Opérateur de Schrödinger avec champ magnétique

Séminaire de Théorie
spectrale et géométrie
YVES COLIN DE VERDIÈRE
NABILA TORKI
Opérateur de Schrödinger avec champ magnétique
Séminaire de Théorie spectrale et géométrie, tome 11 (1992-1993), p. 9-18.
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Séminaire de théorie spectrale et géométrie
GRENOBLE
1992-1993 (9-18)
OPÉRATEUR DE SCHRÖDINGER AVEC CHAMP MAGNETIQUE
Yves COLIN DE VERDERE et Nabila TORKI
Le but de ce texte est d'une part de présenter l'opérateur de Schrödinger
avec champ magnétique sur les surfaces, d'autre part d'appliquer les méthodes
déjà utilisées dans le cas sans champ magnétique ([CV1],[CV2],[CV3]) au cas avec
champ magnétique.
Les résultats nouveaux sont:
1) l'absence de majoration purement topologique de la multiplicité des
valeurs propres: la multiplicité du fondamental peut être arbitrairement grande
même pour le fibre trivial sur S2 (résultat obtenu dans [TO]);
2) Vétude des invariants topologiques attachés aux bandes pour un petit
potentiel électrique périodique tel que le flux du champ magnétique dans un
domaine fondamental est 2?rxentier (effet Hall), voir [N0],[T-K-N2]. L'étude est
présentée de façon à éviter au maximum les calculs explicites, en particulier de
fonctions thêta ou d'intégrales de courbure, en utilisant la théorie des fibres en
droites complexes holomorphes sur les surfaces de Riemann et de leurs diviseurs
(voir par exemple [DE] ou [BO]).
1. Opérateur de Schrodinger avec champ magnétique sur les
surfaces.
1. Laplaciens.
On va considérer pour simplifier uniquement le cas des surfaces orientables,
qui est très important pour la physique du solide (effet Hall, voir [CO] chapitre 4).
Soit donc (X, g) une surface riemannienne orientée complète, on considère
sur X, un fibre en droites complexes C°°, L muni d'une structure hermitienne (.|.)
et d'une connection V compatible avec cette structure.
C'est à dire:
pour toutes sections s, t.
On note B la courbure de cette connection, qui est la 2-forme à valeurs
réelles sur X définie par

10 Y. COLIN DE VERDIÈRE, N. TORKI
Cette connexion munit canoniquement le fibre L d'une structure de fibre
holomorphe: si la métrique g est localement de la forme g = e2lfi(dx2 + dy2), on
pose:Va/a. = l/2(Va/a, + iVd/dy) ;
II suffit maintenant de décréter holomorphes les sections s telles que ^a/dzs == 0- H
est facile de voir que cela fait de L un fibre holomorphe, pour la structure complexe
de X associée à la structure riemannienne. On peut du reste renverser la procédure:
un fibre holomorphe muni d'une métrique hermitienne est automatiquement muni
d'une connection hermitienne unique telle que les sections holomorphes s soient
celles qui vérifient Vzs = 0.
A ces strutures, on peut associer 2 laplaciens: l'opérateur de Schrödinger
avec champ magnétique HB et le laplacien complexe Ac-
HB est donné, dans les coordonnées locales conformes, par
HBs = -e-^{y%/dxs + V2d/dys) ,
formule qui généralise le laplacien usuel. Il est associé à la forme quadratique
gsis) = Jx \\Vs\\2vg sur l'espace de Hubert des sections qui vérifient Jx\s\2vg <
+oo.
Le laplacien complexe est donné par
il est associé à la forme quadratique
9c(s) = ƒ \Vd/dzs\2dxdy .
Jx
II y a entre ces 2 laplaciens la relation fondamentale:
HB = 4AC + B ,
où l'on a posé B = Bvg (vg étant la forme volume associée à l'orientation de -X").
En particulier si le champ magnétique B est constant > 0 ces deux
opérateurs ont des spectres faciles à comparer. La première valeur propre de HB
est B si le fibre L a des sections holomorphes de carré intégrable et ces sections
forment l'espace propre associé. On peut donc appliquer la théorie des fibres en
droites holomorphes sur les surfaces de Riemann à ce contexte.
2. Fibres en droites complexes.
Il y a 2 classifications importantes de ces fibres:
1) la classification topologique
donnée par la classe de Chern C\(L) € H2(X,Z), qu'on peut identifier
à un entier (appelé degré), grâce au générateur canonique de H2(X, Z), classe
fondamentale de X qui est orientée.

