FONCTIONS CONVEXES

Chapitre 3
FONCTIONS CONVEXES
3.1 Notations et définitions préliminaires
L’étude des fonctions convexes montrera que celles ci sont continues sur tout l’intérieur
de leur domaine de définition et qu’elles sont presque partout différentiables. Une propriété
suffisante pour étudier les fonctions convexes est la semi-continuité inférieure :
Définition 3.1 Soit une fonction f:C7→ R, où Cest un ouvert de IRn.fest dite
semi-continue inférieurement (sci) en x∈Csi, pour toute suite {xk} ⊂ Cconvergente
vers x, on a lim inf f(xk)≥f(x).
Une notion fondamentale est celle de la dérivée directionnelle dont on rappelle les
définitions :
Définition 3.2 Soit une fonction f:C7→ R, où Cest un ouvert de IRn. La dérivée
directionnelle de fen x∈Cdans la direction d∈IRnest définie par la limite quand elle
existe de :
f′(x;d) = lim
t↓0
f(x+td)−f(x)
t
La fonction fsera dite différentiable en x∈Csi elle possède des dérivées directionnelles
dans toutes les directions et si f′est linéaire par rapport à d, i.e. s’il existe un vecteur
∇f(x)appelé le gradient de fen xtel que :
f′(x;d) = h∇f(x), di
Les composantes du gradient sont alors les dérivées partielles de fpar rapport à chaque
variable xj, j = 1,...,n notées ∂f/∂xj(x).
Si F= [f1···fp]Test un vecteur de fonctions fi:C7→ R, i = 1,...,p différentiables,
le Jacobien de la fonction vectorielle de IRndans IRpest la matrice JF (x)de plignes et n
colonnes dont les lignes sont les gradients ∇fi(x), i = 1,...,p.
Si une fonction fest deux fois différentiable en x, le Hessien est la matrice symétrique
(n×n)dont les éléments sont les dérivées secondes partielles par rapport aux variables xj
et xknotées ∂2f/∂xj∂xk, j, k = 1,...,n.
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2CHAPITRE 3. FONCTIONS CONVEXES
(x1, f(x1))
x=λx1+ (1 −λ)x2
(x2, f(x2))
f(x)≤λf(x1) + (1 −λ)f(x2)
Figure 3.1 – Fonction convexe
3.2 Définitions et propriétés
On décrit dans ce chapitre les propriétés des fonctions convexes de IRn.
Définition 3.3 : Soit une fonction f:S7→ R, où Sest un ensemble convexe non vide
de IRn.fest dite convexe sur Ssi :
f(λx1+ (1 −λ)x2)≤λf(x1) + (1 −λ)f(x2),∀x1et x2∈S, λ ∈(0,1)
fest dite strictement convexe si l’inégalité précédente est stricte pour x16=x2.
Définition 3.4 :fest fortement convexe de constante α > 0si :
f(λx1+ (1 −λ)x2)≤λf(x1) + (1 −λ)f(x2)−α
2λ(1 −λ)kx1−x2k2
On montre facilement qu’une fonction fortement convexe est strictement convexe. On
a aussi la caractérisation suivante :
Proposition 3.1 Soit Cun convexe de IRnet a∈IRn. La fonction f:C7→ IRnest
fortement convexe sur Csi et seulement si la fonction gdéfinie ci-dessous est convexe :
g(x) = f(x)−α
2kx−ak2
Démonstration : Exercice
Si fest convexe, la fonction g:S7→ Rtelle que g=−fest dite concave sur S.
Les fonctions affines de IRnsont bien sûr convexes (elles sont aussi concaves). Comme
on le vérifiera plus loin, les fonctions quadratiques convexes de IRnsont celles qui sont
associées à une matrice semi-définie positive. Dans IR, des exemples courants de fonctions
convexes sont :
f(x) = x2
f(x) = ex
f(x) = −log x, sur x > 0
f(x) = −√xsur x≥0
f(x) = 1/x sur x > 0

3.2. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS 3
α
Sα
Figure 3.2 – Fonction quasiconvexe
f(x) = |x|
Le domaine de définition de fsera noté Dom(f), c.a.d. :
Dom(f) = {x∈IRn|f(x)<+∞}
On appelle propres les fonctions qui ne prennent jamais la valeur −∞ et qui ne sont pas
identiques à +∞. Par convention, la fonction convexe fprendra la valeur +∞en dehors
de Dom(f)et l’opération ∞ − ∞ est interdite.
On utilisera deux outils de représentation des fonctions de IRn:
L’épigraphe qui décrit fdans IRn+1 et les ensembles de niveaux qui sont des surfaces de
IRn.
Définition 3.5 : L’épigraphe d’une fonction fde IRnest noté epi(f)et est défini par :
epi(f) = { x
z!∈IRn+1 |z≥f(x)}
L’ensemble de niveau αest l’ensemble des x de IRntels que f(x) = α. On lui associe
la section, notée Sα:
Sα={x∈IRn|f(x)≤α}
L’épigraphe sera particulièrement utile pour transférer les propriétés des fonctions sur les
ensembles de IRn+1. Par exemple, un épigraphe fermé signifie que la fonction est semi-
continue inférieurement (sci).
On a la caractérisation fondamentale suivante :
Une fonction est convexe si et seulement si son épigraphe est convexe.
Par contre, s’il est vrai qu’une fonction convexe possède des sections convexes (par
convention, l’ensemble vide est convexe), il existe des fonctions non convexes dont toutes
les sections sont convexes.
Définition 3.6 : Une fonction dont toutes les sections sont convexes est dite quasiconvexe
(Fig. 3.2). Une fonction convexe est donc quasiconvexe.

