Opérateur de Schrödinger avec champ magnétique

Séminaire de Théorie
spectrale et géométrie
Y VES C OLIN DE V ERDIÈRE
NABILA T ORKI
Opérateur de Schrödinger avec champ magnétique
Séminaire de Théorie spectrale et géométrie, tome 11 (1992-1993), p. 9-18.
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Séminaire de théorie spectrale et géométrie
GRENOBLE
1992-1993 (9-18)
OPÉRATEUR DE SCHRÖDINGER AVEC CHAMP MAGNETIQUE
Yves COLIN DE VERDERE et Nabila TORKI
Le but de ce texte est d'une part de présenter l'opérateur de Schrödinger
avec champ magnétique sur les surfaces, d'autre part d'appliquer les méthodes
déjà utilisées dans le cas sans champ magnétique ([CV1],[CV2],[CV3]) au cas avec
champ magnétique.
Les résultats nouveaux sont:
1) l'absence de majoration purement topologique de la multiplicité des
valeurs propres: la multiplicité du fondamental peut être arbitrairement grande
même pour le fibre trivial sur S2 (résultat obtenu dans [TO]);
2) Vétude des invariants topologiques attachés aux bandes pour un petit
potentiel électrique périodique tel que le flux du champ magnétique dans un
domaine fondamental est 2?rxentier (effet Hall), voir [N0],[T-K-N2]. L'étude est
présentée de façon à éviter au maximum les calculs explicites, en particulier de
fonctions thêta ou d'intégrales de courbure, en utilisant la théorie des fibres en
droites complexes holomorphes sur les surfaces de Riemann et de leurs diviseurs
(voir par exemple [DE] ou [BO]).
1. Opérateur de Schrodinger avec champ magnétique sur les
surfaces.
1. Laplaciens.
On va considérer pour simplifier uniquement le cas des surfaces orientables,
qui est très important pour la physique du solide (effet Hall, voir [CO] chapitre 4).
Soit donc (X, g) une surface riemannienne orientée complète, on considère
sur X, un fibre en droites complexes C°°, L muni d'une structure hermitienne (.|.)
et d'une connection V compatible avec cette structure.
C'est à dire:
pour toutes sections s, t.
On note B la courbure de cette connection, qui est la 2-forme à valeurs
réelles sur X définie par
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Y. COLIN DE VERDIÈRE, N. TORKI
Cette connexion munit canoniquement le fibre L d'une structure de fibre
holomorphe: si la métrique g est localement de la forme g = e2lfi(dx2 + dy2), on
pose:
V a / a . = l / 2 ( V a / a , + iVd/dy) ;
II suffit maintenant de décréter holomorphes les sections s telles que ^a/dzs == 0- H
est facile de voir que cela fait de L un fibre holomorphe, pour la structure complexe
de X associée à la structure riemannienne. On peut du reste renverser la procédure:
un fibre holomorphe muni d'une métrique hermitienne est automatiquement muni
d'une connection hermitienne unique telle que les sections holomorphes s soient
celles qui vérifient Vzs = 0.
A ces strutures, on peut associer 2 laplaciens: l'opérateur de Schrödinger
avec champ magnétique HB et le laplacien complexe AcHB est donné, dans les coordonnées locales conformes, par
HBs = -e-^{y%/dxs
+ V2d/dys) ,
formule qui généralise le laplacien usuel. Il est associé à la forme quadratique
gsis) = Jx \\Vs\\2vg sur l'espace de Hubert des sections qui vérifient Jx\s\2vg <
+oo.
Le laplacien complexe est donné par
il est associé à la forme quadratique
9c(s) = ƒ \Vd/dzs\2dxdy
Jx
.
II y a entre ces 2 laplaciens la relation fondamentale:
HB = 4 A C + B ,
où l'on a posé B = Bvg (vg étant la forme volume associée à l'orientation de -X").
En particulier si le champ magnétique B est constant > 0 ces deux
opérateurs ont des spectres faciles à comparer. La première valeur propre de HB
est B si le fibre L a des sections holomorphes de carré intégrable et ces sections
forment l'espace propre associé. On peut donc appliquer la théorie des fibres en
droites holomorphes sur les surfaces de Riemann à ce contexte.
2. Fibres en droites complexes.
Il y a 2 classifications importantes de ces fibres:
1) la classification topologique
donnée par la classe de Chern C\(L) € H2(X,Z), qu'on peut identifier
à un entier (appelé degré), grâce au générateur canonique de H2(X, Z), classe
fondamentale de X qui est orientée.
