Le champ magnétique - Université Virtuelle de Tunis
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Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie Université Virtuelle de Tunis Physique - électricité : TC1 Le champ magnétique Concepteur du cours: Jilani LAMLOUMI & Mongia BEN BRAÏEK Attention ! Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l'UVT. Il est strictement interdit de la reproduire à des fins commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis. Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique I. INTRODUCTION La magnétostatique est l'étude des champs magnétiques créés par les distributions permanentes de courants, c'est à dire par des répartitions de courants volumiques, superficielles ou filiformes, indépendantes du temps. Par analogie avec les développements présentés pour l'étude du champ électrostatique, nous énoncerons la loi de Biot et Savart , déduite à partir de l'interaction magnétique. Nous en déduirons l'analogue du théorème de Gauss, connu sous le nom du théorème d'Ampère. Il ne faut cependant appliquer l'analogie entre régimes électrostatique et magnétostatique qu'avec prudence. Les différences essentielles entre électrostatique et magnétostatique sont : - Il est impossible d'isoler des masses magnétiques d'un signe déterminé, contrairement aux charges électriques. Si on brise un aimant en deux, les deux morceaux obtenus sont deux aimants. - On ne peut définir la position des pôles d'un aimant et leur distance avec précision mais seulement la direction de l'axe magnétique. - Alors que le champ électrique est un vecteur le champ magnétique est un vecteur spécial appelé pseudo-vecteur ou vecteur axial ; l'analogie ne s'étend donc pas aux propriétés géométriques des champs électrique et magnétique qui sont en général orthogonaux pour des sources (charges ou courants) de même symétrie. 2 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique - Alors que la force électrique a la même direction que le champ électrique, la force magnétique qui s'exerce sur une charge en mouvement a une direction perpendiculaire au champ magnétique B . II. DEFINITION DU CHAMP MAGNETIQUE Des phénomènes magnétiques sont observés depuis l'antiquité. Le plus ancien de ces phénomènes est l'attraction exercée sur le fer par un minerai naturel (oxyde de fer : Fe 2 O3) appelé alors magnétite d'où le nom de magnétisme. Le magnétisme est alors défini comme étant la propriété qu’a un corps d'attirer le fer ou l'acier. Un tel corps est appelé aimant. Il peut être orienté par la terre ; repousser ou attirer d'autres aimants. Ces interactions de type magnétiques liées aux effets produits par des aimants relèvent en fait d'un type de force à caractère plus général : interaction électromagnétique. C'est depuis le 19 ème siècle et suite aux expériences d'Oersted et d'Ampère; que l'on ne pouvait plus dissocier les phénomènes électriques des phénomènes magnétiques. - La circulation d'un courant électrique le long d'un fil disposé au-dessus d'une aiguille aimantée (boussole) fait dévier l'aiguille aimantée. Ainsi on met en évidence l'existence de forces magnétiques dues au courant électrique. - Un fil conducteur parcouru par un courant électrique et placé au voisinage d'un aimant subit un déplacement dont le sens dépend du sens du courant. Un courant électrique subit des effets d'origine magnétique. - Deux fils conducteurs parallèles, parcourus par des courants électriques s'attirent ou se repoussent. Tous ces phénomènes ont la même origine. On peut donc conclure que dans la région où se manifestent ces effets, règne un champ d'un type nouveau qu'on appellera champ magnétique B ( B est en fait appelé induction magnétique ). 