Thermique (2) - LabEx G-EAU

Thermique (2)
Module « Géothermie 3A/M2
2014/2015
Plan
 Quelques éléments de thermo‐mécanique
 La dilatation thermique
 Les contraintes thermiques
 Loi Darcy, conductivité hydraulique, perméabilité, viscosité
 La convection naturelle
 Instabilité de Rayleigh‐Bénard
 Le gradient adiabatique
 Nombre de Rayleigh
 Application au réservoir de Soultz‐sous‐Forêts
 La convection forcée
 Un exemple de projet de recherche: « chenalisation hydraulique et thermique dans une fracture ouverte rugueuse » Thermo mécanique
• Dilatation thermique linéaire
∆
0
α ≡ aveclecoefficientdedilatationthermiquelinéaire
• Dilatation thermique volumique
(tenseur de déformation)
∆
3 T‐T0
• En densité: M/V ‐ M/V
/V ‐3
Dilatation thermique Dilation linéraire (solides)
• Diamant: • Acier: • Roches: • Glace: 58∙10− 6
à ‐20 °C
∆
0
x3
Exercice: Calcul de l’élongation linéaire des tubes de forage à leur mise en place à Soultz: sachant que les tubes sont stockés à la température moyenne de surface qui est de T0=10°C, et que la température moyenne au fond du puits à zr=5000m est de Tr=200°C. On supposera que le gradient est constant: ∆
?
Onpassed’untubede5000màT T0
àuntubeavecungradientdetempérature:T z
∆
T0 gz
∆
38° /
5.7 1
2
Dilatation thermique
Dilatation volumique (liquides):
• Eau: ‐ 68∙10− 6
à 0°C; 207∙10‐6 à 20°C
750∙10‐6 à 100°C
• Alcool à 20°C: 1100∙10− 6
(cf thermomètre à alcool) • Huile à 20°C: 700∙10− 6
• Mercure à 20°: 180∙10− 6
Matériaux « raides »
<‐> peu dilatants
Matériaux « souples »
<‐> très dilatants
Roches
Contraintes thermiques
• Lorsqu’un solide est confiné ou que la température n’est pas uniforme, des contraintes d’origine thermique peuvent apparaître
• Exemple: un solide chauffé à une température = = 0
T dans un espace rigide: T
Contraintes thermiques
• Il apparait une dilatation thermique: • Si la déformation totale est nulle: alors il existe une déformation de sorte que:
+ • La contrainte associée à est dite « contrainte thermique »
Contraintes thermo‐élastiques
• Si le solide est élastique, la loi de Hook donne:
avec les coefficients de Lamé
et • Or • D’où: ‐(3 + 2 )
• La contrainte sur la face du cube est:
Contraintes thermiques
Exercice
Comparer la contrainte thermique pour le refroidissement de 20°C
du granite à 5000m de profondeur à la contrainte lithostatique
(E=60GPa; =0.3; 4010 ; 2700 ) ?
/ 1 2
Contrainte thermique: ∆T= 10°C: Contrainte lithostatique: 120
135
Conductivité hydraulique
Loi de Darcy
avec la vitesse de Darcy (
), débit volumique (
), la section ( ), la charge hyraulique ( ) , longueur ( )
conductivité hydraulique (
)
Perméabilité
Loi de Darcy
), débit avec la vitesse de Darcy (
volumique (
), la section ( ), , la viscosité s), la différence de pression ( ) dynamique (
, longueur ( )
perméabilité (
Exercice: montrer que )

 
Perméabilité
1 Darcy =0.9710
1
m
Viscosité
• Viscosité dynamique (Pa s)
, la contrainte de cisaillement, la vitesse du fluide
Viscosité cinématique de l’eau (T)
• Viscosité cinématique
(
700%
la masse volumique
Nombre de Reynolds
• Equation de Navier‐Stokes pour un fluide incompressible ( ·
μ
·
(équation de conservation du moment)
• Adimensionalisation:
1
′
·
/ , le nombre de Reynolds
Avec
∆
;x
;∆
μ
∆
;
∆
= / μ
= Re
>> 1: terme inertiel important – écoulement turbulence
<< 1: terme visqueux important – écoulement laminaire
0 :
x
;t
L
tU
L
La convection
• C’est un processus d’échange de chaleur par déplacement de matière sous l’effet d’un changement de masse volumique d’origine thermique
Convection naturelle/forcée
Conduction thermique
Conservation de l’énergie:
0
(Pas de source)
(conduction)
∆ 0
(Equation de Laplace)
Equation de la chaleur avec advection
transport de la chaleur aussi par transport de matière (flux de matière entrant et sortant)
(en plus de la conduction)
Bilan de l’advection par unité de temps: Variation Conduction
Temporelle
(inertie thermique)
Advection
0
Equation de la chaleur avec advection
Si la vitesse (u,v) est uniforme et advection k/ρ , la diffusivité thermique
diffusion
0
Convection naturelle
Instabilité de Rayleigh‐Bénard
• Echauffement d’une goutte de fluide de rayon • Dilatation: • Poussée d’Archimède (force motrice):
• Force visqueuse (frein) (Stokes)
Avec la vitesse de la goutte et la viscosité du fluide
• Critère d’instabilité: Argument heuristique
• Particule de fluide r=a
– Le chargement le poids: 

