Corrigé Bac ES Maths 2015 Amérique du Nord

Baccalauréat 2015 - ES/L
Amérique du Nord
Série ES/L Obli. et Spé.
2 Juin 2015
Correction
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Exercice 1. QCM 4 points
Commun à tous les candidats
Partie A
1. Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 0,95 permettant de connaître la proportion de gauchers
dans la population française est (les bornes ont été arrondies à 10−3) :
1. a. [0,120 ; 0,122] 1. b. [0,863 ; 0,895] 1. c. [0,105 ; 0,137] 1. d. [0,090 ; 0,152]
Question 1 (Réponse C)
•1. Analyse des données : « Sur un échantillon de n= 4000 , il est constaté que 484 sont gauchers ». Don on a :
f=484
400 = 12.1 %
•2. Intervalle de confiance :
Soit fla fréquence observée d’un caractère dans un échantillon de taille nextrait d’une population dans laquelle la
proportion de ce caractère est p.
Si les conditions suivantes sont remplies : 
✓n≥30
✓nf ≥5
✓n(1 −f)≥5
Alors un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95% de la proportion pest : In=f−1
√n;f+1 √n
Théorème 1 (Intervalle de confiance)
On a pour le cas étudié, n= 4 000,f= 12,1 %. Vérifions les conditions d’application du théorème :
✓n= 4000 ≥30
✓nf = 4000 ×0,121 = 484 ≥5
✓n(1 −f) = 4000 ×0,879 = 3516 ≥5
Un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95% est alors :
In=f−1
√n;f+1 √n=0,121 −1 √4000 ; 0,121 + 1 √4000
Soit puisque les borne sont :

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Obli. et Spé. - 2 Juin 2015
0,121 −1
√4000 ≈0,10519 . On arrondit la borne inférieure par défaut 10−3près soit 0,105.
0,121 + 1
√4000 ≈0,13681 . On arrondit la borne supérieure par excès 10−3près soit 0,137.
I≈0,105 ; 0,137
•Conclusion : la bonne réponse est donc la 1d.
2. La taille nde l’échantillon que l’on doit choisir afin d’obtenir un intervalle de confiance au niveau de
confiance 0,95 ayant une amplitude de 0,01 est :
2. a. n= 15 2. b. n= 200 2. c. n= 10 000 2. d. n= 40 000
Question 2 (Réponse D)
Un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95% de la proportion pest :
In=f−1
√n;f+1 √nd’amplitude f+1 √n−f+1 √n=2 √n
On cherche donc n > 0tel que 2
√n= 0,01 soit :
2
√n= 0,01 ⇐⇒ √n=2
0,01 = 200 ⇐⇒ (n > 0
n= 40 000
Conclusion : la bonne réponse est donc la 2d.
Partie B
On appelle Xla variable aléatoire qui donne le temps en seconde mis par un élève de CE2 pour passer le test. On admet que X
suit la loi normale d’espérance µ= 32 et d’écart-type σ= 13.
3. La probabilité p(19 6X645) arrondie au centième est :
3. a. 0,50 3. b. 0,68 3. c. 0,84 3. d. 0,95
Question 3 (Réponse B)
La calculatrice donne directement : p(19 6X645) ≈0,683.
Conclusion : la bonne réponse est donc 3b.
Remarque : Sur la TI Voyage 200
TIStat.normFDR(19,45,32,13) ≈0,682 689 48
4. On note tla durée de lecture vérifiant p(X6t) = 0,9. La valeur de tarrondie à l’entier est :
4. a. t= 32 s4. b. t= 45 s4. c. t= 49 s4. d. t= 58 s
Question 4 (Réponse C)
On peut tester les valeurs, la calculatrice donne directement le résultat.
Conclusion : La bonne réponse est 49s soit la 4c.
Remarque : Sur la TI Voyage 200
TIStat.invNorm(0.9,32,13) ≈48,660 17
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Exercice 2. Obligatoire (ES et Spé L) : Probabilités 5 points
Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L
On note :
•Sl’évènement « l’élève choisi est inscrit à l’association sportive »
•Fl’évènement « l’élève choisi est fumeur »
Partie A
1. D’après les données de l’énoncé, préciser les valeurs des probabilités p(S)et pF(S).
•Dans un grand collège, « 20,3% des élèves sont inscrits à l’association sportive », donc : p(S) = 0,203 .
•De plus, « parmi les élèves non fumeurs, 22,5% sont inscrits à l’association sportive », donc : pF(S) = 0,225 .
2. Recopier l’arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.
On sait en outre que « 17,8% des élèves sont fumeurs », donc : p(F) = 0,178 .
F
S
S
F
S
S
P(F) = 0,178
PF(S)
PFS
PF= 0,822
PF(S) = 0,225
PFS= 0,775
3. Calculer la probabilité de l’évènement F∩Set interpréter le résultat.
pF∩S=pF(S)×p(S)
pF∩S= 0,225 ×0,822 = 0,18495
Soit arrondi au millième :
pF∩S≈0,185
Il y a donc environ 18,5% des élèves qui sont non fumeurs et inscrits à l’association sportive.
