Chap.3 – Aspects énergétiques de la dynamique du point (Part.1

Chap.3 – Aspects énergétiques de la dynamique du point (Part.1)
TEC, travail et puissance d’une force
0.
1.
2.
3.
Notation différentielle - Interprétation physique
0.1.
Différentielle d’une fonction scalaire à une variable
0.2.
Différentielle d’une fonction vectorielle à une variable
Théorème de l’énergie cinétique : formulation instantanée (« TPC »)
1.1.
Introduction des grandeurs énergétiques en mécanique
1.2.
Energie cinétique d’un point matériel
1.3.
Puissance reçue par le point M sous l’action d’une force
1.4.
Enoncé du TEC : formulation instantanée, ou « TPC »
1.5.
Exemple d’application du TPC
Travail d’une force : énergie reçue par le point sous l’action d’une force
2.1.
Travail élémentaire d’une force
2.2.
Travail d’une force pendant une durée finie, sur un trajet fini
2.3.
Travail du poids
2.4.
Travail d’une force de rappel élastique
2.5.
Travail d’une force de frottements fluide
2.6.
Forces conservatives et forces non-conservatives
2.7.
Retour sur les notations d ou 
Théorème de l’énergie cinétique : formulation intégrale
3.1.
Enoncé du TEC
3.2.
Exemple d’application
Intro :
L’étude de la dynamique du point matériel nous a permis de relier le mouvement à ses causes. Au chapitre
précédent, on a introduit le concept de force et énoncé les lois de Newton.
Dans ce nouveau chapitre, on va introduire le concept d’énergie pour étudier le mouvement d’un point matériel.
Le concept d’énergie a un double intérêt.
o
Il permet de formuler la RFD d’une manière différente. Dans les problèmes à un degré de liberté, l’étude
du mouvement en est rendue plus simple, plus directe (moins de calculs, moins d’étapes)
o
Le concept d’énergie existe dans les différentes branches de la physique-chimie : en électrocinétique, en
mécanique, mais aussi pour l’étude des phénomènes thermiques, lumineux, chimiques, nucléaires etc. …
Le concept d’énergie « créée un pont » entre ces différents domaines et offre une vision unifiée des
phénomènes naturels. On reviendra sur ce concept clef de la physique dans le cours de
Thermodynamique.
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Moreggia PCSI 2011/2012
0. Notation différentielle - Interprétation physique
0.1. Différentielle d’une fonction scalaire à une variable
La différentielle d’une fonction est une notion qui est précisément définie en mathématiques. Dans ce chapitre de
physique, on cherchera juste à la comprendre de manière intuitive, d’en proposer une interprétation physique.
On considère une fonction scalaire à une variable f(t). Pour faciliter l’interprétation physique de la notion de
différentielle, on considère que f est une grandeur physique qui dépend uniquement du temps t.
On introduit la différentielle de la fonction, notée df, à partir de la définition de la dérivée de f par rapport au
temps. On retiendra l’interprétation physique des notations introduites, et leur représentation sur un schéma.
o
est une durée infinitésimale, i.e. infiniment petite. On dit aussi durée élémentaire.
o
o
est la variation élémentaire de la fonction pendant la durée élémentaire
Ces deux quantités élémentaires sont liées par la relation :
df 
o
La variation
élémentaires
df
dt
dt
df  f ' dt
ou simplement
de la fonction pendant la durée
est la somme des variations
sur cette durée :
0.2. Différentielle d’une fonction vectorielle à une variable
L’interprétation physique de la différentielle d’une fonction vectorielle à une variable est similaire. Prenons un
exemple concret : le vecteur position d’un point matériel M. C’est une grandeur vectorielle qui ne dépend que du
temps : OM t  .
On introduit la différentielle du vecteur position, notée d OM , à partir de la dérivée du vecteur par rapport au
temps. On retiendra l’interprétation physique des notations introduites, et leur représentation sur un schéma.
o
représente une durée élémentaire
o
d OM représente la variation élémentaire du vecteur OM pendant la durée élémentaire
aussi du déplacement élémentaire du point M.
o
Ces deux variations sont liées par la relation suivante, qu’il faut savoir interpréter graphiquement :
d OM 
o
d OM
dt
dt
ou simplement
. On parle
d OM  v dt
En projetant ces relations dans le repère d’étude, on peut exprimer les composantes du vecteur
fonction des coordonnées du point M.
en
 Exprimer les projections du vecteur déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes et cylindriques.