3 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Comme en électrostatique, il sera donc possible de décrire ces effets avec la connaissance de la seule grandeur physique vectorielle B . Pour définir B il suffit de choisir un de ses effets observés expérimentalement. Dans le système international, B s'exprime en Tesla (T). On utilise aussi le Gauss, unité du système C G S (1 T = 104 G). Remarques - L'intensité du champ magnétique terrestre, au voisinage de la surface de la terre, vaut environ 5.10-5 T soit 0,5 G. - En laboratoire, on peut produire des champs magnétiques de l'ordre de 0,1 T à 2 T entre les pôles d'un électroaimant et des champs de quelques dizaines de Teslas à l'aide de bobines supraconductrices. III. LOI DE BIOT ET SAVART III.1. Force d'interaction entre deux courants permanents 4 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Considérons deux circuits(C1)et (C1) (C2) filiformes, immobiles, placés d1 dans le vide et parcourus par des F 12 M1 courants permanents I1 et I2 (fig.1). L'expérience montre qu'ils (C2) M2 d 2 I1 interagissent entre eux et I2 Fig.1 la force F12 que le circuit (C1) d'intensité I1 exerce sur le circuit (C2) d'intensité I2 a pour expression : F 12 0 4 r C2 C1 I 2 I1 d 2 d1 3 r (1) où r représente le vecteur M 1 M 2 qui joint l'élément de courant d 1 à l'élément d 2 et 0 est une constante caractéristique des propriétés magnétiques du vide, appelée perméabilité magnétique et dépend du système d'unités choisi. Dans le système d'unités SI : 0 = 4 10-7 et s'exprime , comme nous le verrons plus loin, en Henry par m². On montre que le circuit (C2) exerce sur le circuit (C1) une force F 21 qui satisfait au principe de l'action et de la réaction F 21 F 12 . III. 2. Loi de Biot et Savart La formule (1) peut se mettre sous la forme F 12 r 0 I 2 d 2 I1 d1 3 C2 C r 4 1 Or l'expression vectorielle entre parenthèses ne dépend que du circuit (C 1), on peut donc considérer, comme nous l'avons fait en électrostatique pour E , que cette expression 5 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique exprime une modification des propriétés due à la présence du seul circuit (C 1). Cette expression vectorielle définit le champ d'induction magnétique B1 au point M2 créé par le circuit (C1) parcouru par un courant I1. B1 0 4 C 1 I1 d 1 r r3 D'une manière générale, un circuit fermé filiforme (C) parcouru par un courant I crée en un point M de l'espace un champ d'induction magnétique B (M) donné par : B( M ) 0 4 r C I d r 3 (2) Ce résultat découle des résultats purement expérimentaux et constitue ce qu'on appelle la loi de Biot et Savart. Un circuit (C) parcouru par un courant I, placé dans un champ d'induction magnétique B , est soumis à la force F C I d B . Remarques 1. Le champ d'induction magnétique B donné par la formule (2) peut être considéré comme la résultante des champs élémentaires créés par les éléments de courants qui constituent le circuit (C); Le champ d'induction élémentaire dB créé par l'élément d parcouru par le courant I et situé en P, en un point M tel que PM r est donné par : 0 I d r3 dB 4 r I P 6 M d u Fig.2 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique 0 u r I d ; u dB 4 r² r Ses caractéristiques sont : - il a pour module : dB 0 Id sin ; 4 r² (d, u ) - il est perpendiculaire au plan défini par d et u - son sens est tel que le trièdre ( d , r , dB ) est direct. Toutefois, il est en général plus commode de déterminer le sens du champ d'induction élémentaire dB à partir de l'une des règles suivantes : Règle du bonhomme d'Ampère Un observateur placé sur l'élément de courant de telle façon que le courant le traverse des pieds vers la tête voit le champ magnétique orienté de sa droite vers sa gauche. Règle de tire-bouchon. Un tire-bouchon progressant dans le sens du courant voit sa rotation s'effectuer dans le sens du champ magnétique. 2. Physiquement, le champ magnétique dB créé par un élément de courant I d n'a aucun sens. En effet, il n'est pas possible d'isoler un élément d et le considérer parcouru par un courant permanent I. On ne peut avoir div j 0 (régime permanent) que dans un circuit fermé. Le champ élémentaire dB n'est donc pas mesurable. Seul aura donc un sens physique le champ magnétique B créé par un circuit fermé (C). 7 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique 3. La loi de Biot et Savart n'est valable rigoureusement que pour un courant continu d'intensité constante (régime stationnaire). Si l'intensité varie assez lentement, par exemple dans le cas d'un courant sinusoïdal de fréquence 50 Hz, la loi de Biot et Savart reste encore applicable mais si les variations d'intensité sont rapides (courants haute fréquence HF) alors il intervient d'autres phénomènes (telle que la propagation). 