des groupes abéliens finis - ETH E

«LATTICES»
DES GROUPES
ABÉLIENS
FINIS
THESE
PRÉSENTÉE
A
L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE, ZURICH,
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE
DOCTEUR ES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
PAR
HUGO RIBEIRO
DE
LISBONNE
RAPPORTEUR: M. LE PROF. DR. P. BERNAYS
CORAPPORTEUR: M. LE PROF. DR. H. HOPF
19 4 9
ORELL
FÛSSLI
ARTS
GRAPHIQUES
ZURICH
S. A.
Extrait des
Commentarii Mathematici Helvetici
Vol.
XXIII, Faso.
1
problèmes que pose actuellement la théorie des lattices2)
problèmes de représentation. En particulier, les représenta¬
Un type de
est celui des
tions des lattices par des lattices de sous-groupes constituent une source
de questions3) intéressant non seulement la théorie générale des lattices
et la théorie des groupes, mais aussi la théorie des relations
d'équivalence,
sait que, non seulement chaque lattice de sous-groupes est iso¬
morphe à une lattice de répartitions mais aussi que chaque lattice de
car
on
répartitions
L'object
est
du
isomorphe
présent
à
une
travail est
lattice de
d'apporter
sous-groupes4).
une
contribution à de telles
recherches par l'étude systématique des lattices de sous-groupes des
groupes abéliens finis. Nous nous demandons donc tout d'abord, quelles
qui peuvent être réalisées par tous les sous-groupes d'un
fini, les opérations de lattice étant la formation de l'inter¬
section (meet) et la formation du groupe-réunion (join). Nous dirons
toujours „lattice du groupe 0" pour désigner la lattice de tous les soussont les lattices
groupe abélien
groupes de G.
problème à l'étude des lattices
primaires (§1), et, ensuite, à analyser, parmi elles,
les lattices dans lesquelles chaque élément a un complément,
appellerons, suivant l'usage, „lattices complémentées".
Notre méthode consistera à réduire le
des composantes
tout d'abord
et que
nous
propriété très étudiée des lattices des groupes abéliens a été dé¬
couverte déjà par Dedekind5). Il s'agit de la loi modulaire, qui a le
Une
caractère d'une loi distributive affaiblie. Nous travaillerons presque tou-
J)
Boursier à Zurich de l'Instituto para
2)
Nous
3)
Ces
employons partout le
problèmes
American Math.
lecteur
4)
v.
quant
G.
sont
mot
déjà suggérés
a
Alta Cultura, Lisboa.
anglais „lattices"
dans
l'ouvrage
Soc. Coll. Publ. Vol. 25, New York
aux
Birkhoff,
au
lieu de
de G.
Birkhoff,
1940, auquel
..structures".
Lattice
nous
Theory,
renvoyons le
résultats et notions utilisés dans notre travail.
On the structure ofabstract
algebra, Proe. Cambridge Phil. Soc.
31, 1935, p. 433—454.
5)
Gesammelte mathematische Werke, 2. Bd.,
Braunschweig 1931,
p. 115.
1
lattices modulaires et leurs propriétés
caractéristiques. Notre
précisément
principal objectif
que l'on doit exiger d'une
lattice modulaire finie pour qu'elle soit isomorphe à la lattice d'un groupe
abélien fini. Nous serons ainsi amenés à considérer parmi les lattices
finies une classe de lattices que nous appelons uniformes dont les lattices
jours avec
ces
de savoir
est
distributives forment
une
ce
sous-classe. Les seules lattices uniformes
de Boole et les
algèbres
plémentées
sieurs conséquences intéressant aussi
coulent, plus ou moins directement,
sont les
coni-
géométries projectives. Plu¬
générale des lattices dé¬
la théorie
analyse.
systématique
de notre
du problème
le
le
cas,
plus simple
posé
pour
que
et fondamental, des groupes abéliens finis. Cependant on connaît beau¬
coup de propriétés des lattices de groupes et lorsque nous avons eu la
possibilité d'en donner des applications nous l'avons fait remarquer. En
particulier nous croyons avoir reconnu, après la rédaction de notre travail,
qu'il serait possible d'obtenir, de cette façon, quelques-uns de nos résul¬
tats sur les lattices de produits directs. Dans cette direction on doit citer
Nous n'avons connaissance d'aucune étude
de
représentation
nous nous sommes
Ore, ,,On the foundation of abstract al-
travaux de 0.
ici, surtout, les
Annals of Math., vol. 36
(1935), 37 (1936) et Structures and
Duke Math. J., vol. 3 (1937), 4 (1938).
gebra",
group theory",
§ 1.
Lattices de
directs. Lattices de groupes
produits
cycliques.
1.
Ici nous ne supposons pas encore que les lattices considérées soient
modulaires ni que les groupes soient abéliens. Soit tout d'abord L une
lattice produit-join (plus simplement: ,,produit") de ses m>l sous-
Ll,L2,..,, Lm, donc chaque élément de L est le join de m élé¬
appartenant respectivement à L1,L2,..., Lm et cela d'une seule
façon. On peut, très facilement, démontrer que :
lattices
ments
1)
Lt,
toutes les
2)
L{,
i
Lt
i
1, 2,...,
=
=
1, 2,...,
sous-lattice de L pour
soient les éléments
3)
Si
a un
m,
infirnum
E, celui-ci
est
m,
un
laquelle Ht
idéal de L, c'est-à-dire que
X est un élément de Lt,
n
sont
des
suprema
de
G1^G2^.. .^Gm
E, r= 1,2,...,m.