Operateur de Schrödinger avec champ magnétique
11
Cette classe de Chern peut être définie et calculée de différentes façons:
a) Comme classe caractéristique:
si L est l'image réciproque du fibre en droites canonique C sur le projectif
complexe de dimension N par une application ƒ, sa classe de Chern est l'opposée
de l'image réciproque par ƒ du générateur canonique u de H2(PN,Z). On peut
la voir aussi comme l'opposé du nombre d'intersection de f(X) avec un hyperplan
deP".
b) Au moyen de la courbure A' d'une connection hermitienne sur L:
c) A partir du diviseur d'une section méromorphe d = £ t n * < ai >:
2) La classification holomorphe:
Si s est une section méromorphe de X, elle admet un diviseur d(s) = $3 n * <
a, >, où les a, sont les zéros et les pôles de s et ni G Z leur ordre. On a alors:
2 sections méromorphes s et s' de L sont telles que d(sf) — d(s) est diviseur d'une
fonction méromorphe sur X. On connaît, pour chaque X ces diviseurs:
si X est la sphère, tout diviseur de degré 0 est diviseur d'une fonction
méromorphe, i.e. une fraction rationnelle.
Si X = C/F , les diviseurs de fonctions méromorphes sont ceux qui
vérifient, si d = Y^ni < a * >» 5Zn*a« = 0 niod F.
L'élément ]£ n * a * v u comme élément de C/T est donc indépendant de
la section méromorphe s du fibre L holomorphe donné: en fait cette application
L —• ^2 riiüi est un isomorphisme de l'ensemble des classes de fibres holomorphes
de degré donné sur C/T . Par exemple, les fibres de degré 0 sont paramétrés par
des diviseurs < x > — < 0 > , x e C / r . I l s admettent une connection plate,
mais n'admettent de section globalement constante que si c'est le fibre trivial. On
peut aussi les identifier à la donnée d'un caractère de F = ?r1(JY'), Tholonomie du
fibre: c'est sous cette forme qu'il intervienne dans la décomposition de Bloch d'un
opérateur de Schrödinger périodique.
Les diviseurs sont utilisés par [L-V] pour repérer un point dans l'espace
projectif de l'espace des sections holomorphes d'un fibre en droites. La dynamique
quantique est alors lue sur la mobilité du diviseur (voir aussi [CV5]).
2. Cas de la sphère.
Dans ce cas (quitte à choisir l'orientation pour avoir des sections holomorphes), on peut supposer que le degré de L est un entier n > 0. Il n' y a alors,
la métrique g étant donnée, qu'un champ B constant possible qui est donné par
12
Y. COLIN DE VERDIÈRE, N. TORKI
ƒ v B = 27rn. La connection hennitienne est alors unique à isomorphisme près
(changement de jauge).
La dimension de l'espace propre associé à la plus petite valeur propre
est n + 1 d'après Riemann-Roch, et une section holomorphe est caractérisée à
homothétie près par son diviseur, ensemble des n points sur S2 où elle s'annule
(avec multiplicité). On peut en particulier prescrire le polynôme de Taylor à l'ordre
n en un point p fixé et on a ainsi un isomorphisme de l'espace propre Eg avec
l'espace des polynômes complexes de degré < n.
On va maintenant étudier des perturbations de HB par un petit potentiel
électrique, c'est-à-dire étudier des opérateurs
où V 6 C ° ° ( S 2 , R ) est petit.
Il y a dans ce contexte une notion naturelle de stabilité, analogue à celle
développée dans [CV1], d'après les idées d'Arnold:
DÉFINITION. — La valeur propre Ào de multiplicité m de HB est stable
(sous-entendu relativement aux perturbations par des potentiels scalaires) si
Vapplication
C:6V-+ f 6V(.\.)vg ,
Jx
de J'espace tangent ToC°°(X) dans les formes hermitiennes Herm(.EA0), où E\o
est J'espace propre, est surjective.
Cette condition est une condition de transversalité en HB,Q entre la variété
des opérateurs HB,V (B fixé, V variable) et la variété des opérateurs ayant Ào
comme valeur propre isolée de multiplicité m.
THÉORÈME. — Pour un operateur de Schrödinger avec champ magnétique
constant sur une surface riemannienne compacte connexe orientée X, si B > 0
et que B est la valeur propre fondamentale (existence de sections holomorphes),
alors cette valeur propre est stable pour les perturbations par des petits potentiels
électriques.