4. Principe de superposition pour l'induction A la superposition géométrique des forces correspond, d'après F I d B , une C superposition géométrique des inductions . En effet la force exercée par n circuits sur le circuit C peut se décomposer en n forces élémentaires créées par chaque circuit pris individuellement, on a : n n F F i (I d Bi ) I d B C i 1 n D'où : B Bi i 1 C i 1 où Bi désigne l'induction, créée par le circuit Ci, au point M où se trouve l'élément d . III. 3. Expressions du champ magnétique III. 3.1. Champ magnétique créé par une charge en mouvement Une charge q animée d'une vitesse v est équivalente, en première approximation, à un élément de courant I d . En effet: si on considère un élément de longueur d du circuit, la charge totale contenue d q dans cet élément est : v S dQ n q S d n q S vdt , où n est le t 8 t+dt Fig.3 du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Concepteur Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique nombre de charges mobiles par unité de volume et v est la vitesse du déplacement. I dQ n qSv dt Donc : v dQ I v dt I d De la loi de Biot et Savart, nous pouvons ainsi formuler une expression du champ magnétique créé par une charge q animée d'une vitesse v en un point M situé à la distance r. Soit : 0 r qv 3 B 4 r (3) III.3.2. Champ magnétique créé par une distribution de courants a. Cas d'une distribution de courants filiformes Dans le cas d'un circuit filiforme (les dimensions transversales des fils sont négligeables) parcouru par un d'intensité courant I, le continu champ magnétique créé en un point M ( r PM ) est : 9 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique B (M) 0 4 C I d r (4) r3 b. Cas d'une distribution de courants non filiformes * Distribution volumique Dans le cas d'une distribution volumique de courants de vecteur densité j v , on a M () : u I d j v . dS d S d P (C) Fig.5 j v d 2 j d Le champ magnétique créé par cette distribution de courant en M est : 0 B (M) 4 ( ) j v (P) r d r3 (5) * Distribution superficielle Si la distribution courants modélisée de peut être par une distribution superficielle parcourue par un courant M r (S) dS P u Fig.6 de vecteur densité j s , on 10 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique a: I d ( js . d' ) .d js d²S js dS S S Le champ magnétique créé par une distribution superficielle de courant en un point M s'écrit donc : 0 B (M) 4 S j S (P) r r3 dS (6) Remarque Calculons , à partir de l’expression du champ magnétique B , l’expression de sa divergence : j(P)PM j(P)PM 0 0 div B(r) div dτ div dτ 3 4 3 4 PM PM [ ] [ ] (On peut intervertir l’opérateur divergence avec l’intégrale puisque la divergence ne porte pas sur les variables décrivant la distribution de charges). Or, on a les deux propriétés suivantes ( voir annexe) : rot grad f 0 et div (b a) a .rot bb.rot a 11 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Par conséquent : j (P)PM div PM 3 dτ j (P)rot grad [ 1 - PM rot j (P) 3 PM PM ] En outre, rot j 0 puisque j est une fonction du point source P, alors que l’opérateur rotationnel ne fait intervenir que les dérivés par rapport aux coordonnées du point M où on veut calculer B . D’où finalement : div B 0 III. 4. Exemples de calcul du champ magnétique III. 4. 1. Symétries du champ magnétique La loi de Biot et Savart donnant B est une intégrale vectorielle c'est à dire définie par trois composantes, aussi, lorsque le problème ne se présente pas simplement, on doit calculer successivement chacune des trois composantes Bx, By et Bz. Fréquemment, dans le cas de systèmes de courants possédant un plan ou un axe de symétrie, il est facile de connaître la direction du champ magnétique dans le plan ou sur l'axe de symétrie, en composant les champs élémentaires créés par deux éléments de courant disposés symétriquement. Connaissant la direction de B , on peut alors calculer le module de B par une seule intégrale. 