Terminale 9S Soutien : fiche 8 : probabilités conditionnelles Exercice 1 Une maladie atteint 8% d’une population donnée. Un test sur la vaccination donne les résultats suivants : Chez les individus vaccinés, 95% des individus ne sont pas malades et 5% le sont. Chez les individus non vaccinés, 90% des individus ne sont pas malades et 10% le sont. On choisit un individu au hasard. 1. Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire. 2. Quelle est la probabilité : a) qu’il soit malade et qu’il soit vacciné ? b) qu’il ne soit pas malade et qu’il ne soit pas vacciné ? c) qu’il soit malade ? d) qu’il soit vacciné ? 3. Calculer la probabilité (arrondie au % près): a) qu’il soit malade, sachant qu’il est vacciné ? b) qu’il ne soit pas malade, sachant qu’il est vacciné ? c) qu’il soit vacciné, sachant qu’il est malade ? d) qu’il ne soit pas vacciné, sachant qu’il est malade ? 4. Interpréter les résultats obtenus. Exercice 2 Très classique On dispose de deux pièces de monnaies notées A et B truquées de telle façon que : on obtient PILE avec la pièce A avec une probabilité de 1/3. on obtient PILE avec la pièce B avec une probabilité de 3/5. Le jeu se déroule ainsi : le joueur choisit une pièce au hasard, il la lance : • s'il obtient PILE, il la relance ; • s'il obtient FACE, il change de pièce et lance cette seconde pièce. Il itère le processus en procédant à n lancers successifs. On appelle An l'événement «utiliser la pièce A au n-ième lancer» et An : « utiliser la pièce B au n-ième lancer ». On appelle également Cn l'événement «obtenir PILE au n-ième lancer» On appelle pn la probabilité de An et qn celle de Cn. La réalisation de l'événement Cn est conditionnée par la pièce utilisée. 1. Calculez p1 et déduisez-en q1. 2. Recommencez pour calculer q2. 3. L'utilisation de la pièce au (n + 1)-ième lancer est conditionnée par le résultat du lancer précédent qui lui-même dépend de la pièce utilisée. a) Evaluez la probabilité d'utiliser la pièce A au (n + 1)-ième lancer sachant qu'on l'a utilisée au n-ième lancer. b) Evaluez la probabilité d'utiliser la pièce A au (n + 1)-ième lancer sachant qu'on a utilisé la pièce B au n-ième lancer. 2 −1 c) Déduisez-en que : pn +1 = pn + . 15 5 d) Cn est réalisé si on obtient PILE en lançant au n-ième lancer la pièce A ou en lançant la pièce B. −4 3 Justifier que qn = pn + . 15 5 4. Etude des suites p et q. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier n naturel non nul : pn = b) Déduisez-en la valeur de qn en fonction de n. c) Quelle est la limite de la suite ( qn ) ? 3 1 −1 + × 8 8 15 n −1 .