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1. Théorème de l’énergie cinétique : formulation instantanée (« TPC »)
1.1. Introduction des grandeurs énergétiques en mécanique
On considère un point matériel M de masse m dont on étudie le mouvement dans un référentiel galiléen. On peut
donc appliquer la RFD. En multipliant scalairement les deux membres par le vecteur vitesse, on fait apparaître
deux termes, l’un homogène à une puissance, l’autre homogène à une énergie. Dans les deux paragraphes
suivants, on propose une interprétation physique de ces deux termes.
1.2. Energie cinétique d’un point matériel
L’énergie cinétique du point matériel est une énergie emmagasinée par le point sous forme cinétique.
Définie à partir de la masse et de la vitesse, c’est une grandeur cinétique, d’où son nom. Elle est définie à chaque
instant ; c’est une fonction du temps. Comme la vitesse, elle dépend du référentiel d’étude.
1.3. Puissance reçue par le point M sous l’action d’une force
P est la puissance reçue par le point M sous l’action de la force .
C’est une quantité algébrique !!
o
si P > 0, alors la force est motrice, sa projection selon v est dirigée dans le sens du mouvement
o
si P < 0, alors la force est résistante, sa projection selon v est opposée au sens du mouvement
o
P  0  F  v ; quand la force est orthogonale au mouvement, le point M ne reçoit pas d’énergie
Si le point matériel ne bouge pas, les forces qui lui sont appliquées ne fournissent pas de puissance !
On a défini une puissance instantanée. Elle est définie à chaque instant ; elle varie généralement avec le temps.
Définie à partir de la vitesse du point matériel, elle dépend du référentiel d’étude. D’après la définition, il est
facile de montrer que la puissance de la somme des forces est égale à la somme des puissances de chaque force.
On peut faire l’analogie avec la puissance électrique échangée par un dipôle. La présente définition est l’analogue
de la relation « P = UI » en électrocinétique. Mais en mécanique, la convention RECEPTEUR est imposée.
Quelques exemples de calcul de puissance :
 Calculer la puissance reçue par un point matériel soumis à son poids et à la réaction du support pour un
mouvement horizontal.
 Montrer que les forces de frottements fluides sont toujours résistantes dans le référentiel ou le fluide est
au repos
1.4. Enoncé du TEC : formulation instantanée, ou « TPC »
Dans un référentiel galiléen, l’énergie reçue par unité de temps par le point M est égale à la variation par unité
de temps de son énergie cinétique. On parle parfois du Théorème de la Puissance Cinétique (TPC) :
Ecrit sous cette forme, le TPC permet d’établir l’équation différentielle du mouvement. Ce n’est rien d’autre
qu’une reformulation de la RFD, interprété en termes d’échange d’énergie.
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Il existe une différence essentielle entre le TPC et la RFD. La RFD est une relation vectorielle. Projetée sur les
vecteurs de base d’un repère, elle permet d’obtenir trois équations scalaires. L’application du TPC ne permet
d’obtenir qu’une seule équation scalaire.
On choisira d’utiliser le TPC plutôt que la RFD dans les problèmes à un degré de liberté,
i.e. lorsque une seule coordonnée suffit à repérer la position du point matériel.
Remarque :
On va présenter le TPC sous une forme équivalente, inutile pour les calculs de sup, mais intéressante pour
l’interprétation physique en terme d’échange d’énergie. En introduisant les notations différentielles, on peut
écrire que :
La variation élémentaire de l’énergie cinétique du point M
est égale à la quantité élémentaire d’énergie
reçue par le point M
pendant une durée élémentaire .
L’énergie fournie par les forces, et reçue par le point M, est emmagasinée par le point M sous forme cinétique.