Operateur de Schrödinger avec champ magnétique 11
Cette classe de Chern peut être définie et calculée de différentes façons:
a) Comme classe caractéristique:
si L est l'image réciproque du fibre en droites canonique C sur le projectif
complexe de dimension N par une application ƒ, sa classe de Chern est l'opposée
de l'image réciproque par ƒ du générateur canonique u de H2(PN,Z). On peut
la voir aussi comme l'opposé du nombre d'intersection de f(X) avec un hyperplan
deP".
b) Au moyen de la courbure A' d'une connection hermitienne sur L:
c) A partir du diviseur d'une section méromorphe d = £tn* < ai >:
2) La classification holomorphe:
Si s est une section méromorphe de X, elle admet un diviseur d(s) = $3 n* <
a, >, où les a, sont les zéros et les pôles de s et ni G Z leur ordre. On a alors:
2 sections méromorphes s et s' de L sont telles que d(sf) — d(s) est diviseur d'une
fonction méromorphe sur X. On connaît, pour chaque X ces diviseurs:
si X est la sphère, tout diviseur de degré 0 est diviseur d'une fonction
méromorphe, i.e. une fraction rationnelle.
Si X = C/F , les diviseurs de fonctions méromorphes sont ceux qui
vérifient, si d = Y^ni < a* >» 5Zn*a« = 0 niod F.
L'élément ]£n*a* vu comme élément de C/T est donc indépendant de
la section méromorphe s du fibre L holomorphe donné: en fait cette application
L —• ^2 riiüi est un isomorphisme de l'ensemble des classes de fibres holomorphes
de degré donné sur C/T . Par exemple, les fibres de degré 0 sont paramétrés par
des diviseurs <x> — <0>,xeC/r.Ils admettent une connection plate,
mais n'admettent de section globalement constante que si c'est le fibre trivial. On
peut aussi les identifier à la donnée d'un caractère de F = ?r1(JY'), Tholonomie du
fibre: c'est sous cette forme qu'il intervienne dans la décomposition de Bloch d'un
opérateur de Schrödinger périodique.
Les diviseurs sont utilisés par [L-V] pour repérer un point dans l'espace
projectif de l'espace des sections holomorphes d'un fibre en droites. La dynamique
quantique est alors lue sur la mobilité du diviseur (voir aussi [CV5]).
2. Cas de la sphère.
Dans ce cas (quitte à choisir l'orientation pour avoir des sections holomor-
phes), on peut supposer que le degré de L est un entier n > 0. Il n' y a alors,
la métrique g étant donnée, qu'un champ B constant possible qui est donné par

12 Y. COLIN DE VERDIÈRE, N. TORKI
ƒv B = 27rn. La connection hennitienne est alors unique à isomorphisme près
(changement de jauge).
La dimension de l'espace propre associé à la plus petite valeur propre
est n + 1 d'après Riemann-Roch, et une section holomorphe est caractérisée à
homothétie près par son diviseur, ensemble des n points sur S2 où elle s'annule
(avec multiplicité). On peut en particulier prescrire le polynôme de Taylor à l'ordre
n en un point p fixé et on a ainsi un isomorphisme de l'espace propre Eg avec
l'espace des polynômes complexes de degré < n.
On va maintenant étudier des perturbations de HB par un petit potentiel
électrique, c'est-à-dire étudier des opérateurs
où V 6 C°°(S2,R) est petit.
Il y a dans ce contexte une notion naturelle de stabilité, analogue à celle
développée dans [CV1], d'après les idées d'Arnold:
DÉFINITION. — La valeur propre Ào de multiplicité m de HB est stable
(sous-entendu relativement aux perturbations par des potentiels scalaires) si
Vapplication
C:6V-+ f 6V(.\.)vg ,
Jx
de J'espace tangent ToC°°(X) dans les formes hermitiennes Herm(.EA0), où E\o
est J'espace propre, est surjective.
Cette condition est une condition de transversalité en HB,Q entre la variété
des opérateurs HB,V (B fixé, V variable) et la variété des opérateurs ayant Ào
comme valeur propre isolée de multiplicité m.
THÉORÈME. — Pour un operateur de Schrödinger avec champ magnétique
constant sur une surface riemannienne compacte connexe orientée X, si B > 0
et que B est la valeur propre fondamentale (existence de sections holomorphes),
alors cette valeur propre est stable pour les perturbations par des petits potentiels
électriques.
Ce résultat est obtenu dans le cas où g est la métrique canonique sur S2
par une méthode différente dans la thèse de N. Torki [TO].
Preuve.
Soit p un point de X et n le degré du fibre. L'application T qui à s € E$
associe son polynôme de Taylor de degré n en p est injective (car une section
holomorphe ne peut avoir plus que n zéros avec multiplicité).
Soit F son image. L'application (T((^),T(^)) -» <p^ de Herm(F) dans
C°°(X) est visiblement injective. Cela montre par transposition la surjectivité
de l'application £. D