Les filtres non récursifs

!
!
!!!
!
%
• La(transformée(en(z(
On%obtient%:%yn+2yn;1=xn;1%ou%aussi%yn=%xn;1;2yn;1%
ar!définition,!la!transformée!en!z,!notée!X(z),!d’une!séquence!des!nombres!{x
}!
n
!
TP 4 . Filtres non récursifs
st!:!
5. Déterminer le module 𝑯(𝑗𝜔) et l’argument arg[𝑯(𝑗𝜔)]. Exercice 5 :!Déterminer!l’équation!de!récurrence!des!sy
X(z)=x0+x1z:1+!x2z:2!+x3z:3+...+!xnz:n+...!
I. Le filtre moyenneur
!
6. On note 𝑥 = qui!ont!les!fonctions!de!transferts!échantillonnées!suivant
la pulsation réduite. Quelles sont les valeurs de x qui respectent le !!
!correspond!à!l’échantillon!prélevé!à!l’instant!nT
E!:!xn=x(nTE)!
!
Considérons un filtre moyenneur caractérisé par l’équation de récurrence suivante : a)!!
!
critère de Shannon. (Aide : d=
onner les v!aleurs de f pour que le critère de Shannon soit xemple':%La%transformée%en%z%de%{x }={1,0,;1,2,0,0,000}%est%:%
n
;3%
𝑥! + ;2
𝑥!!!
X(z)=1;z
+2z
𝑦! =
2
a%transformée%en%z%d’un%signal%échantillonné%est%le%polynôme%qui%a%comme%
oefficients%les%valeurs%du%signal.%
1. La réponse indicielle est donnée par les valeurs {yn} quand {xn}={1,1,1,1,1,...} (la !!!!!"
!
!
respecté, calculer ensuite le rapport !!! ensuite pour ces valeurs). b)!! ! =
!
!!
!!
!!!,!
7. Pour 0≤x≤0,5, tracer les courbes du module H(x) et de la phase 𝜑 (𝑥) = arg 𝑯 𝑗𝜔 . !!!!
c)!! ! =
!
!!!
8. Selon la réponse en fréquence, de quel type de filtre s’agit-­‐il : passe-­‐bas, passe-­‐
bande ou passe-­‐haut ! ? séquence échelon unité) A l’aide d’Excel tracer la réponse indicielle. Compléter le tableau : 1 : Réponses indicielles!
xercice
2 :!Donner!la!transformée!en!z!des!signaux!de!l’exercice!1!:!{xn}! 9. Quelle est sa bAnnexe
ande passante ? clear
Rappel : La bande passante est donnée par l’intervalle de fréquences pour lequel équence!échelon!unité)et!de!{y
n}!(la!réponse!indicielle!du!filtre!numérique!RC)!
n -­‐1 0 1 2 3 4 5 !!"#
𝐻(𝑥) ≥
//filtre analogique
xn 0 1 1 1 1 1 1 !
yn 0 //constante de temps tau=0,1 ms=1e-4 s
.1. Détermination
de H(z) à partir de l’équation de
II. Un filtre non
récursif
tau=1e-4;
Tracer le graphique yn=f(xn) écurrence
//période échantillonnage
On étudie un filtre numérique caractérisé par l’équation de récurrence suivante : Te=5e-6;
2. Le filtre moyenneur est également caractérisé par sa transmittance en z, notée H(z). yn = 0,5(xn -­‐ xn-­‐1) onnaissant!l’équation!de!récurrence!d’un!système,!on!détermine!la!
Déterminer la transmittance en z, notée H(z) du filtre moyenneur en faisant les Tmax=5*tau;
transpositions suivantes dans l’équation de récurrence: ansmittance!en!z!en!effectuant!les!transpositions!suivantes!:!