1.5. Exemple d’application du TPC
L’étude du mouvement à l’aide du TPC se fait selon la méthode présentée au chapitre 2., section 4 :
o Définir le système dont on étudie le mouvement
o Préciser le référentiel d’étude (galiléen si l’on veut appliquer le TPC)
o Définir un repère et l’orienter convenablement
o Appliquer le TPC pour obtenir l’équation différentielle du mouvement (à la place de la RFD)
 Faire le bilan des forces
 Exprimer la puissance de chaque force, en fonction des coordonnées et leurs dérivées tprelles
 Exprimer l’énergie cinétique du point M, en fonction des coordonnées et leurs dérivées tprelles
 Etablir l’EDiff en appliquant le TPC
 On étudie l’exemple du mouvement sans frottements d’un point matériel sur un plan incliné. Etablir l’ED du
mouvement.
On retiendra que la réaction normale du support disparaît des équations car elle est constamment orthogonale au
mouvement. L’intérêt du TPC est justement d’éliminer cette inconnue des équations. On notera que le TPC ne
sera donc d’aucune utilité si l’on souhaite calculer la réaction normale.
2. Travail d’une force : énergie reçue par le point sous l’action d’une force
2.1. Travail élémentaire d’une force
On a vu que l’on pouvait interpréter l’action d’une force sur un point M comme un transfert d’énergie. La
quantité d’énergie reçue par le point M sur un intervalle de temps donné s’appelle le travail.
Le travail élémentaire d’une force
est la quantité élémentaire d’énergie reçue par le point M
pendant une durée élémentaire sous l’action de cette force :
On peut aussi exprimer le travail élémentaire en fonction du déplacement élémentaire du point M pendant dt :
Le travail élémentaire d’une force est la quantité élémentaire d’énergie reçue par le point M
sur le trajet élémentaire d OM parcouru par le point M pendant une durée élémentaire dt.
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Les deux formulations sont bien sûr équivalentes. Il est important de retenir que l’on pourra calculer le travail
élémentaire d’une force sur une durée élémentaire ou sur un trajet élémentaire.
Défini à partir de la puissance, le travail élémentaire dépend du référentiel d’étude. D’après la définition, il est
facile de montrer que le travail élémentaire de la somme des forces est égal à la somme des travaux élémentaires
de chacune des forces.
2.2. Travail d’une force pendant une durée finie, sur un trajet fini
On s’intéresse à présent au travail d’une force sur une durée finie, un trajet fini (par opposition à « élémentaire »).
On souhaite évaluer le travail reçu par le point M entre deux instants t1 et t2 (donc sur la durée
).
Le travail
reçu par le point M entre deux instants t1 et t2 est la somme des travaux élémentaires W reçus
par le point M entre ces deux instants :
donc :
A l’instant t1, le point M se situe au point M1. A l’instant t2, le point M se situe au point M2. Entre ces deux
positions, le point M a effectué un certain trajet (ou chemin). D’où la formulation suivante :
Le travail
reçu par le point M entre les deux positions M1 et M2 est la somme des travaux élémentaires
W reçus par le point M au cours de son trajet entre ces deux positions :
donc :
Remarque : Si le mouvement n’est pas à un degré de liberté (i.e. s’il faut plus d’une coordonnée pour repérer le
point M), on ne sait pas calculer cette dernière intégrale à ce stade de l’année.
 On étudie un point matériel M glissant sur un plan incliné. Le point M parcourt une distance
en une
durée
. Déterminer le travail des forces de frottements solides en fonction du coefficient de frottement
et de l’angle de l’inclinaison. On fera deux fois le calcul, en utilisant chacune des formules ci-dessus.
2.3. Travail du poids
On évalue le travail du poids entre deux positions M1 et M2 prises par le point M. On remarque que l’on n’a pas
besoin de préciser le trajet emprunté pour aller de M1 à M2.
On retiendra que le travail du poids ne dépend que de la position initiale M1 et de la position finale M2. Le
travail du poids ne dépend pas de la trajectoire suivie par le point M entre ces deux positions. On dit que le
travail du poids « ne dépend pas du chemin suivi ».
On retiendra aussi que si les positions initiales et finales sont les mêmes, alors le travail du poids est nul.