»Gr_1vGr+1v...»GJ~Qr
on
a
G
L{ est
quels
une
que
et 1 de I.
Ht de Lt
0, 01, G2,..., Gm
respectivement,
=
=
2
est le même pour
et c'est aussi l'infimum de L.
et
L, L1,L2,..., Lm
aussi
(Gx
*->
G2
^...
Indiquons
brièvement les démonstrations
:
Ht un élément de L{. Il y a alors m éléments AX,A2,.. .,Am avec
1, 2,..., m) et tels que fij
4X ^^42 w.. .vJ^4i w.. .^^m.
At «Lt (j
Mais ^4j
Ax A2 >~\.. Ht <-\. .^ ^4m. Main¬
i/j- car on a aussi H{
tenant si pour ? ^é i on pouvait trouver .B, e Ls avec i?, <^4^ on aurait
Ht =A1^A2^... ^Hjy... y^Bj^... ^Am donc une autre décomposition de
Ht comme un join ce qui est impossible. A}, pour j ^= i, est par conséquent
l'infimum de Ls. En prenant Hk avec k =fi i on voit de même que L( a
un infimum. Soient
Ex^> E2^->.. .^ Em
Ex, E2,..., Em ces infima. E
E
est certainement l'infimum de L et cette égalité nous montre que E{
1 ) Soit
==
=
w
^
=
=
=
=
i
pour
1,2,...,
=
m.
2) Cela résulte de ce que
Htrs X avait des composantes
H{ aurait deux décompositions
sa propre composante d'indice
~...^Gm
De
ce
Ht
a
distinctes
i,
•
X)
/->
join
un
on
tire
donc
ZJ7,
Ht
;
^
si
i,
k ^
avec
X est donc
élément de
Lt.
Quant à la deuxième égalité, on
•w ®m)
®r est, en vertu de 2),
alors,
^
E
G1^02^.. .^Or_1^
donc
G1~G2~...~Gr_1~HT~Gr+^...~Gm,
qui précède
^
E, d'indices Je
comme
et il est ainsi
@r+iv-'a
(Ht
=
différentes de
est évidente.
3) La première égalité
voit que (ff^ff^...^ Gr_x w
un élément Hr de Lr, et l'on
=
l'on
immédiatement,
en
utilisant
^->0r+1^>
#r
une
=
£.
définition
produit direct de sous-groupes, que : Si la lattice
L d'un groupe G est un produit de m sous-lattices L1,L2)...,Lm dont les
éléments suprema GX,G2,..., Gm, sont invariants dans G, alors G est le
1,2,..., m).
produit direct de GltG2,.. .,Gm, et Lt est la lattice deGt («
Lorsqu'on cherche une réciproque de cette proposition on trouve le
bien
connue
du groupe
=
théorème
:
Gx, G2,..., Gm et si L, Lx,
L2,..., Lm sont les lattices respectives, alors tous les joins, dans L, de m
éléments appartenant respectivement à Lx, L2,..., Lm constituent une
sous-lattice L', de L (qui est le produit de Lx, L2,..., Lm).
Si G est le
produit
Démonstration.
^...^Km
direct de
Soient
H{e L{
avec
m
H
et
sous-groupes
Hx^< H2
K{e Li, i
=
Il est tout d'abord évident que H
(i?2
<->
Hm
1, 2,...,
K est aussi
Il
un
et
m
tel
K
=
Kx<~> K2*->
deux tels
join,
car
H
<->
joins.
K
=
suffira de démontrer
Km).
(i^^ Kx) (H2r^ K2) ^.. .^ (Hm^ Km)>
Or, la relation (Hx~ Kx)
(H2r> K2) ^...w (Hm~ KJ <H^K est
B.
évidente.
Pour montrer que
K < {Hx^ KJ
(H2rs K2) >->.. .^
(Hmr^ Km) nous allons vérifier que si g est un élément du groupe H^ K,
^
Kx)
*->
«->...
=
v->
[H2
^
K2)
que l'on a, de même,
^.. .w
(Hm
Hrs K
^
nous
^
=
«
^
w
3
la
représentation (univoque) de
g
comme un
produit d'éléments gteOi,
1, 2,..., m, est telle que g{ e H{
Kt. Nous montrons que si
alors
eH
ferait
et
on
de
même
giHi\
g
pour K et K{. Il suffit de
deux
l'un
éléments
de Hi, l'autre de Hâ (i, j= 1, 2,..., m),
remarquer que
i
<^
—
î ^é
j, étant toujours permutables, g e H^^ H2^>.. .^ Hm a une repré¬
comme produit de m éléments, de Hx, H2,..., Hm
respectivement, et cette représentation ne peut être autre que la représentation cidessus ; donc gt e H{. On voit par là que Ht est déjà déterminé par H :
c'est le groupe des éléments de (?, figurant dans la représentation d'un
Hr> G( (sous-groupe in¬
élément, au moins, de H6). On a donc Ht
variant dans H), et ces produits directs H
X Hm consti¬
Hx X H2 X
tuent, en effet, la lattice L' produit des lattices Lx, L2,..., Lm. Le
sentation
=
=
•
•
•
théorème est ainsi démontré.
