Mouvement harmonique entretenu

Expérience 3
LE MOUVEMENT
HARMONIQUE
ENTRETENU:
I. Introduction et objectifs
Dans l'expérience précédente, nous avons idéalisé le
mouvement harmonique en négligeant les forces de résistances.
Nous verrons, maintenant, de quelle façon tenir compte de ces
forces dissipatrices et comment compenser ces pertes d'énergie
pour entretenir le mouvement oscillatoire.
Lors de cette expérience, vous serez d'abord confronté à un
montage où l'amortissement est attribuable à un fluide (montage
Texas Tower). Dans un deuxième temps, vous aurez à analyser
des données prises par le professeur sur un montage plus
sophistiqué où l'amortissement est attribuable aux courants de
Foucault (montage DHMA).
Après cette expérience, vous serez en mesure :
1. de décrire le comportement oscillatoire d'un système masse-
ressort avec amortissement (m-k- γ );
2. d'établir graphiquement le lien entre l'amplitude A du
mouvement et la fréquence angulaire ω
e d'excitation.
3. de faire la relation entre la fréquence de résonance et la
fréquence naturelle d'oscillation d'un système.
4. de donner les caractéristiques du phénomène de résonance.
II. Équipement
• Chronomètre
• montage DHMA à
lecteur numérique;
• Mètre
• montage Texas
Tower.
III. Théorie
Dans les mouvements oscillatoires réels, l'énergie mécanique
est dissipée par des forces de frottements. Comme l'énergie d'un
tel mouvement décroît avec le temps, le mouvement est dit
amorti. Si les forces de frottements
sont faibles, on parle alors
d'oscillations sous-amorties, ce
mouvement amorti est presque
périodique, exception faite de
l'amplitude qui diminue lentement
avec le temps. Ceci s'explique par la
perte d'énergie totale du système, et
comme vous le savez, l'énergie totale
du système est proportionnelle à
l'amplitude au carré. Lorsque la
vitesse est faible, l'amortissement est
dû à une force de résistance f qui est
proportionnelle à la vitesse, et on obtient :
vf γ −=
On appliquant la deuxième loi de Newton, on peut obtenir une
équation différentielle dont l'équation ci-dessous nous donne la
solution de la fonction position associée à ce mouvement:
) '( sin 2
0
ϑω
γ
+= −teAx mt

La pulsation amortie ω ' est donnée par :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎢
⎢
⎣
⎡⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
2
2
02
'
m
γ
ωω
Dans un mouvement harmonique simple, l'énergie mécanique
totale oscille entre de l'énergie potentielle (dans le ressort) et de
l'énergie cinétique. Les valeurs moyennes de l'énergie cinétique et
de l'énergie potentielle sur un cycle étant identiques, l'énergie
totale peut s'obtenir simplement en doublant la valeur moyenne de
l'énergie cinétique.
ET=21
2mvmoy
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=mvmoy
2
Pour des oscillations sous-amorties, une très petite partie de
l'énergie mécanique est perdue durant chaque cycle de sorte que
l'énergie mécanique totale diminue lentement avec le temps. Ce
taux de variation d'énergie totale est égal à la puissance dissipée
par les forces de résistances:
2
vvf
dt
dE
P γ −===
Le signe négatif indique que de l'énergie est enlevée du système
oscillant. En utilisant l'équation précédente, on peut remplacer v2
dans cette équation et l'on obtient:
E
mdt
dE γ
−=
Une quantité sans dimension Q appelée facteur de qualité est
souvent utilisée pour décrire l'amortissement d'un oscillateur sous-
amorti. Si E est l'énergie totale et ΔE est l'énergie perdue durant
une période alors le facteur de qualité Q est défini par :
E
E
QΔ = π 2
après quelques transformations on obtient :
γ
ω
γ
π
m
T
m
Q== 2
Pour entretenir une oscillation amortie, de l'énergie extérieure doit
être introduite au système. Si l'énergie transmise au système
oscillant amorti est supérieure à l'énergie dissipée par les forces
d'amortissement, l'énergie totale du système augmente avec le
temps ce qui provoque une augmentation d'amplitude. Par contre,
si le taux d'énergie transmise au système est identique à la
puissance dissipée, l'amplitude demeure constante.
La figure ci-dessous consiste en un système masse-ressort
entretenu par un déplacement de haut en bas du point en contact
avec le support.