Ceci n’est pas un résultat général, ce n’est pas le cas pour toutes les forces.
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2.4. Travail d’une force de rappel élastique
On évalue le travail de la force de rappel élastique entre deux positions M1 et M2 prises par le point M. On
remarque que l’on n’a pas besoin de préciser le trajet emprunté pour aller de M1 à M2.
On retiendra que le travail d’une force de rappel élastique ne dépend que de la position initiale M1 et de la
position finale M2. Le travail d’une force de rappel élastique ne dépend pas de la trajectoire suivie par le point M
entre ces deux positions. On dit que le travail de cette force « ne dépend pas du chemin suivi ».
On retiendra aussi que si les positions initiales et finales sont les mêmes, alors le travail de la force de rappel
élastique est nul.
Ceci n’est pas un résultat général, ce n’est pas le cas pour toutes les forces.
2.5. Travail d’une force de frottements fluide
On évalue le travail de la force de frottements entre deux positions M1 et M2 prises par le point M au cours de son
mouvement. On l’évalue en considérant deux trajets possibles pour aller de M 1 à M2.
On notera que le travail de la force de frottement est toujours négatif, si l’on se place dans le référentiel où fluide
est au repos. La force y est toujours résistante. On retiendra que :
o le travail dépend du mouvement effectué par le point M pour aller de M1 à M2
o si les positions initiales et finales sont les mêmes, le travail n’est pas nul pour autant
2.6. Forces conservatives et forces non-conservatives
A travers ces trois exemples, on voit que l’on peut distinguer deux types de forces :
o celles dont le travail ne dépend pas du chemin suivi par le point M : ce sont les forces conservatives
o celles dont le travail dépend du chemin suivi : ce sont les forces non-conservatives
2.7. Retour sur les notations d ou 
Notations à retenir :
o Travail élémentaire W, travail fini W
o Variation élémentaire d’énergie cinétique dEc, variations finie d’énergie cinétique Ec
o Durée élémentaire dt, durée finie t
o Distance élémentaire selon un axe cartésien dx, distance finie x (idem pour y et z)
La notation d est réservée aux variations élémentaires. Le travail élémentaire n’est pas une variation, mais une
quantité élémentaire. C’est la raison pour laquelle on utilise la notation . C’est aussi directement lié au fait que le
travail est une quantité qui dépend généralement du chemin suivi.
3. Théorème de l’énergie cinétique : formulation intégrale
Le TPC énonce que la variation élémentaire d’énergie cinétique du point M est égale au travail élémentaire des
forces qui lui sont appliquées. Le Théorème de l’Energie Cinétique découle du TPC après intégration par rapport
au temps.
3.1. Enoncé du TEC
Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique du point M entre deux instants t1 et t2 est égale
au travail des forces appliquées au point M entre ces deux instants :
avec :
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Ce théorème est particulièrement utile lorsque l’on souhaite déterminer la norme de la vitesse du point matériel à
un instant donné (ou à une position donnée), connaissant la norme de la vitesse à un autre instant (généralement la
vitesse initiale ou finale).
3.2. Exemple d’application
Un palet de masse m est lancé sur une piste verglacée, avec une vitesse initiale v 0 . Une bande de largeur d non
verglacée se trouve sur le trajet du palet. Le coefficient de frottement solide sur cette bande est noté f. Quelle est
la vitesse initiale minimale à fournir au palet pour que celui-ci franchisse la bande non verglacée ?
Notions clefs
Savoirs :
 Définition et interprétation physique des notations différentielles
 Définition de l’énergie cinétique, de la puissance, du travail + interprétation physique de ces notions
 Enoncés du TEC sous ses deux formes (instantané, et intégré sur une durée)
 Toutes les grandeurs introduites dans ce chapitre dépendent du référentiel
Savoirs faire :
 Utiliser la bonne notation  ou d pour les quantités / variations élémentaires
 Utiliser la bonne notation pour les quantités / variations finies
 Calculer la puissance et le travail d’une force
 Appliquer le TPC et le TEC pour résoudre des problèmes à un degré de liberté (référentiel galiléen)
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