2.
Si l'on veut
cette étude des
poursuivre
produits de lattices de
quels sont les cas
groupes il est naturel de se demander, tout d'abord,
où L'est égale k L. A défaut de toute autre indication
on supposera dans
la suite que les groupes pris en considération sont toujours finis. Le
théorème précédent peut alors être complété de la façon suivante :
Si G est le
produit direct de m sous-groupes G1 ,G2,... ,Gm, la lattice L de
produit des lattices Lx,L2,...,Lm, respectivement de G1,G2,. -,Gm,
seulement si, les ordres de deux quelconques des groupes G1,G2,.. .,Gm
G est le
si,
et
sont
•
premiers
entre
Il
Démonstration.
(Hr^ Gj)
<->
eux.
{H<~> G2)
suffit, maintenant, de
nous
{H
v-/.. .^
<->
sont
premiers
entre
eux.
dition est suffisante
:
i
IIocj
=
1, 2,...,
j ^i,
entre
on
eux
vrai pour
Si
m.
aura
>'
g
donc g{ est
chaque
Soient
=
quelconques
Montrons,
g(
un
'
tout
g eH
est le
et
produit
;
IltXj
des groupes
d'abord, que
H
=
g
=
gx• g2
gm
...
des ordres <%3- des
et l'ordre <xt
de
on
en
G1,G2,.. .,Gm
cette dernière
m
avec
—
con¬
g^eG^
IG{,
avec
G(
élément de H et aussi de H
élément g de H,
a
pour chaque élément H de L si, et
Gm)
seulement si, les ordres de deux
vérifier que l'on
conclut que
sont premiers
Gt. Cela étant
H
(H GJ
r.
=
<->
^
e) Pour cette remarque ainsi que pour les questions qui nous occupent dans cette
section et la suivante voir O. Birkhoff, Lattice theory, 1940, p. 52.
')
V.
Remak, Ûber die Darstellung der endlichen Gruppen als Untergruppen
direkter Produkte, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd. 163, p. 7,
1930. Dans ce travail on déduit, sous les mêmes hypothèses, tout en utilisant un théorème
de
4
Klein-Friche, que H
est le
produit
direct de sous-groupes
de01,02,.. .,Om.
'
Pour voir que la condition est nécessaire, remarquons que, si le nombre
premier p ^ 1 divise les ordres de Gt et Gs, i 9^ j, il y a au moins
deux groupes At et Ait chacun d'ordre p (engendrés respectivement par
des éléments a{ et a5 de G), qui sont des sous-groupes respectivement de
Gx ^G2
et de
G(
tiendra
un
H n'étant pas
un
ni de
groupe,
^..
.^G^ ^Gi+1
^..
Le
.^>Gm.
produit AfXAj
troisième groupe H du même ordre p (engendré par
E,
H<^Gi
H ^ (H>-\ Gj)
=
join
Gx ^G2
ni de
(?,.
^..
pas être
pouvant
.^(?j_i ^Gi+1 «.. .^Gm,
d'autres groupes et
ne
con¬
a(
a,).
un sous-
vérifiera
i
l,2,...,m. L possède donc un élément H tel que
v
(H^ G2) w... ^ (Hr^ Gm), ce qu'il fallait démontrer.
=
Rappelons ici qu'on appelle „irréductible"
un produit, et qu'aucune lattice ne peut être
produit de lattices irréductibles.
qui n'est pas
façons différentes
toute lattice
de deux
groupe abélien et G1,G2,.. .,Gm ses composantes
primaires, c'est-à-dire les m sous-groupes de G formés par les éléments
dont l'ordre est une puissance d'un même nombre premier diviseur de
Soient, enfin, G
un
l'ordre de G. G étant
maires
I.
on
toujours le produit
a
ses
composantes pri¬
:
fini est le produit des lattices de ses com¬
toujours irréductibles, et, par conséquent,
la lattice donnée comme un produit il y a
La lattice d'un groupe abélien
posantes primaires. Celles-ci
dans toute autre
au
direct de
le corollaire suivant du dernier théorème
moins
facteur
un
sont
représentation
de
réductible.
permet de limiter notre étude à celle des groupes
abéliens finis dont l'ordre est une puissance d'un nombre premier. La
Ce théorème
question
nous
nous
de réductibilité
devrons trouver
L'examen direct,
groupes
que
cycliques8)
ne se
un
nous
nous
posant plus pour les lattices de
nouveau
point de
vue
allons maintenant
ces
dans notre
groupes
analyse.
faire, des lattices des
une applica¬
permettra
saisir le
mieux
mais
aussi
de
précédents
non
seulement de faire
tion immédiate des résultats
caractère de notre
3.
Nous
ne
problème.
considérons dans la suite que des groupes abéliens, sauf
mention expresse du contraire.
Il est évident que la lattice d'un groupe cyclique d'ordre p8 est, quel
que soit le nombre premier p, une chaîne, c'est-à-dire un ensemble or8) Rappelons
lequel les seuls groupes finis
V. Structures and group theory,
dès maintenant le théorème dû à Ore selon
dont la lattice est distributive sont les groupes
II, Duke Math. J. 4 (1938), p. 267—268.
cycliques.