4. On choisit au hasard un élève parmi ceux inscrits à l’association sportive. Calculer la probabilité qu’il soit non fumeur.
La probabilité cherchée est en utilisant la valeur exacte de pF∩S= 0,18495 :
pSF=pF∩S
p(S)=0,18495 0,203 ≈0,911
5. On choisit au hasard un élève parmi les élèves fumeurs. Montrer que la probabilité que cet élève soit inscrit à l’asso-
ciation sportive est de 0,101.
On cherche pF(S).
pF(S) = p(F∩S)
p(F)
Il nous faut donc calculer p(F∩S). d’après la formule des probabilité totales on a :
p(F∩S) + pF∩S=p(S)
p(F∩S) = p(S)−pF∩S
p(F∩S) = 0,203 −0,184 95
p(F∩S) = 0,01805
On a donc :
pF(S) = p(F∩S)
p(F)=0,01805 0,178 ≈0,101
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Partie B
Une loterie, à laquelle tous les élèves du collège participent, est organisée pour la journée anniversaire de la création du
collège. Quatre lots sont offerts. On admet que le nombre d’élèves est suffisamment grand pour que cette situation soit
assimilée à un tirage avec remise. On rappelle que 20,3 % de l’ensemble des élèves sont inscrits à l’association sportive.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que parmi les quatre élèves gagnants, il y ait au moins un qui soit inscrit
à l’association sportive.
•Montrons que l’on est en présence d’un modélisation par une loi binomiale.
Soit Xla variable aléatoire qui compte le nombre de gagnants inscrits à l’association sportive. Vérifions les hypothèses de
validation d’une loi binomiale :
–Un élève a 2 états : il est inscrit à l’association ou ne l’est pas. La probabilité d’être inscrit est donc :
p=p(S) = 20,3% = 0,203
–Les 4 tirages sont sont aléatoires,indépendants et identiques.
De ce fait, la variable aléatoire Xdésigne bien le nombre de succès d’une répétition, de manière indépendante, de
4épreuves de Bernoulli de paramètre p.
Xsuit donc une loi binomiale de paramètres n= 4 et p= 0,203.
•Calculons la probabilité cherchée.
Puisque Xsuit une loi Binomiale de paramètre n= 4 et p= 0,203 on a pour k∈J0 ; 4K:
P(Y=k) = n
kpk(1 −p)n−k=4
k0,203k(0,797)4−k
Or la probabilité que parmi les quatre élèves gagnants, il y ait au moins un élève qui soit inscrit à l’association sportive
est : P(X≥1). Soit :
P(X≥1) = 1 −P(X= 0)
P(X≥1) = 1 −4
00,2030(0,797)4
P(X≥1) = 1 −1×1×0,7974
soit
P(X≥1) ≈0,597
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Exercice 2. Spécialité ES : Matrices et graphes 5 points
Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Un créateur d’entreprise a lancé un réseau d’agences de services à domicile. Depuis
2010, le nombre d’agences n’a fait qu’augmenter. Ainsi, l’entreprise qui comptait
200 agences au 1er janvier 2010 est passée à 300 agences au 1er janvier 2012 puis à
500 agences au 1er janvier 2014.
On admet que l’évolution du nombre d’agences peut être modélisée par une fonction
fdéfinie sur [0 ; +∞[par f(x) = ax2+bx +coù a,bet csont trois nombres réels.
La variable xdésigne le nombre d’années écoulées depuis 2010 et f(x)exprime le
nombre d’agences en centaines. la valeur 0 de xcorrespond donc à l’année 2010.
Sur le dessin , on a représenté graphiquement la fonction f.
0
1
2
3
4
5
01234
x
y
×D
×E
×F
Partie A
1.
1. a. À partir des données de l’énoncé, écrire un système d’équations traduisant cette situation.
On a d’après les données, puisque f(x)exprime le nombre d’agences en centaines :
•« L’entreprise qui comptait 200 agences au 1er janvier 2010 » soit f(0) = 2.
•« L’entreprise qui comptait 300 agences au 1er janvier 2012 » soit f(2) = 3.
•« L’entreprise qui comptait 500 agences au 1er janvier 2014 » soit f(4) = 5.
On obtient donc le système :
f(0) = 2
f(2) = 3
f(4) = 5 ⇐⇒
f(x)=ax2+bx+c
S:
c= 2
4a+ 2b+c= 3
16a+ 4b+c= 5
1. b. En déduire que le système est équivalent à : M X =Ravec M=
0 0 1
4 2 1
16 4 1
,X=
a
b
c
. On a :
S:
c= 2
4a+ 2b+c= 3
16a+ 4b+c= 5 ⇐⇒ 
0 0 1
4 2 1
16 4 1
×
a
b
c
=
2
3
5
Donc :
Séquivaut à M X =Ravec M=
0 0 1
4 2 1
16 4 1
,X=
a
b
c
et R=
2
3
5
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