UE PHY122 COURANT ALTERNATIF Corrigé des TD () () ( ) 3

UE PHY122
COURANT ALTERNATIF
Corrigé des TD
-------------------------------------------------------------------
Régime sinusoïdal forcé
Les filtres
exercice 3 - Filtre passe-bas, filtre passe-haut
On supposera que la bobine est une self pure donc n'a pas de résistance interne.
1) En régime permanent et en adoptant la notation complexe, on a I = Im e jwt . D'autre part
Vs
ZL I
ZL
=
=
Ve = Z R I + Z L I et Vs = ZL I . Ceci donne H(w ) =
.
Ve ZR I + Z L I Z R + ZL
jLw
j Lw R
On sait que ZR = R et ZL = jLw donc H(w ) =
soit H(w ) = 1 + j Lw R
R + jLw


Lω R
 . En posant x = Lw R , on
2)On définit G(w ) = 20log H(w ) . Donc G (ω ) = 20log
 1 + L2ω 2 R 2 


obtient

x
G (ω ) = 20log
2
 1+ x




Il faut remarquer que 1+ x 2 est toujours supérieur à x donc le log et par suite le gain est toujours
négatif ce qui est satisfaisant. En effet la tension de sortie est toujours inférieure à la tension
d'entrée.
3) On veut tracer G (w ) = f [log (x )] . Il est commode d'utiliser une telle variable car cela aura pour
conséquence de pouvoir tracer un diagramme dans lequel la fréquence (ou la pulsation) pourra
varier de plusieurs ordres de grandeur (de 100Hz à 100KHz par exemple).
Si l'on utilise X = log(x) comme variable, les valeurs principales à prendre en compte sont
x → 0,x = 1,x → ∞ pour lesquelles log( x ) → −∞,log( x ) = 0,log( x ) → ∞ .
 1 
 = −10log(2 ) = −3
• Pour x=1, G = 20 log
 2
2
• Si x → 0 , log( x 1+ x ) » log( x ) donc G → −∞ et log( x ) → −∞ . Comme G » 20 log( x ) pour x
petit et donc log( x ) grand, la courbe G (w ) aura donc comme asymptote une droite d’équation
Y = 20 X lorsque log( x ) → −∞ .
• Si x → ∞ , log( x
1+ x 2 ) » log( x x ) = log(1) donc G → 0 . La courbe G (w ) aura donc comme
asymptote l'axe des abscisses lorsque log( x ) → +∞ .
Pulsation ω
(ou fréquence)
x = Lω R
X = log(x )
G(ω )
0
ω0 = R L
+∞
0
-∞
Asymptote : droite
d’équation Y = 20 X
1
0
+∞
+∞
Asymptote : axe des
abscisses
-3 dB
La courbe a l’allure suivante
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
log( ω/ω )
0
Ce filtre est un filtre passe-haut. En effet, les hautes fréquences ne sont pratiquement pas atténuées
alors que les basses fréquences le sont fortement.
4) Un filtre est aussi caractérisé par son diagramme de déphasage. Reprenons
H (w ) =
j Lw R
1+ j Lw R
.
2 2
2
( L w R ) + j Lw R
j Lw R (1- j Lw R )
On peut réécrire H(w ) =
. L’argument ϕ de H(w )
=
2 2
2
1+
j
Lw
R
1j
Lw
R
(
)(
)
1+ L w R
Lω R
1
1
=
est tel que tgϕ = 2 2 2 =
Lω R
Lω R x
Pulsation ω
(ou fréquence)
x
tgϕ
ϕ
0
ω0 = R L
+∞
0
+∞
1
1
+∞
0
+
π
2
+
π
4
0
A haute fréquence, les tensions d’entrée et de sortie seront en phase ; à basse fréquence, elles seront
en quadrature avance.
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
log( ω/ω )
0
5) On considère cette fois que la tension de sortie est prise aux bornes de R. Les calculs sont
similaires (c’est un bon entraînement de les refaire !) et on obtient
H (w ) =
1
1+ j Lw R
Pulsation ω
(ou fréquence)
x = Lω R
X = log(x )
G(ω )

1
G (ω ) = 20log
2
 1+ x




tgϕ = − x
0
ω0 = R L
+∞
0
-∞
Asymptote : axe des
abscisses
1
0
+∞
+∞
Asymptote : droite
d’équation Y = -20 X
-3 dB
Pulsation ω
(ou fréquence)
x
tgϕ
0
ω0 = R L
+∞
0
0
1
-1
+∞
-∞
ϕ
0
−
π
4
−
π
2
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
log( ω/ω )
0
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,4
-1,6
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
log(ω/ω
ω/ω )
0
Ce filtre est un filtre passe-bas. En effet, les basses fréquences ne sont pratiquement pas atténuées
alors que les hautes fréquences le sont fortement. A basse fréquence, les tensions d’entrée et de
sortie seront en phase ; à haute fréquence, elles seront en quadrature retard.
Remarque : On pouvait avoir une idée du comportement du gain de ces filtres en comparant les
valeurs des impédances de la résistance et de la bobine en fonction de la fréquence.
• A basse fréquence R >> jLω : la tension la plus importante est aux bornes de R. Le filtre n°1
atténue le signal alors que le filtre n°2 est pratiquement sans effet.
c) • A haute fréquence jLω >> R : la tension la plus importante est aux bornes de la bobine. Le
filtre n°1 est pratiquement sans effet alors que le filtre n°2 atténue le signal.