5
donné,
et que de tels groupes
cycliques sont les seuls groupes
chaîne à ô dimensions. Cette remarque
théorème I, de dire :
est
une
La lattice d'un groupe
cyclique fini
nous
dont la lattice
permet, d'après le
est le
produit de m chaînes; celles-ci
respectivement ô1, ô2,
àm dimensions si p\x-pl%p^1 est la
décomposition en facteurs premiers de l'ordre n du groupe.
ont
•
Mais
aussi
on a
:
•
pI*
•
•
rents. En
ordres
•
•
•
P%P
effet, G
Pi
>
•
•,
•
Si la lattice d'un groupe
chaînes à dimensions
Pi1
•
ôlt ô2)..
P2
>
est le
>
•
•
'
donc
G est le
produit de m
ôm respectivement,
cyclique d'ordre
des
étant
nombres
Pm
premiers tous diffé¬
G est
.,
produit
de ceux-ci sont
(abélien)
direct des suprema des
m
chaînes et les
des nombres
premiers entre eux. Mais,
chaque chaîne étant la lattice d'un groupe cyclique dont l'ordre est la
puissance d'un nombre premier d'exposant égal à la dimension, G est le
produit direct des groupes cycliques d'ordres pfl, pi2,..., pff1, avec
1, 2,..., m). Or, comme on sait, un tel groupe
pf ijéz pi si i ^ j (i, j
est cyclique d'ordre n
p\l pi2
p^1.
=
=
Nous faisons
d'ordre
est le
n
•
•
...
•
1) la lattice d'un groupe cyclique
remarquer que
celle
est isomorphe à
des diviseurs de n ; 2) chaque lattice qui
produit
encore
de
m
:
chaînes de dimensions
ô1, ô2,..., ôm
est
isomorphe
à la lattice du groupe cyclique d'ordre n^pf1 p2!
p^j», p1, p2,..., pm
étant des nombres premiers tous différents, d'ailleurs quelconques.
•
•
•
...
Nous voulons étudier de
plus près
les lattices produits de chaînes
produit de m chaînes Lx, L%,..., Lm de
dimensions respectives ô1} <52)..., <5m; et soient A"*, A^,... les élé¬
ments de dimensions oc{, /?,-,...
de la chaîne Lt (0 < <xt, /?,,... < ô(,
i
L
donc
aura
1,2,..., m).
(ô1 + 1)(<52 -f- 1).. .(ôm -f- 1) éléments
et la dimension
f- ôm ; et l'on a A^ ^A%* ^.. .^A%» <
ô1 + ôz-]
A{x A\* ^...^ A^ si, et seulement si, oc{ < fa pour chaque i. La loi
finies.
Supposons
une
lattice L
=
^
distributive
est vérifiée dans L et elle se traduit
par
l'égalité numérique
max [min («,- ,fa), min (<*,-, y{)].
Pour qu'un élé¬
(fa, y{)]
ment A^
L
de
ait
^..
un
A^*
.^A^1
complément Af1 ^A^^.. .^ A^1
(lequel est alors unique, car L est distributive) il faut et il suffît que, pour
tout i, max («,-, fa)
ô{ et min (<%,-, fa)
0, c'est-à-dire que les seuls
éléments possédant un complément, sont ceux pour lesquels on a
0
«,
ou
1, 2,..., m. Ainsi, il y a dans L exactement 2m éléments
ôf, i
complémentés : ils forment une algèbre de Boole, ayant m atomes, c'estmin
[tXi,
max
=
^
=
=
=
=
à-dire
core
6
=
m
éléments suivant immédiatement l'infiraum.
que les éléments suivant immédiatement
un
Remarquons
en¬
élément donné de L
et d'une
augmentant d'une unité l'indice supérieur d'une,
nombre
le
Ainsi
m.
au
donc
il
a
en
plus
y
seule, des composantes A**,
L
ne
de
élément
un
dépasse pas
des éléments suivant immédiatement
s'obtiennent
en
celui des atomes de
l'algèbre
de Boole des éléments
complémentés
de L.
de faire
L'intérêt des observations presque évidentes que nous venons
les lattices
nous permettent de caractériser
réside dans le fait
sont le
qu'elles
de chaînes finies. Ainsi,
produit
schéma
au
qui
géométrique (dans
chaînes considérées) on
l'espace à m dimensions, m étant le nombre des
caractérisation
algébrique dans
peut faire correspondre une très simple
le cadre des lattices. Nous démontrons
:
il faut et il suffit
qu'une lattice finie L soit un produit de chaînes
suivi par
immédiatement
soit
ne
élément
et
qu'aucun
qu'elle soit distributive
de
des
atomes
celui
l'algèbre de Boole
des éléments dont le nombre dépasse
V suit
des éléments complémentés de L. (Si l'on remarque qu'un élément
Pour
immédiatement
U
système
élément U dans
un
X, V
U .->
=
=
V
>->
X
une
a
lattice L
si,
et seulement
si, le
exactement deux solutions X dans
théorème
condition du
peut exprimer algébriquement la dernière
V
des
nombre
le
pour lesquels le système
disant que, quel que soit U,
deux
solutions, est au plus celui
U
X, F=F^I a exactement
L,
on
en
U
=
n
des atomes de
l'algèbre
Après
Démonstration.
complémentés).