12 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Dans l'utilisation de cette méthode, on remarque que les éléments de symétrie jouent un rôle considérable, aussi on va établir deux résultats intéressants relatifs aux propriétés de symétrie du champ B (M), déduites de la loi de Biot et Savart, en un point M d'un plan de symétrie. a. cas d'un plan de symétrie on dit qu'une distribution de courants admet un plan de symétrie (), si en deux points P1 et P2, symétriques par rapport à (), on a : j (P2 ) image / j (P1 ) Le champ magnétique B (M), créé par une distribution de courants présentant un plan de symétrie (), en tout point M du plan (), est orthogonal à ce plan de symétrie (Fig.7). (Cas d'un fil infini ou d'un solénoïde infini). En effet : Soient Id 1 et Id 2 , deux éléments de courants disposés en P1 et P2 P1 d1 symétriquement par rapport à () (P1M r1 ; P2 M r2 ; r1 r2 r ) : M H P2 d 2 Fig.7 Le champ élémentaire dB créé en M par l'ensemble de ces deux éléments de courants est : 0 I dB dB1dB2 ( d1 r 1 d 2 r 2 ) 4 r3 r3 r1 P1M P1H HM et r2 P2 M P2 H HM P1H HM I D'où : dB 0 3 4 r 13 (d 1 d 2 ) HM (d 1 d 2 ) P1H Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Comme (d 1 d 2 ) est perpendiculaire au plan () et de même que P1H , le produit vectoriel (d 1 d 2 ) P1H est nul. Par contre (d 1 d 2 ) est contenu dans le plan () qui contient HM et le produit vectoriel (d 1 d 2 ) HM est perpendiculaire à (); il en résulte que dB est perpendiculaire au plan () et par suite B ( M ) est perpendiculaire au plan (). b. cas d'un plan d'antisymétrie on dit qu'une distribution de courants admet un plan d'antisymétrie ('), si en deux points P1 et P2, symétriques par rapport à ('), on a : j (P2 ) image / ' j (P1 ) . Le champ magnétique B ( M ) , créé par une distribution de courants présentant un plan d'antisymétrie ('), en tout point M du plan ('), est contenu dans ce plan de symétrie (') (Fig. 8). (Cas d'une spire). En effet : 0 I (d d ) HM 1 2 dB 4r 3 ( d 1 d 2 ) P1H (d1 d 2 ) ( ' ) (d1 d 2 )HM( ' ) HM à ( ' ) ' M Fig.8 14 P1 d1 H P2 d 2 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Il en résulte que : dB ( ' ) , Id1 et Id 2 du circuit et par suite B(M) ( ' ) . III.4.2. Champ magnétique créé par un fil rectiligne parcouru par un courant I Si on désigne (u r , u , u z ) la orthonormée associée par au z base uz I u directe système de M O coordonnées cylindriques, le Fig.9 plan (M,u r ,u z ) contenant OM et le fil est un plan de ur z’ z OP r PM symétrie. Le champ B ( M ) est donc normal à ce plan, il est porté par u : B(M)B(M) u Ce résultat s'applique dans le a O I d 2 B (M) M 1 P u uz cas d'un fil de longueur finie ou infinie. z’ Fig.10 ur u Chaque élément de courant I d crée au point M un champ dB donné par: 15 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique 0 I d PM I d , de module : dB(M) 0 2 sin dB (M) 3 4 PM 4 r Si on choisit comme variable , on a : a a a² sin sin( ) cos r r² 2 r cos cos ² tg a a tg d d a cos ² Soit : dB(M) D'où : B(M ) Soit : B(M ) 0 I cos d 4 a 0 I 4a 2 1 cos d 0 I ( sin 2 sin 1 ) 4a 0 I ( sin 2 sin 1 ) u 4a Le champ B créé par un fil rectiligne de longueur infinie, en un point M distant de a du fil, est obtenu en écrivant 1 I Soit : B (M) 0 u 2 a et 2 . 2 2 (8) Remarque Le vecteur B est tangent en M au cercle de rayon a et de centre O, il en est de même pour tous les vecteurs B situés sur ce cercle. Les lignes de champ sont donc des cercles ayant pour axe le courant et dont le sens est donné par la règle de tire - bouchon (ou du bonhomme d'Ampère). 16 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique III.4.3. Champ magnétique créé par une spire circulaire en un point de son axe Soit une spire circulaire filiforme de rayon R, de centre O, parcourue par un courant P I d R r d'intensité I(fig.11). x' O de la spire est un plan x M dBx x Fig.11 Tout plan contenant l'axe x 'x dB I d'antisymétrie. Le champ B (M) créé en un point M de l'axe est dirigé suivant cet axe. Un élément de courant I d de la spire, centré en P, crée en M un champ élémentaire dB(M ) perpendiculaire à PM donné par : 0 I d PM dB (M) 4 PM 3 Puisque B ( M ) est porté par x' x, seule la composante de dB(M ) suivant x 'x nous intéresse. dBx (M) dB(M) cos dB(M) sin ( Soit: ) 2 Avec: PM r et (d , PM ) , on a : 2 0 I d 0 I d dB(M ) = 4 r 2 4 r 2 I Soit : dB x (M ) 0 2 d sin 4 r 17 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Pour tous les éléments d , est le même. L'intégration de dB x sur toute la spire donne le module du champ résultant B(M) . Donc : B(M ) 2R o I IR sin d o sin 0 4r² 2 r² et comme r B(M ) R , on obtient : sin o I 3 2R sin (9) Ou en fonction de x : I B (M) o 2 R² 3 (R ² x ²) 2 ux (10) Remarques 1. Le champ magnétique B1 ( M ) créé par une bobine plate ayant N spires est : B1 (M) N B(M) . 