Fonctions (méthodes et objectifs)

Fonctions (méthodes et objectifs)
G. Petitjean
Lycée de Toucy
26 septembre 2007
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1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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énoncé
Etudier les variations des fonctions suivantes
f (x ) = 2(x − 3)2 + 2
g(x ) = −2x 2 + 4x − 4
2
h(x ) = 3 −
x +1
4x + 5
k(x ) =
2x − 3
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corrigé 1/4
Soit
x1
< x2
63
x1 − 3
< x2 − 3
60
(x1 − 3)2
> (x2 − 3)2
2(x1 − 3)2
> 2(x2 − 3)2
2
2(x1 − 3) + 3 > 2(x2 − 3)2 + 3
donc f est strictement décroissante sur ] − ∞; 3]
Soit 3 6 x1
< x2
0 6 x1 − 3
< x2 − 3
(x1 − 3)2
< (x2 − 3)2
2(x1 − 3)2
< 2(x2 − 3)2
2
2(x1 − 3) + 3 < 2(x2 − 3)2 + 3
donc f est strictement croissante sur [3; +∞[
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corrigé 2/4
g(x ) = −2(x 2 − 2x + 2) = −2[(x − 1)2 + 1] = −2(x − 1)2 − 2
Soit x1
< x2
61
x1 − 1
< x2 − 1
60
(x1 − 1)2
> (x2 − 1)2
−2(x1 − 1)2
< −2(x2 − 1)2
2
−2(x1 − 1) − 2 < −2(x2 − 1)2 − 2
donc g est strictement croissante sur ] − ∞; 1]
Soit 1 6 x1
< x2
0 6 x1 − 1
< x2 − 1
(x1 − 1)2
< (x2 − 1)2
−2(x1 − 1)2
> −2(x2 − 1)2
2
−2(x1 − 1) − 2 > −2(x2 − 1)2 − 2
donc g est strictement décroissante sur [1; +∞[
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corrigé 3/4
Soit
x1
x1 + 1
<
<
x2
x2 + 1
1
x1 + 1
>
1
x2 + 1
<
−
<
3−
−
2
x1 + 1
3−
2
x1 + 1
< −1
<0
2
x2 + 1
2
x2 + 1
donc h est strictement croissante sur ] − ∞; −1[
De même h est strictement croissante sur ] − 1; +∞[
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corrigé 4/4
k(x ) =
Soit
11
2(2x − 3) + 11
=2+
2x − 3
2x − 3
x1
<
x2
2x1 − 3
<
2x2 − 3
1
2x1 − 3
>
1
2x2 − 3
11
2x1 − 3
>
11
2x2 − 3
>
2+
2+
11
2x1 − 3
3
2
<0
<
11
2x2 − 3
3
donc k est strictement décroissante sur −∞;
2
3
De même k est strictement décroissante sur
; +∞
2
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1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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énoncé
Déterminer le meilleur encadrement de x 2 − 4x + 3 lorsque −1 6 x 6 3
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corrigé
x 2 − 4x + 3 = (x − 2)2 − 1 donc la fonction f : x 7→ x 2 − 4x + 3 est
décroissante sur [−1; 2] et croissante sur [2; 3]
x
f (x )
−1
8
2
&
3
0
%
−1
donc pour tout x ∈ [−1; 3] , −1 6 f (x ) 6 8
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1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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12 / 44
énoncé
Montrer que le maximum de la fonction f : x 7→ −2x 2 + 4x + 5 sur R est 7
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corrigé
f (x )−7 = −2x 2 +4x +5−7 = −2x 2 +4x −2 = −2(x 2 −2x +1) = −2(x −1)2
donc pour tout réel x , f (x ) − 7 6 0 ou f (x ) 6 7
La différence s’annule pour x = 1, on vérifie en effet que f (1) = 7
Le maximum de f sur R est donc 7 atteint en 1.