Ce résultat est obtenu dans le cas où g est la métrique canonique sur S2
par une méthode différente dans la thèse de N. Torki [TO].
Preuve.
Soit p un point de X et n le degré du fibre. L'application T qui à s € E$
associe son polynôme de Taylor de degré n en p est injective (car une section
holomorphe ne peut avoir plus que n zéros avec multiplicité).
Soit F son image. L'application (T((^),T(^)) -» <p^ de Herm(F) dans
C°°(X) est visiblement injective. Cela montre par transposition la surjectivité
de l'application £ . D
Operateur de Schrödinger avec champ magnétique
13
On en déduit le (voir aussi [TO]):
THÉORÈME. — Pour tout entier m, il existe un opérateur de Schrödinger
avec champs magnétique et électrique, sur le ûbré trivial sur S 2 , ayant la première
valeur propre de multiplicité m.
Ce théorème qui contraste avec celui de Cheng [CH] pose la
question: existe-t-il une majoration en l'absence de champ électrique ou
en terme de JS7 \B\v9l
Preuve. — On considère le fibre en droites complexes hermitiens L de degré
(m — 1) au-dessus de la sphère S2 munie de la métrique canonique, et on le munit
d'une connexion V hermitienne à courbure constante B. On trivialise L sur S2
privée du pôle nord N et on note V = d + ia, où a est une 1-forme à valeurs
réelles sur S 2 \ {iV}, la connection sur ce fibre trivialise.
On note Hy = HB + V et on sait que la première valeur propre de Ho est
de multiplicité m et stable par les perturbations par les potentiels électriques.
On note H€y la restriction de Hy à S€ = S2 \ -Dc, où D€ est le disque
géodésique de centre N et de rayon e de S 2 , avec les conditions de Dirichlet. Alors
le spectre de Hey converge vers celui de H y ainsi que la somme des m premiers
espaces propres de H€y (si V est assez petit) vers la somme des m premiers espaces
propres de Hy lorsque e tend vers 0. Cela résulte essentiellement de la densité de
C?{S2 \ {N},L) dans Hl(S2,L) pour la topologie H1.
Les techniques de [CV2] permettent alors de prouver que, pour e = r assez
petit, il existe Vo tel que H€iy0 ait une première valeur propre de multipicité m
stable par perturbation par les potentiels électriques.
On considère maintenant /3 une extension à S2 de la restriction de a à 5 r .
On munit le fibre trivial sur S2 de la connection V = d + i/3 et on cojisidère
l'opérateur de Schrödinger HyyTI = V*V + V + rjW, où W > 0 admet pour support
Lorsque TJ —> +oo, le spectre de Hy^ converge vers celui de Hry, ainsi que
les sommes des m premiers espaces propres. On en déduit l'existence de Vi et r\0
tels que HyltVo admette une première valeur propre de multiplicité m.
D
3. Cas du tore: effet Hall.
1. Introduction.
Il est apparu depuis quelques années, en particulier avec la découverte de
l'effet Hall quantique, que certaines questions topologiques impliquant des fibres
vectoriels et leur classe de Chern jouent un rôle important en mécanique quantique,
en particulier pour comprendre la conductivité d'un métal.
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Y. COLIN DE VERDIÈRE, N. TORKI
L'effet Hall classique et quantique ( voir [CO], chap. 4)
potentiel
Hall
L'effet Hall
L'effet Hall classique a été découvert en 1879. On considère un conducteur
très mince et que Ton peut donc considérer comme tridimensionnel. On soumet ce
conducteur à un champ magnétique (constant) perpendiculaire à son plan. Lors du
passage du courant électrique, les porteurs de charge sont déviés perpendiculairement à leur trajectoire, ce qui donne lieu à une différence de potentiel mesurable et
donc à une conductivité, quotient du courant par la différence de potentiel. Cette
expérience permet de détecter le signe des porteurs de charge (électrons ou trous
d'électrons).
Ces expériences ont été reprises en 1980 par k. von Klitzing, m. Pepper et
g. Dorda dans des conditions de très basse température. On constate l'existence
de plateaux pour l'expression de la conductivité en fonction de l'énergie de Ferxni
et, de plus, ces plateaux correspondent avec une approximation excellente à des
multiples entiers de ^j-. Dans le cas où le flux de champ magnétique par période
du potentiel électronique est entier, la formule de Kubo exprime effectivement la
conductivité comme une intégrale qui se trouve être une intégrale de courbure et
donc une classe de Chern.