de Boole des éléments
ce
qui
a
été dit ci-dessus il
nous
suffira main¬
tenant de montrer que, si L est finie et vérifie les conditions énoncées,
de chaînes. Soient (r^Oa,.. .,Gm les atomes de l'al¬
L est un
produit
gèbre
un
de Boole des éléments
élément
de
complémentés
L, G le supremum
à
de L. Du fait que G appartient
propriété distributive, il résulte que H
quelconque
Boole et de la
et H
l'algèbre
=
#<->(?
de
=
(H~ G,) (Hr* G2) »...» (H~ Gm). Donc, L,,
(G^G2 w.. .sjGJ
de L formés des éléments qui précèdent ou
les
idéaux
étant
L%,..., Lm
égalent respectivement GltGt,.. .,Gm, nous pouvons dire que chaque
élément H de L est, d'une seule façon, le join de m éléments appartenant
L est le pro¬
respectivement à L1,Li,..., Lm et nous en concluons que
duit de ces m sous-lattices. Mais, d'autre part, il est facile de voir que
chacune des lattices L{ (i
1, 2,..., m) est une chaîne : en effet, Ht
H~
-
=
=
étant
un
élément
quelconque
suivant immédiatement
H i dans
Lt
et
appartenant
nière
une
hypothèse
atome et
L(
sur
les
L,
et L étant
ceux
on
t
;
en
qui
modulaire, les éléments
suivent immédiatement
Ht avec un atome de L
tenant compte de notre der¬
différents
joins (tous
lattice Lf où j =£
encore
à
H,•
de
dans L sont
!)
de
voit tout d'abord que
chaque Lt
a
un
seul
ensuite, que le nombre des éléments suivant immédiatement Ht
7
dans
L(
dépasse
ne
chaîne,
une
Ce
sera
pas
m
—
(m
—
et notre théorème est
seulement
plus
loin que
1). Chacune des lattices Lt
est donc
démontré9).
nous
occuperons d'autres pro¬
nous
priétés des lattices de groupes cycliques lorsque nous chercherons à les
rapprocher des lattices de composantes primaires. Soulignons cependant,
ici encore,
qu'un produit
que les deux
propriétés
de chaînes est
au
moyen
toujours
desquelles
il
une
lattice autoduale et
peut être défini
sont in¬
dépendantes.
§ 2.
1.
Lattices complémentées. Lattices de composantes primaires.
Revenons à la fin du
2, § 1,
l'analyse générale que
question de cons¬
truire des lattices réductibles de groupes au
de
sous-lattices qui
moyen
n'étaient plus réductibles. Maintenant il s'agira de
comprendre com¬
ment, dans ces lattices irréductibles, les éléments qui ne sont plus des
joins d'autres engendrent leurs joins, donc de savoir de quelle manière
avions
nous
no.
développée jusque
et reprenons
là. Tout d'abord il fut
les sous-groupes d'un groupe abélien d'ordre
premier sont formés à partir des sous-groupes
puissance d'un
nombre
cycliques qu'ils
contien¬
nent.
Pour étudier
lattices des composantes primaires les plus générales,
d'envisager tout d'abord celles des groupes abéliens élémen¬
taires (c'est-à-dire les groupes pour lesquels tous les
sous-groupes cycliques
ces
il est naturel
à
l'exception
du groupe identité ont
part, parce que, pour toutes
de
spécialiser
des résultats bien
lattices interviennent, de
Nous
ces
un
même ordre
lattices et leurs
connus
façon
envisagerons toujours, dans
premier). Cela, d'une
produits il nous suffira
; et d'autre
décisive, dans
part
l'analyse
parce que telles
du cas général.
la
suite, des lattices finies, et nous
commencerons par la
remarque suivante : Dans chaque lattice modulaire
finie L les éléments qui sont des joins d'atomes constituent, avec l'infimum,
un
idéal (principal) L*deL. Si L est le
alors L* est le
produit de
produit des idéaux L* L*
m
lattices Lx, L2,..., Lm
L*
respectivement de Lx,
Lm ; par conséquent, si L* est irréductible L l'est aussi. En effet,
rappelons que si le supremum O* d'une lattice modulaire finie L* est
un join d'atomes, chaque élément de L*, l'infimum
excepté, est aussi
un join d'atomes.
Maintenant, soient O* le join de tous les atomes
L/%,
') Nous avons pu
de Th. Skolem où les
rentes de
utgitt
8
,
,...,
,
av
connaître, grâce à l'amabilité de M. le Prof. P. Bernays, une étude
produits de chaînes sont aussi caractérisés de plusieurs façons diffé¬
la nôtre. Voir „Ûber gewisse ,Verbânde' oder ,Lattices'
", Avhandlinger
Det Norske Videnskaps-Akademi, Oslo, I. Mat.-Naturv.
