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Premi`ere partie
Diffraction
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Chapitre 1
Diffraction
1.1 Rappels sur l’onde plane
1.1.1 G´en´eralit´es
On se place dans un milieu lin´eaire, homog`ene et isotrope (milieu parfait) loin des sources de champ ´electromagn´etique
(densit´e de charge nulle, densit´e de courant nulle). L’´equation de propagation du champ ( ~ E, ~ B) s’´ecrit :
∆~ E−1
v2
∂2~ E
∂t2=~
0
∆~ B−1
v2
∂2~ B
∂t2=~
0
(1.1)
L’onde plane est une solution particuli`ere de cette ´equation. Les champs ne d´ependent que d’une seule variable
d’espace que l’on notera ici z. L’´equation de propagation se simplifie sous cette hypoth`ese et l’on montre que ~ E
et ~ Bs’´ecrivent comme la somme de deux vibrations se propageant en sens inverse l’une de l’autre `a la vitesse
v:~
E(t±z
v) et ~
B(t±z
v)
L’onde plane monochromatique ou onde plane sinuso¨ıdale est une forme particuli`ere de ces solutions pour
lesquelles ~ Eet ~ Bsont des fonctions trigonom´etriques : cosinus, sinus ou plus g´en´eralement exponentielles
complexes. Si ωest la pulsation de la fonction trigonom´etrique on ´ecrit :
~
E=~ E0exp i(~ k.~r ±ωt)
~
B=~ B0exp i(~ k.~r ±ωt)
(1.2)
o`u ~ k=ω
vˆzest le vecteur d’onde.
G´en´eralement les ondes proviennent de sources quelque part dans l’espace et se propagent de la source vers le
point courant (point o`u les champs sont calcul´es). On doit alors choisir le signe + ou - dans les expressions
ci-dessus. Sauf indication contraire on choisira le signe - (propagation vers les z > 0, l’onde est dite progressive).
~
E=~ E0exp i(~ k.~r −ωt)
~
B=~ B0exp i(~ k.~r −ωt)
(1.3)
et l’on a
~
B=ˆ
k
v∧~
E E =vB
2

Chapitre 1 : Diffraction 3
La structure de l’onde plane est sch´ematis´ee par la figure ci-apr`es. Les champs ~ Eet ~ Bsont perpendiculaires
entre eux et `a la direction de propagation ˆ k, en phase et constants dans tout plan perpendiculaire `a ˆ kdit plan
d’onde.
E
B
k
Plan d’onde perpendiculaire
à la direction de propagation
Champ scalaire — Amplitude complexe
On consid`erera un champ scalaire U(~r, t) qui repr´esente l’a valeur alg´ebrique du champ ´electrique, c’est `a dire
U(~r, t) = E0exp i(~ k.~r −ωt) (1.4)
Comme Eet Bsont proportionnels le champ scalaire U(~r, t) peut aussi bien repr´esenter le champ magn´etique.
On ´ecrira donc pour plus de g´en´eralit´e
U(~r, t) = ψ0exp i(~ k.~r −ωt) (1.5)
ψ0valant indiff´eremment E0ou B0. On appellera amplitude complexe, not´ee ψ(~r) la partie spatiale de U(~r, t) :
ψ(~r) = E0exp i(~ k.~r) (1.6)
Le champ scalaire suffit `a d´ecrire l’onde plane tant qu’on ne s’int´eresse pas `a la polarisation. Par commodit´e,
on dira tr`es souvent “onde plane” pour d´esigner une onde plane monochromatique.
Conventions de notation
On posera ~ k=2π
λ
α
β
γ
o`u (α, β, γ) sont les composantes du vecteur unitaire ˆ k, appel´es aussi cosinus directeurs
du vecteur ~ k. On a
α2+β2+γ2= 1 (1.7)
On ´ecrira alors l’onde plane sous la forme
ψ(x, y, z) = ψ0exp 2iπ
λ(αx +βy +γz)(1.8)
α, β et γpeuvent s’´ecrire en fonction des deux angles (θx, θy) des coordonn´ees sph´eriques comme d´efinis sur la
figure 1.1 :
α= sin θx
β= cos θx.sin θy
γ= cos θx=p1−α2−β2