– Contrainte de frottement: µ avec la viscosité dynamique, la vitesse de la particule
soit 
– « Equilibre »: d’où – Dilatation thermique: d’où Nombre de Rayleigh
• Le temps de diffusion thermique:
avec la diffusivité thermique
•
• La distance parcourue pendant ce temps de diffusion: •
• Convection si la distance de diffusion devient comparable à la hauteur du système: et que la taille de la particule fluide considérée atteigne la taille du système: a : •
Ra  nombre de Rayleigh
• Convection si:
et • Expérimentalement (condition fluide sans milieu poreux) Convection
En laboratoire, pas de variation de pression, le cœur convectif est isotherme
Gradient thermique isentropique
• Gradient thermique à entropie constante (« adiabatique ») – (gradient de la convection) dS=0 Effet de la pression
• Entropie: chaleur échangée de façon reversible: dQ=TdS (1er principe)
• Entropie par unité de masse : • Si , alors Exercice:
Colonne d’eau à 100°C: ?
Lithosphère à 1600°C: ?
• Hyp: pression lithostatique: Eau: 0.2°C/km
Lithosphère:
0.5°C/km
Gradient « adiabatique » du manteau
diminue avec la pression:
dans le manteau profond
Geotherme terrestre
Cas du réservoir géothermal de Soultz
Temperature Logs Equilibrium
0
500
GPK-2
GPK-3
GPK-4
Conduction
1000
Grès du Trias
1500
Granite Paléozoique
true vertical depth [m]
2000
2500
Convection
3000
3500
4000
4500
5000
5500
Granite
altéré
fracturé
Conduction
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
temperature [°C]
Circulation naturelle dans des zones
fracturées et altérées
220
Grès
fracturés
29
•
Méthodologie :
– Etude du réseau de fractures avec les imagerie de paroi
– Pétrographie et altérations hydrothermales à partir des cuttings, carottes et des logs géophysiques
•
Modèle géologique :
– 2 granites (U/Pb datations)
– Failles normales, graben
– Zones de fractures avec une perméabilité naturelle
( Zone de convection
Géologie profonde
Dezayes et al., 2004
30
Convection naturelle dans un milieu poreux
•
(
)
Sans milieu poreux
T
avec capacité thermique du fluide, diffusivité de la matrice, perméabilité
L
T + ∆T
•
<< 2000
(avec milieu poreux) (sans milieu poreux)
Quand Ra < Rac: les perturbations de vitesse de fluide s’amortissent avec le temps
Quand Ra > Rac: les perturbations de vitesse de fluide grandissent exponentiellement Convection naturelle en milieu poreux
• Si on introduit un gradient thermique • Initiation de la convection: pour l’eau (
1.310 Pas, C
3.3 1000 ,
10
4.210 JKg K
• Exercice: vérification
, on obtient: ,
,λ
Convection hydro‐thermale
Δ
4.210
Petites cellules
Grandes cellules
Application à Soultz
Temperature Logs Equilibrium
0
GPK-2
GPK-3
GPK-4
500
Δ
4.210
1000
1500
true vertical depth [m]
2000
Perméabilitéeffective
dugranitefracturé:
2500
3000
3500
10
4000
4500
5000
5500
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
temperature [°C]
2000 ; ∆
20° ;
10,5°
Exercice: Quel est le gradient minimum pour avoir convection ?
10°C/km mesuré
Convection forcée
z
de courant
. Lignes
z
Injection
Pumping
Plan de fracture
Fracture rugueuse
T0
Réseau
de fractures
Tw
Tw
z
T?
Impact de la morphologie
de la fracture sur la
thermalisation?
Aperture model

• Natural aperture
Self‐affine aperture
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
  0 .8
Forced convection in a fracure
Example
Rough apertures
a ( x, y )
*
a ( x, y ) 
A
y
.
x
Main flow
2D-flow norm


q * ( x, y )

12 L x q ( x , y )
P A3
-ln(T*)
T  T0
T 
T
*
A
σ
1 mm
0.35 mm
Lx x Ly
1 x 0.5 m2
Dyn. visc. η
3.10-4 Pa.s
(10 bar; 100°C)
∂p/∂x
H
250 Pa/m
0.82 mm
Density ρ
1.103 kg/m3
ΔT
120° C
Fluid diffusivity χ 0.17 mm2/s
Reference case: Parallel plates
y
 
 ln T
*
Main flow
x
 x
T//  Tr  (T0  Tr ) exp 
 R//



R // 
A 2 q //
2 Nu  f
 
• Temperature in 1D
 ln T
*
Tr
T (x)
Reference
with flat fracture
Obtained ?
with rough fracture
T0
Expected
length
of
thermalization
New
x
length
of
thermalization ?
 u ( x, y) T ( x, y) dy
x
T ( x) 
ly
 u ( x, y) dy
x
ly
u x   v( x, y, z )dz a ( x, y )
a