Klasse, 1936, Nr. 7.
engendré
de notre lattice L, et L* l'idéal
G*, c'est-à-dire la
par
lattice de L formée de tous les éléments X pour
Alors,
L,
de
non
car
G*
sous=
X.
chaque join
élément de
il est
un
atome de L
l'énoncé il suffit de remarquer que
chaque
seule lattice
et y est
i
L{,
1, 2,...,
=
m
appartient
à
une
atome.
un
lattices des groupes abéliens
L est la lattice d'un groupe abélien fini nous appellerons
précédent s'applique
La remarque
finis ';
<-.
d'atomes de L appartient à L*, mais
L*, qui n'est pas l'infimum est un join d'atomes
join d'atomes de L*. Quant à la deuxième partie de
seulement
chaque
aussi
lesquels
X
lorsque
„noyau"
l'idéal L* le
de L. Nous
aux
les
soulignons
Les noyaux sont les lattices des groupes abéliens
ont des ordres
non
conséquences
finis
suivantes
:
dont tous les éléments
divisibles par des carrés. Car les atomes d'une lattice L
de groupe abélien fini G sont les sous-groupes cycliques d'ordre premier de
G. G* contient donc précisément les éléments de G dont l'ordre n'est pas
divisible par
un
carré,
est, évidemment, la lattice de G*.
et L*
Le noyau de la lattice L d'un groupe G est le
lattices des composantes
primaires
produit
des noyaux des
de G.
Les noyaux irréductibles sont les lattices des groupes abéliens élémen¬
taires, l'irréductibilité du noyau de L étant équivalente à celle de L.
Les noyaux sont les seules lattices de groupes abéliens finis qui sont comCar l'existence d'un complément pour chaque élément et le
plémentées.
fait que
chaque élément est un join d'atomes constituent, comme l'on sait,
équivalentes dans toute lattice modulaire finie.
des conditions
Le théorème
général
sur
la
représentation
chaque lattice modulaire
produit de lattices irréduc¬
de
à dimension finie
comme un
complémentée
tibles10), nous permet maintenant de dire qu'un noyau L* est, et cela
d'une seule façon, un produit de géométries projectives. Et il résulte de
ce qui précède que ces géométries projectives sont précisément les lat¬
tices des composantes primaires du groupe G*, dont la lattice est L* ;
donc elles sont des lattices de groupes abéliens élémentaires. Si l'ordre
de G*
m
a
la
décomposition p"1 P22
•
géométries projectives
maire d'ordre
tée)
sion «,-
sur
10)
G.
•
•
•
,
Pmm
L*
en
,...,
facteurs
L*
.
La
des éléments d'ordre p{
forment, évidemment,
le corps
sous-groupes. La
•
facteurs L*
pf' n'ayant que
leurs éléments
•
un
n
il y
a
premiers
composante pri¬
(l'identité excep¬
espace vectoriel de dimen¬
d'ordre p(, les sous-espaces s'identifiant
premier
géométrie projective L* est, alors,
la
aux
géométrie projec-
Birkhoff, Combinatorial relations in projective géométries, Annals of
Math. vol. 36, 1935, p. 743.
9
tive
le corps d'ordre pt et de a,- dimensions, selon le point de vue
ici de la théorie des lattices. On peut, donc, énoncer le corollaire
sur
adopté
suivant du théorème
Une lattice est
projectives
sions des
n
—
un
général
:
si, elle est le produit de géométries
premiers, ceux-ci étant différents lorsque les dimen¬
noyau
des corps
sur
cité ci-dessus
si,
et seulement
géométries projectives auxquelles ils
Vi1' P22
•
•
•
•
•
se
rapportent
es* l'ordre d'un groupe dont
Pmm
sont
la lattice est
> 1.
un
Si
noyau,
il y a m géométries projectives facteurs, de dimensions <xt (i
1, 2,..., m),
les corps étant respectivement d'ordres p( toutes les fois que a,- > 1.
=
Deux noyaux sont
isomorphes si, et
seulement si, les
décompositions en
facteurs
premiers des ordres des groupes dont ils sont les lattices ne diffè¬
rent au plus que par les facteurs ayant l'exposant 1. Par conséquent, pour
qu'un produit direct de groupes abéliens élémentaires soit bien déterminé par
sa lattice il faut et il suffit que les ordres des groupes facteurs ne soient
pas des
nombres premiers.
ici que les lattices modulaires finies pour
Remarquons
supremum est
peuvent
quelles
se
un
définir
join d'atomes
comme
l'infimum est
un
sont autoduales
et, par
lesquelles le
conséquent,
étant les lattices modulaires finies pour les¬
meet d'éléments
précédant immédiatement
le
effet, les lattices modulaires finies pour lesquelles le supre¬
join d'atomes sont complémentées, donc elles sont le produit
supremum. En
mum
de
est
un
géométries projectives,
chaque produit
remarque plus
évidemment
autoduales ; et,
d'autre
part,
de lattices autoduales est autodual. Nous utiliserons cette
tard. En
particulier,
les noyaux sont des lattices auto¬
duales.
2.
tés
Dans cette section
simples qui
nous indiquons tout d'abord quelques proprié¬
conséquences du théorème général de décompo¬
modulaires complémentées à dimensions finies. Ces pro¬
sont des
sition de lattices
priétés définissent les
algèbres de Boole) et
jectives sur des
priété générale
noyaux des lattices de groupes cycliques (donc des
les noyaux irréductibles (donc les géométries pro¬
corps d'ordre
premier).
Cela
des lattices de composantes
nous
amènera à
primaires
et
une pro¬
des lattices
distributives.
