BAC3 ——– Groupes et représentations : I. Groupe des rotations `a

BAC3
——–
Groupes et repr´esentations :
I. Groupe des rotations `a 3 dimensions, groupe de
Lorentz et groupe de Poincar´e
Marc Henneaux

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Remerciements
Je remercie Geoffrey Comp`ere et Christiane Schomblond pour leur lecture
attentive de ces notes et leurs commentaires particuli`erement utiles.
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Chapitre 1
Repr´esentations de SO(3)
1.1 SO(3) et SU(2)
1.1.1 Le groupe SO(3) - Rappels
D´efinitions
Le groupe O(3) est le groupe des transformations orthogonales r´eelles `a 3
dimensions, c’-`a-d. l’ensemble de toutes les transformations lin´eaires de l’espace
vectoriel R3qui laissent la forme quadratique x2+y2+z2invariante. C’est un
sous-groupe de GL(3,R). La matrice Ad’une transformation orthogonale doit
satisfaire `a
A At=I=AtA(1.1)
o`u Atest la matrice transpos´ee. A noter que O(3) est aussi un sous-groupe de
U(3) puisque toute matrice r´eelle orthogonale est unitaire (At=A†si A=A∗).
De (1.1) on tire
(det A)2= 1 ⇔det A=±1 (1.2)
Le groupe SO(3) est le sous-groupe de O(3) qui contient les transformations
orthogonales pr´eservant l’orientation d’espace (on suppose qu’on a donn´e une
orientation `a R3), c’-`a-d. dont le d´eterminant est ´egal `a 1,
det A= 1.(1.3)
En terme des ´el´ements de matrice Aij , les conditions (1.1) et (1.3) s’´ecrivent
X
k
AikAjk =δij (1.4)
X
k
AkiAkj =δij (1.5)
εmnpAimAjnApk =εijk (1.6)
Une transformation appartient `a SO(3) ssi les 3 vecteurs {e1,e2,e3}d´efinis par
les lignes de la matrice correspondante, (ei)j=Aij , (ou de mani`ere ´equivalente,
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