Exercice 1 Une maladie atteint 8% d`une population donnée. Un test

Terminale 9S
Soutien : fiche 8 : probabilités conditionnelles
Exercice 1
Une maladie atteint 8% d’une population donnée. Un test sur la vaccination donne les résultats suivants :
 Chez les individus vaccinés, 95% des individus ne sont pas malades et 5% le sont.
 Chez les individus non vaccinés, 90% des individus ne sont pas malades et 10% le sont.
On choisit un individu au hasard.
1. Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire.
2. Quelle est la probabilité :
a) qu’il soit malade et qu’il soit vacciné ?
b) qu’il ne soit pas malade et qu’il ne soit pas vacciné ?
c) qu’il soit malade ?
d) qu’il soit vacciné ?
3. Calculer la probabilité (arrondie au % près):
a) qu’il soit malade, sachant qu’il est vacciné ?
b) qu’il ne soit pas malade, sachant qu’il est vacciné ?
c) qu’il soit vacciné, sachant qu’il est malade ?
d) qu’il ne soit pas vacciné, sachant qu’il est malade ?
4. Interpréter les résultats obtenus.
Exercice 2 Très classique
On dispose de deux pièces de monnaies notées A et B truquées de telle façon que :
on obtient PILE avec la pièce A avec une probabilité de 1/3.
on obtient PILE avec la pièce B avec une probabilité de 3/5.
Le jeu se déroule ainsi : le joueur choisit une pièce au hasard, il la lance :
• s'il obtient PILE, il la relance ;
• s'il obtient FACE, il change de pièce et lance cette seconde pièce.
Il itère le processus en procédant à n lancers successifs.
On appelle
n
A l'événement «utiliser la pièce A au n-ième lancer» et
n
A : « utiliser la pièce B au n-ième lancer ».
On appelle également C
n
l'événement «obtenir PILE au n-ième lancer»
On appelle p
n
la probabilité de A
n
et q
n
celle de C
n
. La réalisation de l'événement C
n
est conditionnée par la pièce utilisée.
1. Calculez p
1
et déduisez-en q
1
.
2. Recommencez pour calculer q
2
.
3. L'utilisation de la pièce au (n + 1)-ième lancer est conditionnée par le résultat du lancer précédent qui lui-même
dépend de la pièce utilisée.
a) Evaluez la probabilité d'utiliser la pièce A au (n + 1)-ième lancer sachant qu'on l'a utilisée au n-ième lancer.
b) Evaluez la probabilité d'utiliser la pièce A au (n + 1)-ième lancer sachant qu'on a utilisé la pièce B au n-ième
lancer.
c) Déduisez-en que :
5
2
15
1
1
+
−
=
+nn
pp .
d) C
n
est réalisé si on obtient PILE en lançant au n-ième lancer la pièce A ou en lançant la pièce B.
Justifier que
5
3
15
4+ −
=
nn
pq .
4. Etude des suites p et q.
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier n naturel non nul :
1
15
1
8
1
8
3
−
−
×+=
n
n
p .
b) Déduisez-en la valeur de
n
q en fonction de n.
c) Quelle est la limite de la suite (
n
q ) ?