2. Si M est confondu avec O, on a I et B(O) o : C'est le champ magnétique créé 2 2R au centre de la spire. Le champ magnétique créé par une bobine plate en son centre est : B1 (O) o N I ux . 2R 3 - Allure de la courbe B(x) B(x) 0 I 2R 18 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI O Fig.12 x Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique 0 I 2 B( x ) B(O) R² 3 (R ² x ²) 2 R3 3 (R ² x ²) 2 III.4.4. Champ magnétique créé par un solénoïde en un point de son axe On considère solénoïde un de I longueur comportant N spires jointives de même rayon R x régulièrement réparties. On se propose de déterminer le champ magnétique créé en un point M 1 M dx 2 R ux Fig.13 quelconque de l'axe du solénoïde. Par raison de symétrie, B(M ) est dirigé suivant l'axe, son sens est donné par la règle de tirebouchon. 19 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Soit une tranche du solénoïde d'épaisseur dx située à la distance x (fig.13 ) et vue du point M sous l'angle . Cette tranche contient Nd x spires. En utilisant le résultat obtenu pour une spire, on voit que le champ magnétique élémentaire créé par cette tranche sera : dB(M) o I N sin 3 dx 2R Si on désigne par n dB(M) N le nombre de spires par mètre, on a : o n I sin 3 dx 2R Choisissons comme variable d'intégration l'angle . On a : tg Soit: R R donc x x tg dB(M) , dx R d sin ² o nI sin d 2 En intégrant entre les angles 1 et 2 , il vient : B(M ) - B(M) Soit: o nI 2 2 1 sin d 0 nI ( cos 2 cos 1 ) 2 0 nI ( cos 2 cos 1 ) u x 2 (11) Remarques 20 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique 1. Si le point M est à l'intérieur du solénoïde, la formule reste valable : nI B(M) 0 ( cos 2 cos 1 ) u x 2 x' 1 M 2 x Fig.14 2. Si le solénoïde est très long "infiniment long", dans ce cas : 2 0 , 1 et cos 2 cos 1 2 B(M ) 0 n I u x D'où : (12) En pratique, il est impossible de réaliser des solénoïdes de longueur infinie, toutefois pour un solénoïde de longueur 10R , le champ magnétique reste sensiblement constant sur l'axe. IV. CIRCULATION DU CHAMP MAGNETIQUE THÉORÈME D'AMPÈRE IV. 1. Circulation du champ magnétique dans le cas d'un courant rectiligne filiforme indéfini (infiniment long) IV.1.1. Circulation élémentaire 21 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Soit un fil infiniment long parcouru par un courant I, l'axe oz est confondu avec ce courant. Le champ magnétique créé en un point M, distant de r de l'axe, est : B(M) z o I u 2r B Quand on passe de M à M', la M' circulation élémentaire de B est : M I dC B . M M' , avec : y o M M' d d r u r rd u dz k Soit : dC o I d 2 r m' m x Fig.15 Remarque Cette circulation élémentaire ne dépend que de d, par conséquent sa valeur le long de MM' est la même que celle calculée le long de sa projection mm'. IV.1.2. Circulation le long d'un contour fermée La courbe fermée n'entoure (n'enlace) pas le courant Nous pouvons donc prendre une courbe plane ( AECDA ) contenue dans le plan normal au courant. 22 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique B . d B2 CD B1 AE (Sur les côtés DA et EC, la circulation est D nulle car B u r ). Or : I k CD r2 et B 2 o r2 2 r2 AE r1 et B1 A I k o r1 2 r1 x r2 r2 r1 r1 I B2 B1 B E Ainsi : C Fig.16 B2 CD B1AE k k r2 r1 = 0 r2 r1 Toute circulation de B le long d'un contour fermé qui n'entoure pas le courant est donc nulle. b. La courbe fermée entoure le courant Quand on décrit la courbe , l'angle varie continuellement B () jusqu'à la valeur 2 quand on fait un tour . Donc : I Fig.17 C 23 o I 2 d o I 2 0 (13) Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique La circulation de B sur une courbe fermée quelconque entourant un fil conducteur est égale à 0I. Remarques La circulation de B est positive si elle se fait dans le sens positif de , elle est négative si elle se fait dans le sens contraire. Le sens de parcours, le long de la courbe , est positif quand il se fait de la droite vers la gauche de l'observateur d'Ampère placé sur le fil dans le sens du courant. V. 2.Cas général IV. 2. 1. Circulation élémentaire du champ Soit un circuit C parcouru par un courant I. En un point B M quelconque, il crée une induction d B donnée par la loi de la Biot et B C M M' u (C') Savart : da (C) Fig.8 o I d u 4 r ² Pour un déplacement élémentaire da ( da M M' ) , la circulation élémentaire du champ est : 24 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique I d u dC B. da o . da 4 ( C) r ² u da da d d u da . ( ) d . u. r² r² r² Or : La circulation de B s'écrit alors : I da d C B. da o u . 