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1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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énoncé
Résoudre graphiquement x 2 6
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1
x
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corrigé
S =]0; 1]
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1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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18 / 44
énoncé
Reconnaître les fonctions paires et impaires
f (x ) = x 2 + x
g(x ) = x 3 − x
x2 − 4
h(x ) = 4
x +1
x3
k(x ) = 2
x −1
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corrigé
f (−1) = 0 et f (1) = 2, donc f n’est ni paire, ni impaire
g est définie sur R centré en 0 et pour tout réel x
g(−x ) = (−x )3 − (−x ) = −x 3 + x = −(x 3 − x ) = −g(x )
donc g est impaire.
h est définie sur R centré en 0 et pour tout réel x
(−x )2 − 4
x2 − 4
h(−x ) =
=
= h(x )
(−x )4 + 1
x4 + 1
donc h est paire
k est définie sur R − {−1; 1} centré en 0 et pour tout réel x ∈ Dk
(−x )3
x3
k(−x ) =
=
−
= −k(x )
(−x )2 + 1
x2 + 1
donc k est impaire
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20 / 44
1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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21 / 44
énoncé
Déterminer la plus petite période des fonctions suivantes
f (x ) = 3 sin x + 2
g(x ) = sin(3x + 2)
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22 / 44
corrigé
f est définie sur R et pour tout réel x
f (x + 2π) = 3 sin(x + 2π) + 2 = 3 sin x + 2 = f (x )
donc f est périodique de période 2π
g est
définiesur R
2π
g x+
=
3
=
=
=
et pour
tout réelx
2π
sin 3 x +
+2
3
sin(3x + 2π + 2)
sin(3x + 2)
g(x )
2π
donc g est périodique de période
3
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23 / 44
1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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24 / 44
énoncé
2
sur ]0; +∞[
x
En déduire les variations de f sur ] − ∞; 0[ en étudiant la parité de f .
Déterminer les variations de f : x 7→ 3x −
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25 / 44
corrigé
x 7→ 3x est croissante sur R donc sur ]0; +∞[
1
1
x 7→ est décroissante sur ]0; +∞[, donc x 7→ − est croissante sur
x
x
]0; +∞[
Comme somme de deux fonctions croissantes sur ]0; +∞[, f est
croissante sur ]0; +∞[
f est définie sur R − {0} centré en 0 , et pour tout réel x 6= 0 ,
f (−x ) = −f (x )
f est impaire et croissante sur ]0; +∞[, donc elle est croissante sur
] − ∞; 0[
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26 / 44
1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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27 / 44
énoncé
1
x
Déterminer l’ensemble de définition de g ◦ f et calculer g ◦ f (x )
Soit f et g définies par f (x ) = x 2 + 1 et g(x ) =
Déterminer l’ensemble de définition de f ◦ g et calculer f ◦ g(x )
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28 / 44
corrigé
x ∈ Dg◦f ⇐⇒ x ∈ Df et f (x ) ∈ Dg ⇐⇒ x 2 + 1 6= 0, donc Dg◦f = R
1
g ◦ f (x ) = g[f (x )] = g(x 2 + 1) = 2
x +1
x ∈ Df ◦g ⇐⇒ x ∈ Dg et g(x ) ∈ Df ⇐⇒ x 6= 0 , donc Df ◦g = R∗
2
1
1
1
f ◦ g(x ) = f [g(x )] = f
+1=1+ 2
=
x
x
x
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29 / 44
1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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30 / 44
énoncé
Déterminer pour chacune des fonctions suivantes sous la forme v ◦ u où v
et u sont des fonctions usuelles.
√
f (x ) = 2x + 1
1
g(x ) =
2x − 1
h(x ) = (4x + 1)2
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31 / 44
corrigé
u
v √
f :x −
→ 2x + 1 −
→ 2x + 1
√
donc f = v ◦ u avec u(x ) = 2x + 1 et v (x ) = x
1
u
v
g :x −
→ 2x − 1 −
→
2x − 1
1
donc g = v ◦ u avec u(x ) = 2x − 1 et v (x ) =
x
u
v
h:x −
→ 4x + 1 −
→ (4x + 1)2
donc h = v ◦ u avec u(x ) = 4x + 1 et v (x ) = x 2
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32 / 44