Nous supposons les lattices finies, bien que cela
nécessaire. Les
algèbres
de Boole et les
soit pas
toujours
géométries projectives jouissent,
ne
sait, de la propriété que deux sous-lattices „convexes", ou
„quotients" (c'est-à-dire des sous-lattices L' telles que si A, B e V et
A < X < B alors X e L'), y sont isomorphes si elles ont les mêmes dimencomme
10
l'on
décomposition des lattices modulaires commodulaire compléplémentées nous montre, d'autre part, qu'une lattice
mentée L qui n'est pas une algèbre de Boole ni une géométrie projective ne
de géojouit pas de la propriété ci-dessus11) : car elle est, alors, un produit
sions. Le théorème
métries
qui
ne
général
de
sont pas toutes de dimension
1, donc il y
a
des sous-lattices
dimension 2, qui ne sont pas
convexes de L, et même de telles sous-lattices de
lattices
isomorphes. Ainsi, la propriété que nous considérons est, pour les
complémentées, presque équivalente à celle de l'irréductibi¬
étant les
non irréductibles possédant cette propriété
lattice
mo¬
De
éléments.
2
de
à
Boole
qu'une
de
plus, pour
plus
algèbres
l'isosuffit
il
telle
d'une
déjà
que
propriété,
dulaire complémentée jouisse
modulaires
lité, les seules lattices
ait lieu pour les sous-lattices convexes à 2 dimensions ; mais
cela est aussi valable pour une classe beaucoup plus étendue de lattices
morphisme
précisément : L étant une lattice modulaire, L' et L"
sous-lattices de L, complémentées, convexes et de mêmes dimen¬
modulaires. Plus
deux
complémentées, convexes et à 2 dimen¬
sions de L sont isomorphes,
qui sont des sous-lattices de L'
JJ
est une algèbre de Boole ou
sont aussi isomorphes entre elles, donc
L". Maintenant, si l'on écarte le
une géométrie projective. De même pour
ne sont pas sur
cas des géométries projectives (à trois dimensions) qui
des corps, l'isomorphisme supposé dans L et le fait que L'et L" ont même
sions, si toutes les sous-lattices
alors celles
et L".
l'isomorphisme de L'
conduits, de cette façon, à
dimension entraînent
Nous
sommes
nombre des éléments des sous-lattices
lattices
qui
qui
est
modulaires,
une
nous
„non
géométrie projective
occupent
étant
convexes
exceptionnelles",
l'est
fixer notre attention
où toute sous-lattice
sur un
convexe
D'ailleurs, les lattices
corps.
toujours modulaires
le
sur
de dimension 2 dans les
mais pas
toujours distribu-
tives, il était naturel d'avoir le souci de chercher une propriété convenable
des lattices modulaires impliquée par la distributivité, et de partir, pour
cela, de la caractérisation des lattices modulaires
lattices convexes de dimension 212).
Nous posons la définition
Une lattice modulaire,
et seulement si,
quels
non
se
rapportant
aux sous-
:
exceptionnelle,
que soient
L est
A, B,C eL,
appelée „uniforme-u" si,
avec
dim B
—
dim A
2
=
L est aussi
ll) Chaque sous-lattice convexe, L', d'une lattice modulaire complémentée
l'infimum et le supremum de L', XeL' et
B
sont
et
si
A
respectivement
complémentée:
A est, comme l'on sait, un complément
X' est complément de X dans L, alors (X' r\ B)
AeL', donc cet élément
de X relatif à A et B. Mais, L' étant convexe, on a (X' <~> B)
»->
w
complément de X dans L'.
éléments
1J) On sait qu'une telle caractérisation peut être ainsi formulée: si deux
suivent immédiatement leur meet ils précèdent immédiatement leur join, et dualement.
est
un
11
A ^ G ^ B
et
le
A
système
Cr, X,
=
B
C
=
^
X a,
ou
0,
ou u
solu¬
tions. Ceci veut dire que toute sous-lattice de L complémentée, convexe,
de dimension 2 a u + 3 éléments. On dit simplement
que L est uniforme
lorsqu'on ne veut pas spécialiser le nombre u. Pour désigner une lattice
uniforme-w
écrira
on
L(u).
On peut maintenant énoncer et
cédents
préciser quelques-uns des résultats pré¬
:
Une lattice
modulaire,
exceptionnelle, est uniforme si, et seulement si,
complémentées, convexes et d'égale dimension sont iso¬
Les
de
Boole et les géométries projectives sur des corps sont
morphes.
algebres
les seules lattices uniformes complémentées (les unes déjà déterminées
par le
nombre des dimensions, et les autres par ce nombre et celui des „points sur
une droite"). Les algebres de Boole et les
noyaux irréductibles peuvent se dé¬
finir comme étant des lattices complémentées et uniformes-u, u étant un
toutes
ses
non
sous-lattices
nombre
indécomposable (égal
nombre
premier
s'il
s'agit
à 1 pour le
des
cas
d'une géométrie
algebres
de Boole et à
un
projective).
Nous
soulignerons plus tard le fait que les lattices de composantes
primaires sont toujours uniformes, les u étant des nombres indécom¬
1 lorsque la lattice est une chaîne, et seulement dans ce
posables (u
cas). Ici, nous nous bornons à analyser les lattices distributives en géné¬
ral, qui sont toutes, évidemment, des lattices uniformes-113). Donc, on
=
peut dire que la classe des lattices uniformes
modulaires contenant
Et
nous
comme
pouvons énoncer
Les lattices
uniformes-1
est
une
sous-classe des lattices
sous-classe propre celle des lattices distributives.
encore :
sont
précisément
Ceci résulte maintenant de la
les lattices distributives.
proposition
suivante
Une lattice modulaire L est distributive si toutes
ses
:
sous-lattices
convexes
à 2 dimensions sont distributives.