4 r² Supposons qu'au lieu de déplacer M en M', on laisse fixe M et on fait subir au circuit (C ) une translation ( da ) qui l'amène en (C'), l'aire balayée est dS (- da d ) et la circulation de I ( dS ) I o d B devient alors : C o u . 4 r² 4 d est l'angle solide élémentaire sous lequel on voit cet élément de surface dS depuis le point M. Si on désigne par l'angle solide sous lequel on voit depuis M le circuit (face sud du circuit), l'angle solide sous lequel on voit depuis M' le circuit est + d . La surface balayée par (C) et les surfaces propres qu'il délimite dans ses positions initiale et finale forment une surface fermée. L'angle solide sous lequel on voit de l'extérieur cette surface est nul; donc la contribution en angle solide de la surface balayée est égale mais de signe contraire à celle de la surface propre de (C). D'ou : d = - d Et par conséquent : dC Soit : C o I o I d d 4 4 oI d 4 d étant la variation de l'angle solide sous lequel on voit du point M le circuit (en fait la face sud du circuit). 25 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique IV.2.2.Circulation du champ magnétique le long d'une courbe fermée a. Courbe fermée enlaçant le courant Pour simplifier, considérons une spire plane parcourue par le courant I. La circulation de B le I long de la courbe est : Fig.19 C o I d , avec d 4 4 D'où : C 0 I (14) Remarques - Si on se déplace sur la courbe en sens inverse, la circulation sera négative et égale à (- µ0 I ). Si on enlace n fois le courant dans le sens positif, on a :C = nµo I - Si on enlace une fois plusieurs courants, on a : C = µ0 Ii où Ii désigne le courant total enlacé, avec la convention suivante : Un courant traversant () suivant la normale positive est affecté du signe (+) dans le cas contraire du signe (-). Courbe fermée n'enlaçant pas le courant 26 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Si le chemin d'intégration (courbe fermée) n'enlace pas le circuit, est uniforme et ne subit pas de discontinuité 0 . D'où : B . d 0 (15) IV.3. Enoncé du théorème d'Ampère Dans le vide, la circulation du vecteur induction magnétique B le long d'une courbe fermée est égale au produit par µo de la somme algébrique des intensités des courants qui traversent cette courbe. C B . d 0 I i (16) Remarque Le théorème d'Ampère en magnétostatique est analogue au théorème de Gauss en électrostatique. Exemples 27 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique I I n n B. d 0 (I I) 0 B . d 0 I I1 I I2 n n B. d 0 (I 2 I1 ) B . d 2 0 I Fig.20 28 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique IV.4. Applications du théorème d'Ampère IV.4.1 Champ magnétique d'un conducteur cylindrique indéfini On se propose de déterminer le champ magnétique B(M ) créé par un conducteur cylindrique de longueur infinie de rayon a et parcouru par un courant d'intensité I. Le plan (M, u r , k ) est un plan de symétrie. Le champ B(M ) est normal à ce plan, il est porté par u . La distribution de courants présente une symétrie cylindrique: indépendante de toute translation et rotation autour de l'axe z'z. Le champ magnétique ne dépend donc que de la distance r. B(M) B(r ) u * r<a B . d o i B 2 r o i z l'intensité i étant l'intensité du courant qui passe par le disque a u de rayon r. I I ij S r ² r² a ² a² I k B M r M a ur D'où : B 2 r = 0 i 0 I 2 r a² I B 0 r u 2 a² Soit : z' Fig.21 *r>a 29 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique B 2 r = 0 I B o I u 2 r Remarque B(r) Pour r = a, on a : B o I Bin (r a ) 2 a Il n'y a pas I 0 2 a de 0 discontinuité du champ magnétique B quand on passe de l'intérieur r=a r Fig.22 à l'extérieur du conducteur. IV.4.2. Champ d'un solénoïde infini Un solénoïde, de longueur infinie et d’axe z’z, comporte n spires jointives par unité de longueur. Les spires ont pour rayon R et sont parcourues par un courant d’intensité I. 1. En tenant compte de la symétrie, montrer, en utilisant le théorème d’Ampère, que le champ magnétique B(M ) est uniforme à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde. 2. En faisant l’hypothèse que le champ est nul à l’extérieur du solénoïde, déterminer le champ B(M ) à l’intérieur du solénoïde. 