Comment repérer un point à la surface de la Terre ? Partie 1 : Quel est le plus court chemin ? Quel le plus court chemin entre Miami et Gibraltar ? Celui de la trajectoire rouge ou celui de la trajectoire orange ? La trajectoire orange est-elle un segment de droite ? Étude de la longueur de l'arc de cercle AB en fonction du rayon du cercle. [AB] est un segment de longueur 10 cm. P est un point mobile de la médiatrice de [AB]. Comment évolue la longueur de l'arc AB de centre P quand le rayon augmente ? Quelques calculs a est une mesure de l'angle APH. Prouver que r = AB/(2 sin(a)). Déterminer la longueur L de l'arc AB en fonction du rayon r et de l'angle a. En déduire la longueur L en fonction de AB et de a. Compléter le tableau : Conclusion Quel est le plus court chemin entre deux points A et B à la surface d'une sphère ? Partie 2 : Une géométrie non euclidienne 1. Dans le plan Rappeler la définition d’une droite du plan, d’un triangle, de deux droites parallèles. 2. Sur la sphère On s'aidera de la sphère en polystyrène, des élastiques et des aiguilles pour marquer les points. Sur la sphère de centre O, on donne deux points A et B. Déterminer le plus court chemin de l’un à l’autre à la surface de la sphère. Par deux points donnés A et B sur la sphère, combien passe(nt) de "droite(s)" ? Combien de point(s) commun(s) peuvent avoir deux "droites" sur la sphère ? 3. Le triangle : On donne trois points A, B et C sur la sphère. Combien déterminent-ils de triangles sphériques ? Quelle est la somme minimale des trois angles d’un triangle sphérique ? Peut-on construire un triangle rectangle, isocèle, équilatéral ? 4. Les quadrilatères : Les cercles, appelés parallèles en géographie, sont-ils des "droites" parallèles ? Peut-on déterminer deux "droites" parallèles à la surface de la sphère ? Comment définir un "parallélogramme" à la surface de la sphère ? un carré ? Partie 3 : Latitude et longitude Le repérage d'un bateau en mer ne se fera pas à l'aide de trois coordonnées cartésiennes mais de trois coordonnées sphériques : le rayon par rapport au centre de la Terre (6400 km) et deux angles appelés latitude et longitude : 45° est la latitude et 25° est la longitude. La latitude de référence est celle de l'équateur (0°) et la longitude de référence est celle du méridien de Greenwich. Mais dire que le bateau est à 45° de latitude et 25° de longitude ne suffit pas à connaître sa position : il y a quatre points possibles. On précisera si la latitude est Nord ou Sud selon que le bateau soit dans l'hémisphère Nord ou Sud et si la longitude est Est ou Ouest selon que le bateau soit à l'Est ou à l'Ouest du méridien de Greenwich. 1. Longueur d'un parallèle On considère le paralléle de latitude q . Déterminer, en fonction du rayon de la terre et de la latitude, la longueur de ce parallèle. Quelle est la longueur des tropiques du Cancer et du Capricorne ? Quel parallèle a pour longueur la moitié de l'Équateur ? 2. Expédition polaire. En se déplaçant vers l'ouest sur le même parallèle sur 700 km, on se retrouve à son point de départ. À quelle distance du pôle se trouve-t-on ? 3. En voyage ! On veut se rendre en avion de Bellin au Québec (70°W, 60°N) à Saint Pétersbourg (Russie 30°E, 60°N). Vaut-il mieux suivre le parallèle 60°N ou passer par le Pôle Nord ?