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300 Logique (Patrick Dehornoy), X. Les ensembles constructibles [version 2006-07]
d´efinis `a l’aide notion d’ensemble des parties d´efinissables d’un ensem-
ble. Cette approche permet de d´ecrire de fa¸con plus pr´ecise les ensem-
bles constructibles, et, en particulier, de contrˆoler la complexit´e des par-
ties de α, et, de l`a, de montrer que le mod`ele Lsatisfait l’hypoth`ese
g´en´eralis´ee du continu. On d´eduit que la consistance de ZF entraˆıne
celle de ZFC+HCG, et que tout ´enonc´e d’arithm´etique prouvable `a par-
tir de ZFC+HCG est prouvable `a partir de ZF seul.
Dans la troisi`eme section, on mentionne, en g´en´eral sans d´emonstra-
tion, quelques r´esultats ult´erieurs mettant en jeu les ensembles con-
structibles et le mod`ele L, en particulier le bon ordre canonique de Let
les principes combinatoires ♦et !.#
#Au chapitre IX, on a ´etabli des r´esultats de comparaison entre divers syst`emes de th´eorie des
ensembles, r´esultats qu’on peut appeler n´egatifs puisqu’ils affirment que tel ou tel syst`eme ne
prouve pas tel ou tel axiome ou que la consistance du premier ne garantit pas celle du second.
Par exemple, on a vu que la consistance du syst`eme de Zermelo Zne garantit pas celle du
syst`eme de Zermelo–Fraenkel ZF.
Le but principal de ce chapitre est d’´etablir est d’´etablir un r´esultat positif, `a savoir que la
consistance du syst`eme ZF entraˆıne celle du syst`eme ZF+AC+HCG. Un tel r´esultat est important
en pratique puisque, sans rien affirmer quant `a l’opportunit´e d’ajouter l’axiome du choix ou
l’hypoth`ese (g´en´eralis´ee) du continu dans les principes de base de la th´eorie des ensembles, il
garantit du moins qu’il n’y a aucun risque technique `a le faire : l’adjonction de ces assertions
comme axiomes suppl´ementaires ne risque pas d’introduire de contradiction dans la construction
de l’´edifice math´ematique.
Le principe de la d´emonstration, propos´ee par K. G¨odel en 1938, est d’´etablir qu’`a l’int´erieur
de tout mod`ele Mde ZF, il existe un sous-mod`ele M!de Mqui est mod`ele de ZF+AC+HCG.
La construction est exactement analogue `a celle du sous-corps premier d’un corps : `a
l’int´erieur de tout corps K, il existe un plus petit sous-corps K!, le sous-corps premier de K, qui
est la clˆoture de {0,1}par les op´erations de corps, et qui est toujours commutatif. Son existence
montre que, pourvu qu’il existe au moins un corps, il existe un corps commutatif. On peut en
d´eduire que les axiomes des corps ne prouvent pas la non-commutativit´e de la multiplication.
De la mˆeme fa¸con, `a l’int´erieur de tout mod`ele Mde ZFC, il existe un plus petit mod`ele
int´erieur M!, qui est la clˆoture des ordinaux de Mpar les op´erations dites de G¨odel, et qui satis-
fait toujours AC et HCG. Comme ci-dessus, on en d´eduit que les axiomes de ZF ne contredisent
ni AC, ni HCG.$
1. Ensembles constructibles
"On introduit les op´erations de G¨odel, qui sont huit op´erations en-
semblistes simples comme la diff´erence et le produit d’ensembles, et on
montre essentiellement que toute op´eration ensembliste d´efinissable peut
s’exprimer comme une composition d’op´erations de G¨odel. On ´etablit en-
suite le sch´ema de r´eflexion, qui est une m´ethode g´en´erale permettant
de remplacer la satisfaction dans la classe Vde tous les ensembles (du
mod`ele de r´ef´erence) par la satisfaction dans un ensemble Vαconven-
able. Introduisant alors la classe Lcomme la clˆoture des ordinaux par
les op´erations de G¨odel, on montre que (L,∈)est un mod`ele transitif
de ZF+AC, et on en d´eduit que, mˆeme dans un cadre m´etamath´ematique
faible, la consistance de ZF entraˆıne celle de ZFC. #
#Plusieurs approches permettent de d´efinir la classe Ldes ensembles constructibles. On utilise
ici une approche alg´ebrique, qui est conceptuellement tr`es simple, et qui consiste `a consid´erer
la clˆoture des ordinaux par diverses op´erations ensemblistes, exactement de la mˆeme fa¸con
qu’on introduit le sous-corps premier d’un corps comme la clˆoture de {0,1}par les op´erations