2. Exemple de calcul d9une classe de Chern.
soit Lo un fibre holomorphe de degré N > 0, soit £& = Lo®ir<6>-<0> et
l'espace des sections holomorphes (de dimension N) de Lb que l'on peut considérer
comme un fibre holomorphe H : ff& —> 6 au dessus de C / F .
LEMME. —
On a ci(H) = 1.
En effet, on peut plonger holomorphiquement H h dans C ^ + 1 en associant
à une section son polynôme de Taylor en 0 à l'ordre N dans une trivialisation
près de 0 qui est indépendante de 6 (trivialiser d'abord L o , puis les fibres plats en
Operateur de Schrödinger avec champ magnétique
15
identifiant leurs sections à des fonctions quasi-périodiques sur C): à
i=0
on associe le vecteur (a 0 , ...,a;v)On considère alors le sous-fibré en droites H% du fibre trivial C N + 1 orthogonal à Hb. On a bien sûr: cx(H) =
-c^H0).
Soit maintenant la section de H° qui consiste à regarder l'équation de la
forme s^ + ^ h(b)si = 0. Cette section est holomorphe hors de 6 = 0: en effet
pour 6 T£ 0, il n'y a pas de relation linéaire non triviale entre les $,-, i < N — 1, car
cela impliquerait l'existence d'une section ayant tous ses zéros en 0.
Près de b = 0, la relation peut s'écrire:
i<N-2
où les li(b) sont holomorphes près de 0: en effet si les s*, i < N — 2, sont nuls, le
iV-ème zéro est proche de 0 et est égal à 6, de plus l'annulation de s,, i < N — 2
et de SN implique celle de ajv-i. On en déduit que cette section de H° a comme
diviseur — < 0 >, c'est-à-dire que Cx(H°) = —1.
De ce lemme, on déduit que si on a une décomposition en somme directe
de fibres en droites: H = ®\z^Li, alors: ^2cx(Li) = 1. C'est en particulier le cas
si on a une famille d'opérateurs auto-adjoints At sur Ht dont les valeurs propres
sont toutes simples pour toutes les valeurs de 6, ce qui est la situation générique,
et que les Li sont les espaces propres.
On peut du reste interprêter géométriquement les degrés des L*:
on considère Li(b) comme une droite de C ^ + 1 par l'application qui, à une
section de Hb , associe son développement de Taylor à l'ordre N en un point
z0 de X. Soit ƒ l'application de X dans PN qui à b associe la droite de PN
définie précédemment. L{ est alors l'image réciproque par ƒ du fibre canonique
de P ^ . Donc sa classe de Chern est égale au nombre d'intersection de f(X) avec
Thyperplan de PN d'équation P(z0) = 0.
La classe de Chern de Li s'interprète donc en terme de balayage de C/T
par les zéros des sections. C'est une bonne image de penser que le mouvement
de ces zéros quand 6 varie donne une idée de la mobilité des électrons, i.e. de la
conductivité. La formule de Kubo dans le cas de l'effet Hall relie effectivement la
conductivité Hall à ces classes de Chern en unités ^-.
S. Effet Hall
On considère ici un opérateur de Schrödinger H avec champ magnétique
constant B > 0 et petit potentiel périodique V de période F sur R 2 . On suppose
pour simplifier que le flux de B sur un domaine fondamental du groupe F des
périodes de V est égal à 27riV, N G N.
16
Y. COLIN DE VERDIÈRE, N. TORKI
La théorie spectrale de cet opérateur s'étudie au moyen de la décomposition
de Floquet. On a une équivalence unitaire entre H et une intégrale directe
J c / r H(,db, où les Ht sont de la forme A& + V, avec A& laplacien associée à une
connection à courbure Bdx A dy sur le fibre Lt = Lo ® Ft (Ft fibre trivial plat).
Dans la situation générique, les valeurs propres A,(6) de Ht sont simples pour
tout b et tout i, car on a une famille à 2 paramètre d'opérateurs auto-adjoints,
l'intervalle décrit par Aj(6) lorsque b décrit C/F est applelé la i-ème bande. Le
spectre de H est la réunion de ces bandes. A chacune de ces bandes non dégénérées
est associé sa classe de Chern, un entier, que physiquement on interprète comme
la conductivité de cette bande.