Si le point de contact avec le support se déplace selon un
mouvement harmonique simple avec une petite amplitude et une
fréquence angulaire ω
e, le système commence à osciller. Au
début, le mouvement est assez compliqué, mais éventuellement,
un état stationnaire est atteint et le système oscille à la même
fréquence que la force d'excitation. Dès lors, l'énergie fournie au
système par la force d'entraînement durant un cycle égale l'énergie
dissipée par cycle dans l'amortissement.
La solution stationnaire de la fonction position de ce
mouvement peut s'écrire :
) cos( δω −=tAx e
L'amplitude et de ce fait l'énergie d'un système oscillant en régime
permanent, dépend non seulement de l'amplitude de la force
d'excitation (Ae) mais aussi de la fréquence de cette force Fext.
La fréquence naturelle d'un oscillateur est définie comme étant
la fréquence d'oscillation de cet oscillateur sans amortissement et
sans force d'excitation. Par exemple, la fréquence angulaire
naturelle d'un système masse-ressort est:
m
k
=
0
ω
Pour une valeur de la fréquence angulaire we de la force
d'excitation approchant de la fréquence angulaire naturelle ω
0 d'un
oscillateur, l'énergie absorbée peut être maximale et le système
oscille avec une amplitude plus grande que l'amplitude excitatrice
Ae (amplitude de la force d'excitation). Ce phénomène est appelé
résonance.
Pour traiter mathématiquement un oscillateur entretenu, il nous
faut considérer, en plus de la force de rappel et de la force de
frottement, une force d'entraînement qui varie selon un
mouvement harmonique avec le temps:
) ( cos tFF ee
ext
ω =
où ωe est la fréquence angulaire de la force d'entraînement, qui est
généralement différente de la fréquence angulaire naturelle du
système ω0.
Une simple étude statique nous permet d'écrire :
Ae=F
e
k
Un objet de masse m attaché à l'extrémité d'un ressort de constante
k et sujet à une force d'amortissement - γ v entraînée par une force
Fe cos ω
e t donne, selon la deuxième loi de Newton:
dt
dv
mtFvkxFee =+−−=
∑)cos(
ωγ
ou encore
md2x
dt 2+
γ
dx
dt
+m ϖ
0
2x=F
ecos(
ω
et)
Notre but n'est pas de résoudre cette équation différentielle, nous
limiterons notre étude à une discussion portant sur une solution
générale. La solution de cette équation comporte deux partie; une
solution transitoire et une solution en régime permanent. La
solution transitoire est identique à celle que nous avons obtenue
pour un mouvement amorti. Comme l'amplitude décroît de façon
exponentielle, cette solution devient négligeable avec le temps. Il
nous reste la solution en régime permanent que l'on peut écrire de
la façon suivante :
)cos( δω −=tAx e
où la fréquence angulaire ω
e est identique à la fréquence angulaire
de la force d'entraînement avec l'amplitude A et le déphasage δ
donnés par :

22222
0
2)( ee
e
m
F
A
ωγωω +−
=
et
tan δ =
γ ω
e
m( ω
0
2−
ω
e
2)
En comparant les dernières équations, nous pouvons remarquer
que le déplacement et la force d'entraînement oscillent à la même
fréquence mais diffèrent d'une phase δ . Le signe négatif dans
l'équation est introduit afin que la constante de phase δ soit
positive. Lorsque la fréquence angulaire we de la force
d'entraînement est beaucoup plus petite que la fréquence naturelle
du système w0, alors δ = 0 comme nous pouvons le constater. À la
résonance, δ = π /2, et lorsque ω
e est beaucoup plus grand que
ω
0,
alors δ = π . À la résonance, l'amplitude devient maximale et l’on
obtient :
ω
r=
ω
01−
γ
2
2m2 ω
0
2
VI. Procédure expérimentale.
PARTIE A Texas Tower
Réglages préliminaires
Tourne disque
Placez le bouton de commande de la vitesse angulaire de rotation
Ω à 45 tours/min et glissez le support du tourne-disque de manière
à placer la petite roue de caoutchouc le plus près possible du
plateau.
Analyse du montage
Examinez attentivement les diverses composantes du montage et
trouvez leur utilité en répondant aux questions suivantes.
1. Comment se fait l’excitation de ce système ?
2. Qu’est-ce qui contrôle la vitesse de rotation de la petite roue ?
Essayez d’établir le lien existant entre ω et Ω .
3. Pourquoi le crochet fixé sur la tige de la petite roue ne serait-il
pas attaché au centre ?
4. Comment s’appelle cet écart par rapport au centre ?
5. Quelle est la position d’équilibre du système excitateur ?
6. À quoi sert l’eau dans le tube ?

MANIPULATIONS:
a) Mesures préalables:
Notez les valeurs indiquées sur votre montage soit : la masse du
ressort (M), la masse de la tige fixée au ressort (m) et la constante
d’élasticité k du ressort.
Numéro du montage
Masse du ressort M
g
Masse de la tige m
g
Constante d’élasticité k
N/m
Localisez le centre du petit disque et vérifiez si le crochet est bien
fixé au deuxième trou à partir du centre. Mesurez le rayon du petit
disque r et l’amplitude d’excitation AE.
r
AE
cm
cm
b) Mesure de la fréquence naturelle
Afin de mesurer la fréquence naturelle du système masse-ressort,
il s’agit de le faire osciller librement (moteur hors fonction) en
dehors de l’eau. Retirez délicatement le tube rempli d’eau et
observez les oscillations dans l'air. Faites au moins trois séries de
mesures de dix oscillations chacune afin d’établir la valeur de la
période naturelle et déduisez-en la pulsation naturelle. Complétez
les tableaux ci-après.
Nombre
d’oscillations
Temps requis
t (s)
Période naturelle
T0 (s)
c) Mesure de la constante d’amortissement
A) Replacez la masse de sorte qu’elle oscille dans l’eau. Avec le
moteur hors fonction, écartez la masse de sa position d’équilibre et
relâchez-la; elle exécute alors un mouvement sous-amorti.
Mesurez le temps requis pour dix oscillations et déduisez-en sa
période T. Répétez la procédure quelques fois et indiquez la
valeur moyenne de la période ci-après:
B) Écartez de nouveau la masse de sa position d’équilibre et
relâchez-la; mesurez sa position extrême vers le haut ou vers le
bas à toutes le deux oscillations. Le mouvement étant assez
rapide, il convient de l’observer quelques fois avant de vraiment
prendre les mesures. Notez alors les positions extrêmes (ou
l’amplitude) dans le tableau à la page suivante.
Période naturelle moyenne
T0 (s)
Pulsation naturelle moyenne
ω0 (s-1)
T’ = s