30 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique k 1. Le plan (M, u r , u ) est un plan z de B symétrie. est B ur M u donc perpendiculaire à ce plan, c’est à I dire parallèle à l’axe du solénoïde : D C n . B B(r, , z) k . (C3) r1 Le solénoïde étant infini, il est A invariant dans toute translation B r1r2 parallèle à l’axe z'z et dans toute (C1) rotation autour de celui - ci : B ne peut dépendre z' r2 donc que de la Fig.23 distance de l’axe au point où l’on mesure : B(M) B(r ) k Dans un plan passant par l’axe, considérons deux courbes d’Ampère (C 1) et (C3) rectangulaires et de côtés parallèles ou perpendiculaires à l’axe, les côtés parallèles ayant pour longueur commune . C 3 B . d AB B . d BC B . d CD B . d DA B . d Aucune intensité de courant 0 B (r2 ) 0 - B (r1 ) [ B (r2 ) - B (r1 ) ] ne traverse (C3); la circulation de B sur (C3) est donc nulle : [ B (r2 ) - B (r1 ) ] = 0 . Ce qui donne B (r2 ) = B (r1 ) . Le champ de vecteur B est donc uniforme à l’extérieur du solénoïde. 31 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique De même la circulation de B sur (C1) vaut [ B (r2 ) - B (r1 ) ] . Cette courbe (C1) n’est traversée par aucun courant : La circulation de B est donc nulle et B est uniforme à l’intérieur du solénoïde. I 2. Bex B(r R ) 0 C A (C2) D 2 B . d (B ex - Bin ) I (-Bin ) B Fig.24 C n La courbe (C2) est traversée N fois par I dans le sens contraire de sa normale positive. La circulation de B sur (C2) vaut : 0 N I D’où : B in 0 N I Soit : Bin = 0 Avec n = N I = 0 n I N qui represente le nombre de spirespar unité de longueur. D'où : B = Bint n 0 I k V. LE POTENTIEL VECTEUR En électrostatique, le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire. Nous allons montrer que le vecteur champ magnétique B(M ) dérive lui aussi d'un potentiel mais que ce potentiel est de nature vectorielle. 32 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique On sait que div rot 0 .On peut donc définir un vecteur A ( M ) tel que : B(M) rot A(M) (17) A ( M ) est appelé potentiel vecteur du champ magnétique B(M ) . Les expressions de A ( M ) sont données par : V.1. cas d'un circuit filiforme o A (M) Id 4 C r (18) V.2. cas d'une distribution surfacique de courant j dS A(M ) o s 4 ( S ) r (19) V.3. cas d'une distribution volumique de courant j d A(M) o ( ) 4 r (20) VI. LES EQUATIONS LOCALES DU CHAMP MAGNETIQUE ET DU POTENTIEL VECTEUR VI. 1. Les équations locales du champ magnétique L'expression du théorème d'Ampère est : B. d 0 I C Dans le cas d'une distribution volumique du courant, on a : I ( j . n ) dS S C Soit : B.d 0 ( j . n ) dS S Or d'après le théorème de stockes : 33 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique C B. d rotB.dS (rot B. n )dS S S Soit encore : S (rotB 0 j ). n dS 0 : expression qui doit être nulle quelque soit la surface S s'appuyant sur la courbe (C) . On en déduit donc que l'on doit avoir en chaque point : rot B 0 j (21) L'expression (21) représente la formule de Maxwell - Ampère, appelée aussi forme locale du théorème d'Ampère. Comme la divergence d'un rotationnel est toujours nulle, on en déduit que : div B divrot A 0 divB 0 (22) Remarque div B 0 S B.dS 0 (d'après le théorème de Green Ostrogradski) Le champ magnétique B est donc un champ de vecteurs à flux conservatif. VI.2. Les équations locales du potentiel vecteur Le potentiel vecteur A d'une distribution volumique de courant de densité j répartie à l'intérieur d'un volume est défini par : j A o d 4 r 34 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Si on fait l'analogie entre A et le potentiel scalaire électrostatique V ( V V 1 4 o d et r ), on aura en notation vectorielle : o A o j (23) Dans les régions de l'espace où il n'y a pas de courants, on a : A 0 Sachant que : B rot A et rot B 0 j . Et (rot B) rot(rot A) grad (div A) A o j A o j grad (div A) 0 divA cte , la constante peut être prise égale à zéro. D’où : div A (M )0 : Condition de jauge de Coulomb (24) Remarques * B rot A B. dS rot A.dS A . d S S C Le flux du vecteur B à travers une surface (S) limitée par une courbe (C) est égal à la circulation du potentiel vecteur A le long de (C) S B. dS A . d C * Analogie électrostatique - magnétostatique : 35 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Electrostatique Magnétostatique E grad V B rot A div E o rot B 0 j o A o j V div B 0 rotE 0 S Qi E. dS o C B. d o Ii VII . Action magnétique sur les courantsForces magnétiques VII.1. Actions exercées par des charges ponctuelles en mouvement sur une charge ponctuelle elle même en mouvement On a vu en électrostatique, si toutes les charges ponctuelles sont au repos, elles créent en un point M où est placée la charge ponctuelle q, elle-même au repos, un champ électrostatique E et la charge q est alors soumise à une force F q E . 