) à l’entrée d’un filtre passe-haut, de fréquence de coupure f
C
<< 1/T ;
en sortie du filtre, le signal ondule entre +1 V et –2 V.
5.02 On donne la décomposition en série de Fourier
du signal triangulaire représenté à droite :
( )
[ ]
∞
=
ω+
+π
=
0n 2
2
t)1n2(sin
1n2
8
)t(u
a. La valeur efficace de u(t) vaut ≈ 0,707 V.
b. Si on ajoute une composante continue à u(t), il apparaît des harmoniques de rang pair.
c. La valeur efficace de l’harmonique 7 de u(t)
vaut 1/√7 V.
d. On fait passer u(t) dans un dérivateur, dont la
transmittance complexe est H(jω) = 1×10
-
4
jω .
En sortie du dérivateur, nous observons la
tension u’(t) . (fréquence : f = 25 kHz)
5.03 On a relevé la figure ci-contre, pour le spectre
d’un signal m(t) :
a. Le signal m(t) ne possède pas de symétrie de
glissement .
b. la valeur efficace de m(t) est égale à 0,56 V .
c. La puissance dissipée par l’harmonique 2 dans une
résistance de 50 Ω vaut +0,15 dBm .
d. Si on ne considère que les harmoniques de rang ≤ 6,
le taux de distorsion harmonique de m(t) est de 20%.
+3
0 T/3 2T/3 T t
u(V)
0 T/4 T/2
T t
-
1
+1
u(V)
0 T/2 T t
u’(V)
+10
-
10
Val. efficaces (V)
0 f 2f 3f 4f 5f 6f (Hz)
0,20
0,15
0,10 0,08
0,02 0,01

5.04 Redressement simple ou double alternance d’une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz.
Nous cherchons à comparer les performances
des 2 types de redresseurs.
L’opération de redressement est suivie d’un
filtrage passe-bas, afin d’élaborer des
signaux à faible taux d’harmoniques.
A partir de la tension u(t) = 12sin100πt,
on élabore u
R1
(t) (mono alternance) ou
u
R2
(t) (bialternance).
On donne ci-dessous les expressions des
décompositions en série de Fourier de u
R1
et de u
R2
:
∞
=
π
−
π
+π+
π
=
1p 2
1R
)tp200cos(
)1p4(
1
.
24
)t100sin(6
12
)t(u
∞
=
π
−
π
−
π
=
1p 2
2R
)tp200cos(
)1p4(
1
.
48
24
)t(u
1) Représenter les spectres d’amplitude de u
R1
et de u
R2
, et ce, jusqu’à l’harmonique de rang 8 .
On négligera les harmoniques de rang supérieur dans la suite.
2) Les tensions u
R1
et u
R2
sont appliquées à un filtre passe-bas de transmittance complexe
25
f
j1
1
)jf(T + =
Calculer la valeur du module de T(jf) pour les fréquences 50, 100, 200, 300 et 400 Hz.
3) On appelle u’
R1
et u’
R2
les tensions de sortie de ce filtre, correspondant réciproquement à son
attaque par u
R1
ou par u
R2
. Calculer et représenter les spectres d’amplitude approchés de u’
R1
et
u’
R2
.
Calculer les taux d’ondulation τ
1
et τ
2
de ces deux tensions et conclure.
5.05 L’étude d’une tension u
E
(t), de fréquence fo a montré qu’on pouvait l’assimiler à la somme :
u
E
(t) ≈ 4,725 – 3,475cos(2πfot) – 0,275cos(4πfot) + 0,225cos(6πfot)
1) Tracer (calculatrice) le chronogramme de u
E
(t), ainsi que son spectre d’amplitude .
2) Calculer le taux de distorsion harmonique (THD) et le taux d’ondulation de u
E
(t) .
3) u
E
(t) est appliquée à un filtre actif, de transmittance complexe :
−+
=
f
fo2
fo2f
j21
3
)jf(T
Donner les expressions de T = mod(T) et de ϕ = arg(T).
Calculer les valeurs numériques de T et de ϕ pour f valant 0, fo, 2fo et 3fo ; (ϕ en radians)
4) En appliquant le principe de superposition, déduire de ce qui précède, la décomposition en série de
Fourier approchée de la tension de sortie u
S
du filtre .
5) Tracer (calculatrice) le chronogramme de u
S
(t) et représenter son spectre d’amplitude ;
calculer le taux de distorsion harmonique de u
S
(t) et conclure sur le rôle du filtre .

5.07
1) Soit le courant i
1
(t) défini par i
1
(t) = 0,5 + sin(100πt) – (1/9).sin(300πt) + (1/25).sin(500πt).
Représenter son spectre d’amplitude. Quelle est la fréquence de ce courant ?
Quelle est la forme de son ondulation ? (tracer i
1
(t) à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un PC)
Que vaut le taux de distorsion harmonique de i
1
(t) ?
2) Soit maintenant le courant i
2
(t), défini par i
2
(t) = 2sin(140πt) – (2/9).sin(420πt) + (2/25).sin(700πt).
Répondre aux mêmes questions qu’en 1)
3) Les courants i
1
et i
2
convergent en un nœud, pour former le courant i(t) = i
1
(t) + i
2
(t).
Représenter le spectre d’amplitude de i(t) ; quel est l’encombrement spectral de ce courant ?
Représenter i(t) à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un PC ; déterminer graphiquement sa période ;
en déduire sa fréquence.
Quelle remarque peut-on faire ?
5.08
On donne à droite l’enregistrement du
spectre d’un signal périodique x(t).
Les réglages de l’analyseur de spectre sont
les suivants :
- En X : 5kHz / div
- En Y : 10dB / div
Déterminer les valeurs efficaces des
principales composantes harmoniques de x(t).
En déduire une valeur approchée du taux de
distorsion harmonique totale de x(t).
Annexe : La distorsion est-elle toujours « harmonique » ?
0Hz
0dBV