Dans la situation perturbative (V petit), on peut identifier les N bandes qui
viennent du premier niveau de Landau: la somme de leur classes de Chern vaut 1.
4- Effet tunnel. — Lorsque l'on est dans une situation "semi-classique"
(grand champ magnétique ou % petit), on peut donc se livrer à un calcul approché
des bandes, même sans champ magnétique.
On peut considérer les classes de Chern associée à chaque bande. Lorsque
les fonctions propres sont localisées indépendamment des conditions aux limites
près de puits de potentiel ou de trajectoires périodiques contractibles, on observe
des classes de Chern nulles: les fonctions propres sont pratiquement insensibles
aux conditions aux limites et les bandes associées sont étroites.
Par effet tunnel entre plusieurs puits de potentiel correspondant à des quasimodes de même énergie (par exemple pour des raisons de symétrie), on peut avoir
des classes de Chern non nulles et de la conductivité. Il faut bien sûr pour cela
que le graphe plongé dans C / F qui permet de calculer l'effet tunnel "contienne "
la topologie du tore, i.e. par exemple ne soit pas contractible sur un lacet.
5. Multiplicités.
Ici, on se place dans un espace de Hubert complexe H (de dimension finie).
On note W2 la sous-variété de Sym(Ti) formée des opérateurs hermitiens ayant au
moins une valeur propre de multiplicité 2. W2 est une sous-variété (non fermée)
de codimension 3 de Sym('H).
On a en vue la théorie de Floquet précédente pour une famille d'opérateurs
Hp dépendant d'un paramètre fi G I réel (voir [F-L]). On se place dans la situation
générique suivante:
pour toutes les valeurs de fi sauf un ensemble discret, fi G 5, les valeurs
propres des H^t sont simples pour tout 6 € C / F . De plus, lorsque \i0 G 5, il y a
u n i o e C / F unique tel que H^o^o a une valeur propre Ào de multiplicité 2. On
suppose qu'en ce point I x C/F rencontre W2 transversalement. Pour fi £ S, les
classes de Chern C\(Ei) sont localement constantes; lorsque fi franchit la valeur
fi0, il y a une modification: si on a AJ(# MOÏ & O ) = Aj+i(fTMoï5o)1 il y a conservation
Operateur de Schrödinger avec champ magnétique
17
de c\(Ei) + c\(Ei+\), mais il y a dans la situation transversale une modification
de ±1 de chaque classe. Cette modification relève de l'analyse suivante:
soit Z C Sym(W) une sous-variété trans verse à W2 en Ao ayant Ao comme
valeur propre de multiplicité 2 et Eo = Ker(A0 — Ào), l'espace propre associé.
soit 5 une petite sphère de dimension 2 de Z contenant Ao. A G S admet
exactement 2 valeurs propres À- < A+ proches de Ào auxquelles on associe 2
fibres en droites L± sur S qui sont donnés par les 2 espaces propres. Alors il est
clair que Ci(Z+) + c x (£.) = 0, mais on a de plus que chacune de ces classes vaut
±1.
En effet, on se ramène sur Eo, par linéarisation à examiner les opérateurs
-At,»» * € R, tu G C de matrices
ayant une valeur propre double pour t = w = 0. On prend pour S la sphère
t2 + \w\2 = 1 . Les valeurs propres sont alors X± = ± 1 . L'espace propre £+ est
donné par:
X_
Y
w
1— t
que l'on identifie au fibre canonique sur P 1 par la projection stéréographique:
Questions d'orientation: comment décider ce ±1?
La première observation est que l'espace vectoriel réel des formes hermitiennes et celui des formes hermitiennes de trace nulle sur une espace vectoriel
complexe E sont canoniquement orientés: en effet, l'ensemble des bases de E est
connexe et donc tout choix fait dans une base se propage aux autres par continuité;
on peut donc choisir si dim(E) = 2 la base ej = -A^o, e2 = ^o,i? e3 = ^o,iCela montre que la variété W2 es transversalement orientée. Son intersection
avec une variété Z transverse orientée a donc un signe bien déterminé. C'est lui
qui décide des classes de Chern de £+ et £_.
[AN]
[A-S-S-S]
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18
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Université de Grenoble I
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Laboratoire de Mathématiques
associé au CNRS
BP 74,F-38402-Saint Martin d'Hères Cedex
tél:(33) 76 51 49 65; e-mail:[email protected]