4CHAPITRE 3. FONCTIONS CONVEXES
Proposition 3.2 fest quasiconvexe sur un ensemble convexe Ssi et seulement si :
f(λx1+ (1 −λ)x2)≤max{f(x1), f(x2)},∀x1, x2∈Set λ∈(0,1)
Propriétés des fonctions convexes :
Soient f1et f2deux fonctions convexes telles que Dom(f1)∩Dom(f2)6=∅. Alors :
i) f1+f2est convexe
ii) af1est convexe ∀a≥0
iii) sup{f1, f2}est convexe
iv) infz{f1(z) + f2(x−z)}est convexe
Démonstration :
i) et ii) sont des conséquences immédiates de la définition.
iii) équivaut à epi(f1)∩epi(f2)est un ensemble convexe de IRn+1.
iv) équivaut à epi(f1) + epi(f2)est un ensemble convexe de IRn+1. Cette dernière opé-
ration est appelée l’inf-convolution de f1et f2, notée f12f2.
f12f2(x) = inf
z{f1(z) + f2(x−z)}
En général, la composition de deux fonctions convexes n’est pas convexe. On a par
contre le résultat suivant :
Lemme 3.1 Soit fune fonction convexe sur le sous-ensemble Cde IRn, et φune fonction
convexe non décroissante de f(C)dans IR. Alors h=φ◦fest convexe sur C.
Démonstration : Exercice.
Composition par une transformation affine :
Soit Aune transformation affine de IRndans IRpet fune fonction convexe de IRpdans
IR. Alors la fonction f◦A:
(f◦A)(x) = f(Ax)
est convexe. En effet, l’épigraphe de f◦Aest l’image réciproque de l’épigraphe de fpar
la transformation affine de IRn+1 dans IRp+1 :(x, z)7→ (Ax, z).
De même, si fest une fonction convexe sur IRn, alors la fonction Af définie par :
(Af)(x) = inf{f(y)|Ay =x}
est convexe sur IRp. Cette fois-ci, l’épigraphe de Af est l’image directe de l’épigraphe de f
par la transformation affine précédente.
Application : Soit une fonction fde IRn×IRp, convexe en (x, y)∈IRn×IRp7→ f(x, y).
Alors la fonction
x7→ h(x) = inf
y∈IRpf(x, y)
est convexe sur IRn. En effet, elle s’écrit Af où Aest l’opérateur de projection de IRn×IRp
sur IRn.

3.3. CONTINUITÉ ET DIFFÉRENTIABILITÉ 5
3.3 Continuité et différentiabilité
Dans la suite fest une fonction convexe propre définie sur un ouvert convexe Cde IRn
Lemme 3.2 (Monotonie des accroissements) Soit x∈Cet dune direction de IRn.
Alors, la fonction q(t) = f(x+td)−f(x)
t, définie pour des réels tsuffisamment petits, est une
fonction croissante de t.
Démonstration Prenons un intervalle [h, k]avec 0< h ≤k. On a : x+hd = (1 −α)x+
α(x+kd)avec α=h
k<1. La convexité implique f(x+hd)≤(1 −h k)f(x) + h kf(x+kd)
qui s’écrit :
f(x+hd)−f(x)
h≤f(x+kd)−f(x) k
Le même raisonnement s’applique pour des pas négatifs. 2
Ce résultat implique, en étudiant les limites à gauche et à droite de q(t)quand ttend vers
0, l’existence de dérivées directionnelles en tout point de C, définies par :
f′(x;d) = lim
t↓0q(t) = inf
t>0q(t)
Observez que l’infimum est borné car, Cétant un ouvert, il existe t < 0tel que f′(x;d)≥
q(t).
Théorème 3.1 : Une fonction convexe est continue sur rint(Dom(f)), c’est-à-dire en tout
point de l’intérieur de Dom(f)relativement à la topologie induite dans aff{Dom(f)}.
Démonstration et résultats connexes : cf. Rockafellar, Convex Analysis, chap. 10.
En résumé, une fonction convexe est continue et différentiable presque partout sur
l’intérieur de son domaine. Si fest différentiable en x, on a :
f(y)≥f(x) + h∇f(x), y −xi,∀y∈C
En effet, la dérivée directionnelle satisfait f′(x;y−x)≤f(y)−f(x)grâce à la relation
de monotonie précédente et, dans le cas différentiable f′(x;d) = h∇f(x), di. La réciproque
est vraie comme l’indique le théorème suivant :
Théorème 3.2 Si fest différentiable sur l’ouvert convexe C, alors les 3 affirmations
suivantes sont équivalentes :
fconvexe sur C
∀x, y ∈Ch∇f(x), y −xi ≤ f(y)−f(x)(3.1)
∀x, y ∈Ch∇f(y)− ∇f(x), y −xi ≥ 0(3.2)
Démonstration Montrons que (3.1) implique que fest convexe. Cette inégalité peut
s’écrire :
∀y∈C, sup
x∈C{f(x) + h∇f(x), y −xi ≤ f(y)
qui est en fait une égalité car on peut échanger les rôles de xet y. Donc, fest convexe en
tant que supremum d’une famille de fonctions affines.