Chapitre 1 : Diffraction 4
θx
θy
k
x
y
z
Figure 1.1 – Un vecteur ~ ket dans le syst`eme d’axes (x, y, z). On d´efinit les cosinus directeurs par α= sin θx=kx
k
et β= cos θx.sin θy=ky
k.
Approximation paraxiale pour l’onde plane
On suppose que l’incidence de l’onde, c’est `a dire l’angle form´e par le vecteur d’onde et l’axe optique z, est
faible. C’est `a dire |θx| ≪ 1 et |θy| ≪ 1. C’est souvent le cas quand on fait des exp´eriences optiques sur banc.
Sous cette hypoth`ese, les cosinus directeurs s’´ecrivent sous la forme approch´ee suivante :
α≃θx
β≃θy
γ=p1−α2−β2≃1−α2+β2
2
Chiffrons un ordre de grandeur de l’angle en dessous duquel on peut consid´erer que l’on est en optique paraxiale.
On approxime g´en´eralement γau deuxi`eme ordre pour des raisons qui seront vues plus loin. L’erreur que l’on
fait sur γest ´egale au terme suivant du d´eveloppement, soit (α2+β2)2/8. Un angle de 1◦donne une erreur
de l’ordre de 0.0001 sur γsi l’on fait l’approximation paraxiale. Avec un angle de 10◦l’erreur sur γdevient de
l’ordre de 0.01. Au del`a, l’erreur devient trop grande et l’approximation paraxiale devient trop impr´ecise.
On retiendra que l’approximation paraxiale pour l’onde plane peut ˆetre faire si les angles d’inclinaison sont
inf´erieurs `a 10◦.
Intensit´e d’une onde
On appelle intensit´e la puissance par unit´e de surface que
transporte l’onde. Consid´erons une onde plane de champ
´electromagn´etique ( ~ E, ~ B). Autour un point Mde l’espace rep´er´e
par sa position ~r, on d´efinit un ´el´ement de surface orient´e
d~s =ds ~n.
Par d´efinition, la puissance dW qui traverse l’´el´ement de surface
d~s est le flux du vecteur de Poynting ~ IP :
dW =~ IP.d~s =~
E∧~ B
µ0
.d~s
PI
E
B
ds
θ
Ce qui donne, compte-tenu du fait que le champ ´electromagn´etique doit ˆetre exrpim´e en notation r´eelle pour

Chapitre 1 : Diffraction 5
faire le produit vectoriel :
dW =|E0| |B0|
µ0|cos θ|cos2(~
k.~r −ωt)ds
d’o`u l’intensit´e instantann´ee de l’onde plane, d´efinie positive,
I(~r, t) = dW
ds =|E0|2 µ0v|cos θ|cos2(~
k.~r −ωt)
Cette fonction sinuso¨ıdale a une pulsation temporelle T= 10−14 s environ dans le visible. L’oeil a un temps
d’int´egration de 40 ms environ, les cam´eras rapides ont des temps de pose de l’ordre de la milliseconde et ne
voient en fait pas cette fonction I(~r, t) mais sa moyenne sur le temps de pose τ, soit la quantit´e I:
I=1
τZτ
0
|E0|2
µ0v|cos θ|cos2(~
k.~r −ωt)dt
Pour l’oeil, l’int´egrale porte sur plus de 1012 p´eriodes du cos2, et pour les cam´eras rapides on int`egre environ
1010 p´eriodes. L’int´egrale vaut alors
I=|E0|2
µ0v|cos θ|1 τZτ
0
cos2(~ k.~r −ωt)dt ≃|E0|2
µ0vcos θhcos2()i
et la valeur moyenne d’un cos2´etant de 1/2, l’intensit´e est donn´ee par
I=|E0|2
2µ0v|cos θ|
On obtient ainsi le r´esultat suivant lequel, pour une onde plane monochromatique, l’intensit´e est proportionnelle
au module du champ ´electrique de l’onde |E0|=|E(~r, t)|. Par habitude, on pose la constante de proportionalit´e
´egale `a 1. On ´ecrira
I=|ψ(~r)|2(1.9)
avec ψ(~r) l’attention est attir´ee sur le fait que la quantit´e In’est ici plus homog`ene `a une puissance par unit´e
de surface (W/m2), mais au carr´e d’un champ ´electrique.
Cas d’une onde monochromatique quelconque Le calcul d’intensit´e, ´etabli dans le cas d’une onde plane
(dont les surfaces d’onde sont des plans) se g´en´eralise aux ondes monochromatiques d’amplitude complexe
ψ(~r) quelconque, s’´ecrivant ψ(~r) = A(~r)eiφ(~r)avec Aet φr´eels. Les surfaces d’ondes sont en effet assimilables
localement `a des plans sur la surface ds d´efinie au paragraphe pr´ec´edent autour du point M. Un d´eveloppement
limit´e permet de s’en convaincre, en effet :
φ(~r)≃φ0+~ ∇φ . ~r
avec φ0une constante, et A(~r)≃A0avec A0une constante (on ne gardera que l’ordre 0 qui suffit pour le terme
A(~r)). Ainsi l’amplitude complexe de l’onde s’approxime, autour du point M, par
ψ(~r)≃A0eiφ0ei~
k.~r
c’est `a dire une onde plane, avec ~ k=∇φun vecteur d’onde “local”, gradient de la phase de l’onde au point
M. Le raisonnement qui a conduit au calcul de l’intensit´e pour une onde plane s’applique donc aussi au cas
d’une onde quelconque qui est localement plane. L’intensit´e est donc l`a aussi le carr´e du module de l’amplitude
complexe
I(~r) = |ψ(~r)|2
1.2 L’onde sph´erique monochromatique
Une solution particuli`ere de l’´equation de propagation concerne les ondes ´emises par les sources ponctuelles :
les ondes sph´eriques dont l’image na¨ıve est celle des “ronds dans l’eau” obtenus lorsqu’on lance une pierre dans