1. Représenter le schéma bloc traduisant l’algorithme du filtre. nb_points=Tmax/Te;
2. Donner l’expression de H(z), sa fonction de transfert en z. 3. Déterminer sa t=Te*(0:1:nb_points-1);
fonction de transfert complexe 𝑯(𝑗𝜔) et montrer qu’elle peut !! ⟶ ! ! !!!!!!!! ⟶ ! !! ! ! !!!!! ⟶ ! ! !!!!!!! ⟶ ! !! ! ! !!!!!
s’écrire : y=1-exp(-t/tau);
𝜔𝑇! !(!!!!!)
subplot(221)
3. La réponse en fréquence d’un filtre numérique se détermine dans le cas où le filtre 𝑯 𝑗𝜔 = sin (
)𝑒 ! ! 2
est sollicité en entrée par un signal {xn} correspondant à un signal sinusoïdal de xercice
3.!Trouver!la!transmittance!en!z!du!filtre!numérique!passe:bas!
plot2d2(t,y);
!
fréquence f
é
chantillonné à
l
a f
réquence 𝑓
=
. L
a s
équence d
’entrée e
st d
onc !
xercice!1).!
On pourra utiliser la relation !!
xtitle('réponse
indicielle du filtre analogique','temps','y(t)');
!!!
!!!
𝜔𝑇!
constituée des échantillons xn prélevés à la fréquence fE = 2kHz et à partir de la date !!
//filtre numérique
! = 2𝑗𝑠𝑖𝑛(
𝑒 ! − 𝑒 !!correspondant
) t=0 s, sur le signal x(t)=sin(2πf1t) avec f1=0,1fE. 2
alpha=tau/Te;
xercice
4éterminer :!Donner!la!transformée!en!z!des!systèmes!numériques!qui!sont!
3.1. D
l’expression de xn=x(nTE) !
4. O
n n
ote 𝑥
=
la pulsation réduite. Pour 0≤x≤0,5, tracer les courbes du module 3.2. A l’aide d’un tableur, calculer pour 0≤n≤19, les échantillons yn disponibles en yn(1)=0;
écrits!par!les!équations!de!récurrence!suivantes!:!
!!
sortie du filtre. x=ones(1,nb_points);
H(x) et de la phase 𝜑 (𝑥) = arg 𝑯 𝑗𝜔 . !yn=4x3.3. n:xn:2!
Représenter, pour 0≤n≤19, les échantillons xn et yn. 5. Préciser la nature u filtre (passe-­‐bas, do
passe-­‐bande ou passe-­‐haut ) et sa bande fordi=2:nb_points
)!yn=0,5(x
)! l’amplification H1=ymax/xmax introduite par le filtre à la fréquence f1 n:1
3.4. nE:y
n d
éduire passante sachant que la fréquence d’échantillonnage adoptée est fE=10 kHz. yn(i)=(alpha/(1+alpha))*yn(i-1)+(1/(1+alpha))*x(i);
lorsque le r)+1,5x
égime permanent est établi. !yn=0,5(x
n+yn:1
n:1!
3.5. La réponse en fréquence d’un filtre numérique est donnée par sa fonction de end
transfert complexe 𝑯(𝑗𝜔), qui se déduit de la transmittance en z, H(z), du filtre en subplot(222)
i.2. Détermination
de
de𝜔récurrence
àsignal partir de effectuant le changement de vl’équation
ariable 𝑧 = 𝑒 !"!! avec = 2𝜋𝑓 la pulsation du plot2d3(t,yn);
(z) d’entrée. 4. Donner l’expression de 𝑯(𝑗𝜔). On pourra utiliser la relation xtitle('réponse indicielle du filtre numérique','temps','yn');
!!!
!!!
𝜔𝑇!
!
𝑒 !! ! − 𝑒 !! ! = 2𝑗𝑠𝑖𝑛(
) 2
!l’on!connaît!H(z)!on!peut!déterminer!l’équation!de!récurrence.!!
!
!(!)
xemple%:%Si,%pour%un%système%numérique%! ! =
,%par%définition%! ! =
.%On%
!!!
!(!)
Détermina'on!de!H(z)!à!par'r!de!
l’équa'on!de!récurrence!