36 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Lorsque toutes les charges sont en mouvement, la force subie par la charge q n'a pas une expression aussi simple. On montre que la force totale subie par la charge q comporte deux composantes : - Une force électrique de la forme F1 qE où le champ électrique E est indépendant de la charge q ; - Une force magnétique due en particulier au mouvement de la charge q de la forme F 2 q v B, v étant la vitesse de la charge q et B est le vecteur champ magnétique créé par toutes les charges en mouvement autre que la charge q au point où est placée la charge q à l'instant t. La force totale agissant sur la charge q sera donc : F q ( E v B) (25) Cette force s'appelle force de Lorentz. Remarque Le champ magnétique B peut être créé également par un aimant ou une distribution de courants. Ainsi, une charge ponctuelle q, placée dans une région où règne un champ magnétique B et animée d'une vitesse v , sera soumise à une force magnétique q v B . VII.2. Loi de Laplace Soit un circuit (C) filiforme parcouru par un courant continu d'intensité I et placé dans un champ magnétique B extérieur. Un élément de longueur d du circuit (C), contenant dq charges mobiles, est soumis à une force magnétique : dF dq v B v dq v I dt I v dt I d Or On en déduit la force magnétique agissant sur l'élément de longueur d du circuit, appelée force de Laplace : 37 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique dF Id B (26) L'expression ci-dessus constitue la loi de Laplace. Cette expression vectorielle de dF montre que : - dF est perpendiculaire au plan formé par d et B ; - le trièdre ( d , B , dF ) est direct. - le module de dF est : dF I d B sin , étant l'angle entre d et B . VII.3. Effet Hall B A Soit un ruban (plaquette) métallique plat de forme + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + dFe I parallèlépipédique de longueur a, de largeur b et d'épaisseur d. EH d Ce C b dF m d ruban est placé dans un _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _* _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ champ magnétique a _ _ _ _ _ _ _ _Fig.25 _ _ _ _ _ _ _ B permanent - et uniforme, perpendiculaire aux grandes faces (Fig. 25). Le ruban est traversé suivant son épaisseur par un courant d'intensité I. Le courant I est dû au mouvement des électrons libres, de vitesse v . En présence du champ magnétique, ces électrons sont soumis à une force magnétique dFm , normale à v , qui est à l'origine d'une accumulation d'électrons sur la face avant du ruban. 38 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique dFm n q d v B ne v Bd ( n : étant le nombre d'électrons contenus dans d ). L'accumulation d'électrons sur la face avant et l'excès de charges positives sur la face arrière sont à l'origine d'une différence de potentiel entre les deux faces du ruban et un champ électrique E H appelé champ de Hall. Ce champ exerce sur les électrons libres du volume d une force dFe opposée à dFm donnée par dFe n q d E . Le régime permanent est atteint quand : dFe dFm 0 n q d ( v B E H ) 0 Soit : D'où : E H v B (27) La différence de potentiel UH appelée tension de Hall sera donnée par : C U H VA VC E H. d b E H b v B A Or I j . dS n q v d b Soit : v Par suite : UH I nqdb Soit, en posant R H UH 39 IB 1 d nq 1 , constante de Hall, on a : nq IB RH d (28) Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Le champ magnétique Remarques 1. Dans le cas où les charges mobiles sont des électrons RH < 0 et UH > 0. 2. La valeur du champ magnétique B étant connu, les mesures de la d.d.p U H et de l'intensité du courant I permettent de déterminer la densité des porteurs et la nature des charges. 40 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI
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