Algorithmes de graphes - Département informatique de l`ENS Cachan

Algorithmique
Cristina Sirangelo, ENS-Cachan
Préparation à l'option Informatique
de l'agrégation de mathématiques

Plan
1. Analyse et complexité des algorithmes (S. Haddad)
2. Types abstraits et structures de données
3. Algorithmes de tri
4. Techniques classiques de conception d’algorithmes
5. Algorithmes de graphes

Graphes
Graphe orienté : Couple G=(S, A) où A ⊆ S×S
S: sommets
A: arcs
boucle: arc (v,v), v ∈ S
Graphe non orienté : Couple G=(S,A) où A est un ensemble d’ensembles {u, v} avec u, v ∈S et
u≠v
S: sommets
A: arêtes
boucles non admises
Convention (pour uniformiser les notations) : une arête {u,v} d’un graphe non-orienté est aussi
dénotée (u, v); et (u,v) et (v,u) dénotent la même arête.
Graphe pondéré : graphe G=(S,A) avec une fonction de poids w : A → R
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Graphes - définitions de bases
Si G=(S,A) est un graphe (orienté ou non-orienté) et e=(u,v) ∈ A :
‣v est adjacent à u ( relation symétrique si G est non-orienté)
‣Si G est orienté
‣e part de u et arrive à v
‣Si G est non-orienté
‣e est une arête incidente pour u et v
‣Degré d’un sommet v d’un graphe non orienté: nombre d'arêtes incidentes à v
‣Degré entrant (sortant) d’un sommet v d’un graphe orienté : nombre d'arcs arrivant à
(partants de) v
‣Un sous graphe de G est un graphe (S’, A’) avec S’⊆ S et A’⊆A
‣Si S’⊆S, le sous-graphe de G engendré par S’ est le graphe
G’=(S’, A’) avec A’ = { (u,v) ∈A | u, v ∈S’ }

Graphes - définitions de base
Si G=(S,A) est un graphe (orienté ou non-orienté)
‣chemin de v1 à vk : séquence v1,v2...vk de sommets, k ≥ 1, telle que (vi, vi+1) ∈ A pour tout
i=1,..,k-1
(parfois appelé chaîne si G est non-orienté)
‣longueur du chemin : nombre d’arcs/arêtes
‣distance de u à v : longueur du plus court chemin de u à v.
‣Si il existe un chemin de u à v : v accessible depuis u
‣chemin simple (ou élémentaire) : sommets tous distincts
‣Si G est non-orienté
‣cycle: chemin v1,v2...vk avec v1=vk, k ≥ 4
‣Si G est orienté
‣circuit: chemin v1,v2...vk avec v1=vk, k≥2
‣cycle/circuit simple: v2...vk distincts
‣graphe non-orienté acyclique : sans cycle simple
‣graphe orienté acyclique : sans circuit