Corrigé Bac ES Maths 2015 Centres étrangers

Baccalauréat 2015 - ES
Centres étrangers
Série ES Obli. et Spé.
10 Juin 2015
Correction
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/
Exercice 1. QCM 4 points
Commun à tous les candidats
1
2
3
4
5
6
12345678
A
x
y
O
C
T
1. On note f′la fonction dérivée de la fonction f:
a. f′(3) = 3 b. f′(3) = 3
2c. f′(3) = −2 3d. f′(3) = −3 2
Question 1 (Réponse D)
Si fest dérivable en aalors, la tangente à la courbe Cf
au point Ad’abscisse aest la droite qui passe par Aet
qui a pour cœfficient directeur f′(a).
Son équation est donnée par :
T:y=f′(a)(x−a) + f(a)
x
y
aa+ 1
f(a)A
Cf
1
f′(a)
Propriété 1 (Tangente à Cfen A)
La droite Test tangente à la courbe Cau point A(3 ; 3) et passe par le point de coordonnées B(5 ; 0). Par définition, le coefficient
directeur de cette droite est le nombre dérivé de fen 3soit :
f′(3) = yB−yA
xB−xA
=0−3
5−3
Soit
f′(3) = −3
2
La bonne réponse est donc 1d.

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Obli. et Spé. - 10 Juin 2015
2. On note f′′ la fonction dérivée seconde de la fonction f:
a. f′′ (3) = 3 b. f′′ (3) = 0 c. f′′(5) = 0 d. f′′(2) = 0
Question 2 (Réponse B)
•Si, en un point de la courbe représentative d’une fonction conti-
nue, la concavité passe du type « convexe » au type « concave »
(ou l’inverse), on appelle ce point, point d’inflexion de la
courbe.
•Graphiquement, un point d’inflexion est un point où la tangente
coupe la courbe.
•En un point d’inflexion, la dérivée seconde, si elle existe,
s’annule et change de signe.
x
y
x7→ x3
Point d’inflexion en (0,0).
Définition 1 (Point d’inflexion d’une fonction numérique)
On sait ici que Le point A est l’unique point d’inflexion de la courbe C. Par conséquent, la tangente à la courbe Cen A traverse
Cau voisinage de A et la dérivée s’annule en changeant de signe en ce point. On a donc f′′ (3) = 0.
Réponse 2b.
3. Toute primitive Fde la fonction fest nécessairement :
a. croissante sur [1 ; 7] b. décroissante sur [2 ; 7] c. négative sur [2 ; 7] d. positive sur [1 ; 7]
Question 3 (Réponse A)
Si Fest une primitive de la fonction fsur [1 ; 7] alors F′=f.
De ce fait, les variations de Fdépendent du signe de fqui est strictement positive sur l’intervalle [1 ; 7]. La fonction Fest donc
croissante sur cette intervalle.
Réponse 3a.
4. On note I=Z3
2
f(x)dx:
a. 16I62b. 26I63c. 36I64d. 46I65
Question 4 (Réponse C)
Icorrespond à l’aire du domaine situé entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x= 2 et x= 3.
Cette aire contient un rectangle (hachuré en bleu) de dimension 1×3et est contenue dans un rectangle (en rouge) de dimension
1×4.
Donc 3≤I≤4. La bonne réponse est la réponse 4c.
1
2
3
4
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A
x
y
O
C
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Obli. et Spé. - 10 Juin 2015
Exercice 2. Obligatoire (ES et L) : Suites 5 points
Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L
La commune disposait de 200 vélos au 1er janvier 2015.
La société estime que, chaque année, 15 % des vélos sont retirés de la circulation à cause de dégradations et que 42 nouveaux
vélos sont mis en service.
On modélise cette situation par une suite (un)où unreprésente le nombre de vélos de cette commune au 1er janvier de l’année
2015 + n.
1. Déterminer le nombre de vélos au 1er janvier 2016.
En 2016, 15 % des vélos sont retirés des 200 de 2015, donc il en restera 85 % auxquels s’ajouteront 42 nouveaux vélos soit :
u1= 0,85 ×200 + 42 = 212
2. Justifier que la suite (un)est définie par u0= 200 et, pour tout entier naturel n, par : un+1 = 0,85un+ 42.
Le terme unreprésente le nombre de vélos de cette commune au 1er janvier de l’année 2015 + n.
Or en 2015 + (n+ 1), on sait que 15 % des vélos sont retirés des unde l’année précédente, donc il en restera 85 % auxquels
s’ajouteront 42 nouveaux vélos soit :
(un) : (u0= 200
un+1 = 0,85 ×un+ 42 ;∀n∈N
3. On donne l’algorithme suivant :
Variables : Nentier
Uréel
Initialisation : Nprend la valeur 0
Uprend la valeur 200
Traitement : Tant que N < 4
Uprend la valeur 0,85 ×U+ 42
Nprend la valeur N+ 1
Fin tant que
Sortie : Afficher U
4. 4. a. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l’unité.
U200 212 222 231 238
N01234
Condition N < 4Vrai Vrai Vrai Vrai Faux
Quel nombre obtient-on à l’arrêt de l’algorithme ?