1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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33 / 44
énoncé
A l’aide des propriétés sur les variations des fonctions composées, étudier
les variations des fonctions suivantes
√
1 f (x ) =
1−x
1
2 g(x ) =
x +1
1
3 h(x ) =
2
x +1
1
4 k(x ) =
2
x − 6x + 5
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34 / 44
corrigé 1/4
f est définie sur ] − ∞; 1]
√
u
v
x −
→ 1−x −
→
1−x
√
v
X
−
→
X
x
−∞
u(x ) = 1 − x = X
1
&
X
v (X ) =
0
√
−∞
x
f (x ) =
√
1−x
%
X
0
+∞
0
1
&
0

u est décroissante sur ] − ∞; 1]

pour tout x ∈] − ∞; 1] u(x ) ∈ [0; +∞[
v ◦ u est décroissante sur ] − ∞; 1]

v est croissante sur [0; +∞[
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35 / 44
corrigé 2/4
f est définie sur R − {−1}
x
u
−
→
v
1
v
x +1
1
x +1
−
→
X
−
→
X
−∞
x
−1
+∞
u(x ) = x + 1 = X
0
v (X ) =
%
−∞
x
f (x ) =
1
x +1
−1
||
&
||
−∞
X
%
1
X
0
||
&
||
+∞
&
||
+∞
&
||
9
u est croissante sur ] − ∞; −1[
=
pour tout x ∈] − ∞; −1[ u(x ) ∈ [−∞; 0[
v ◦ u est décroissante sur ] − ∞; −1[
;
v est décroissante sur [−∞; 0[
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36 / 44
corrigé 3/4
u
−
→
x
x
u(x )
x2
X
v
x2
−
→
X
−
→
v
−∞
x
v ◦ u(x )
x2 + 1
Y
1
w
x2 + 1
1
w
X +1
1
−
→
X +1
−
→
Y
−
→
0
Y
+∞
&
X
v (X )
X +1
Y
%
0
−∞
x
w ◦ v ◦ u(x )
1
x2 + 1
w
x2 + 1
0
+∞
&
%
Y
w (Y )
1
Y
1
−∞
0
1
%
G. Petitjean (Lycée de Toucy)
0
+∞
%
1
1
1
+∞
&
+∞
&
Fonctions (méthodes et objectifs)
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37 / 44
corrigé 4/4
k(x ) =
1
(x − 3)2 − 4
u
v
w
t
−
→ x −3 −
→ (x − 3)2 −
→ (x − 3)2 − 4 −
→
x
X
x
−∞
v
−
→
X2
−
→
w
X2 − 4
→
−
Y
−
→
w
Y −4
→
−
Z
→
−
1
||
k(x )
% || %
||
G. Petitjean (Lycée de Toucy)
3
1
−
4
5
t
t
t
1
(x − 3)2 − 4
1
X2 − 4
1
Y −4
1
Z
+∞
||
& || &
||
Fonctions (méthodes et objectifs)
26 septembre 2007
38 / 44
1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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Fonctions (méthodes et objectifs)
26 septembre 2007
39 / 44
énoncé
Dans un repère orthonormé , f est une fonction définie sur [0 ;4] dont la
représentation graphique est le demi-cercle de diamètre [AB] et passant
par C avec A(0; 0) , B(4; 0) et C (2; 2). Construire les courbes des
fonctions suivantes :
g(x ) = −2f (x )
h(x ) = f (x + 2)
k(x ) = f (x ) + 3
F (x ) = −2f (x + 2) + 3
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corrigé
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1
Déterminer des variations de fonctions en utilisant la définition
2
Encadrer une fonction
3
Déterminer les extrema d’une fonction
4
Résoudre graphiquement des équations
5
Etudier la parité de fonctions
6
Etudier la périodicité de fonctions
7
Déterminer les variations de somme ou de produit de fonctions
8
Déterminer la composée de deux fonctions et son ensemble de définition
9
Ecrire une fonction comme la composée de deux fonctions
10
Déterminer les variations de la composée de deux fonctions
11
Représenter la courbe de x 7→ f (x + a) + b
12
Déterminer les axes et centres de symétrie d’une courbe
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énoncé
1
2
f est la fonction définie par f (x ) = −3x 2 + 5x − 1
5
Montrer que la droite d’équation x = est axe de symétrie de la
6
courbe représentative de f
2x − 1
g est la fonction définie par g(x ) =
x +1
Montrer que A(−1; 2) est centre de symétrie de la courbe
représentative de g
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1
2
Soit
h ∈ R,
5 2
5
13
5
+ h = −3 h +
+5 h+
− 1 = −3h2 +
f
6
6
6 12
5
13
On en déduit en remplaçant h par −h , f
− h = −3h2 +
6
12
5
5
Pour tout réel h, on a donc f
−h =f
+h
6
6
Soit h 6= 0, alors −1 + h et 1 + h ∈ Dg
2(−1 + h) − 1
2h − 3
g(−1 + h) =
=
−1 + h + 1
h
−2h − 3
2h + 3
En remplaçant h par −h, on obtient g(−1 − h) =
=
−h
h
g(−1 − h) + g(−1 + h)
4h
On a donc pour tout h 6= 0,
=
=2
2
2h
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