A l’arrêt de l’algorithme on obtient
U= 238,2395 ≈238
4. b. Interpréter la valeur du nombre Uobtenue à l’issue de l’exécution de cet algorithme.
La valeur du nombre Uobtenue à l’issue de l’exécution de cet algorithme correspond au terme u4.
5. On considère la suite (vn)définie pour tout entier naturel npar vn=un−280.
5. a. Montrer que la suite (vn)est géométrique de raison 0,85 et de premier terme v0=−80.
Les suites (un)et (vn)sont définies pour tout entier npar :
(un) : (u0= 200
un+1 = 0,85 ×un+ 42 
(vn) : (v0
vn=un−280
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Obli. et Spé. - 10 Juin 2015
Pour tout entier non a :
vn+1 =un+1 −280
vn+1 = (0,85 un+ 42) −280
vn+1 = 0,85 ×un−238
vn+1 = 0,85 ×un+−238
0,85 
vn+1 = 0,85 ×(un−280)
vn+1 = 0,85 ×vn
La suite (vn)est donc une suite géométrique de raison q= 0,85, et de premier terme v0=−80 puisque :
v0=u0−280
v0= 200 −280
v0=−80
Soit :
(vn) : (v0=−80
vn+1 = 0,85 ×vn
;∀n∈N
5. b. Pour tout entier naturel n, exprimer vnen fonction de n.
La suite (vn)est géométrique de raison q= 0,85, et de premier terme v0=−80 donc son terme général est
∀n∈N;vn=v0×(q)n
Soit
∀n∈N;vn=−80 ×(0,85)n
5. c. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un=−80 ×0,85n+ 280.
De l’égalité définie pour tout entier n:
vn=un−280
On peut en déduire l’expression :
un=vn+ 280
Soit :
∀n∈N;un=−80 ×(0,85)n+ 280
5. d. Calculer la limite de la suite (un)et interpréter ce résultat.
Si le réel qest tel que : −1< q < 1on a
lim
n→+∞qn= 0
Théorème 1
De ce fait, ici −1< q = 0,85 <1et d’après le théorème 1 :
lim
n→+∞−80 ×(0,85)n= 0
Ce qui nous donne la limite de la suite (un):
lim
n→+∞un= 280
Au bout d’un grand nombre d’année, le nombre de vélo en circulation se stabilisera à 280.
6. La société facture chaque année à la commune 300 epar vélo en circulation au 1er janvier. Déterminer le coût total
pour la période du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite (un)étant exprimé avec
un nombre entier.
On doit donc calculer le nombre de vélo mis en service sur les cinq années :
S=u0+u1+u2+u3+u4= 200 + 212 + 222 + 231 + 238 = 1103
Le coût total est donc de 1103 ×300 = 330900 euros sur cette période.
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Obli. et Spé. - 10 Juin 2015
Exercice 2. Spécialité (ES spé. Maths) : Graphes 5 points
Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
K
BOH
GP
W E
Légende :
B : Bond Street
E : Embankment
G : Green Park
H : Holborn
K : King’s Cross St Pancras
O : Oxford Circus
P : Piccadilly Circus
W : Westminster
1. 1. a. Déterminer en justifiant si le graphe Γest connexe.
Un graphe est dit connexe si quels que soient les sommets u et v, il existe une chaîne de u vers v. C’est-à-dire, s’il
existe une suite d’arêtes permettant d’atteindre v à partir de u.
Définition 2 (Graphe connexe)
Dans le graphe proposé, il existe une chaîne entre chacun des sommets par conséquent le graphe Γest connexe.
par exemple la chaine B-G-W-E-P-O-K-H passe par tous les sommets du graphe.
1. b. Déterminer en justifiant si le graphe Γest complet.
•Un graphe simple est un graphe sans boucle dont chaque couple de sommets est relié par au plus une arête.
•Un graphe simple est dit complet si tous les sommets sont adjacents, c’est-à-dire s’il existe toujours une (et
une seule) arête entre deux sommets disjoints.
Définition 3 (Graphe Simple et Complet)
Le graphe Γn’est pas complet car par exemple les sommets B et P ne sont pas reliés par une arête.
2. Déterminer, en justifiant, si le graphe Γadmet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une telle chaîne.
Citons le théorème d’Euler
•Un graphe connexe contient une chaîne eulérienne si et seulement si
il possède 0 ou 2 sommets de degré impair.
•Un graphe connexe contient un cycle eulérien si et seulement si
il ne possède aucun sommet de degré impair (tous ses sommets sont de degré pair).
Remarque :Ce théorème qui porte le nom du génial mathématicien suisse
Leonhard d’Euler (1707-1783) fut en fait publié par Carl Hierholzer en 1873, on l’appelle
donc aussi le théorème d’Euler-Hierholzer.
Théorème 2 (Théorème d’Euler-Hierholzer - 1736 )
Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité. Étudions le degré de chacun des sommets :
Sommet B E G HKOP W
Degré 2 2 4 3254 2
Donc deux sommets sont de degré impair, les sommets H et O. Par conséquent, d’après le théorème 2, ce graphe connexe admet
une chaine eulérienne.
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