Démonstration.
L étant
une
distributives de L ont, toutes,
sous-lattice de L,
ayant
13)
<|Ç
A
ou
et
A <
^
<->
=
12
une
modulaire, les sous-lattices
dimension
(s'il y
> 1
en
non
a). Soit L'une
distributive et telle que toute sous-lattice de L
plus petite que celle de L'
soit distributive. Il y
a
démonstration directe: Si L est distributive et
A,BeL ou bien
C v-» X n'a aucune solution;
nï, B
B et, X1 et X2 étant des solutions, on a
B r\ Xt
(Cv X2) r> X2
X2
A
(A v-> X2)
(A w Xi)
Xj
{X1 ^ X2)
[(C ^ XJ w Xx] r,
une
alors, quel que soit
Xj) r,
[(C/~»X2)
X2]
donc Xj
X2.
=
non
dimension
En voici
B
bien
(C
une
lattice
G
e
L,
A
=
C
=
=
=
=
Xx
^
r.
=
X2,
donc
X2
^
<
Xx,
et
=
=
de même
on
verrait que
Xx
<
X2;
U<^W
donc, dans L', trois éléments, distincts, U, V, Wtels que U ^V
étant
A
B
et
=V^W=
U^W
A
U^V=
et
B,
respecti¬
Y~W
=
=
=
vement l'infimum et le supremum de
dim B
—
dim A
<
dim
L', contrairement
dessus et de la modularité il résulte
=
dim W
—
dim A
L',
=
.
à
car
autrement il viendrait
l'hypothèse.
dim U
—
dim A
==
Des
égalités
dim V
—
ci-
dim A
Si l'on avait dim2/ > 2, donc dim W
—
il y aurait un élément W, tel que A <W <W. La dimen¬
sion de la lattice L" des éléments X de L tels que A < X < W'^V est, évi¬
dim A > 1,
demment, plus petite que celle de L', donc L" est distributive. En tenant
compte des dimensions, on voit que V, (W'^V)r, JJ et [(W'^V)^ U]^W
(W'^V)^ U<[{W'^V)^ U]
(W'^V)r, B =W'^V, donc
la distributivité dans L" nous permet d'écrire non seulement V^ {[(W'^V)
A
V^[(W'^V)r, U] mais aussi V^{[(W'^V)~ U]^W'}
U]^W'}
V^W'=V^[(W'^V)r, U]. La sous-lattice de 5 éléments A, V, (W'^V)
U] W et V^> W ne serait pas modulaire, ce qui est
U, [(W'^V)
appartiennent
à
L",
r,W. D'autre part,
=
~
sont tous distincts et
on a
F-[(ïF-F)~ U]
=
=
=
v
<->
/->
absurde. Par
dim L'= 2.
une
conséquent,
on
ne
peut
pas avoir
dim
L'>2
et ainsi
Donc, si L n'est pas distributive il se trouve qu'il y a déjà
convexe de L ayant la dimension 2 qui n'est pas distri¬
sous-lattice
butive,
qu'il
ce
fallait démontrer.
Remarquons que le résultat démontré ci-dessus fournit, lorsqu'il est
appliqué aux lattices finies, une simplification effective du contrôle gra¬
phique fondé sur la lattice bien connue de 5 éléments, permettant de
distinguer les lattices modulaires non distributives14).
Le
3.
cas
général
des
composantes primaires
n'est pas aussi
simple
élément de la lattice
que celui des groupes abéliens élémentaires. Chaque
n'est pas, nécessairement, un join d'atomes, donc la lattice n'est plus une
lattice
Soit L
sont
complémentée. Rappelons,
une
appelés ,,irréductibles". Si
L est
une
chaîne,
et
d'abord, quelques définitions :
qui ne sont pas des joins d'autres,
tout
lattice. Les éléments de L
tous les éléments de L sont
réciproquement.
Un
,,cycle"15)
irréductibles,
de L est
un
élément
14) Après la rédaction de notre travail, nous avons remarqué que ce théorème est une
conséquence immédiate d'un énoncé de G. Birkhoff dans son mémoire: Applications of
lattice algebra, Proc. Cambridge Phil. Soc, vol. 30, 1934, p. 118, où cette simplification
n'est d'ailleurs pas expressément indiquée. Les deux démonstrations sont tout à fait
différentes.
15) Cette désignation (que nous empruntons à Eeinhold Baer: A unified theory of
projective spaces and finite abelian groups, Trans. Am. Math. Soc, vol. 52,
1942, p. 286) est commode, et se justifie lorsque L est la lattice d'un groupe. C'est parce que
nous discutons ici précisément ces lattices que nous l'utilisons à défaut d'une autre plus
adéquate.
13
irréductible différent de l'infimum et tel que tout élément qui le précède
est aussi irréductible. Chaque atome de L est un cycle ; chaque élément
différent de l'infimum et précédant un cycle est un cycle, „sous-cycle" du
premier. Si L est modulaire, une suite d'éléments de L, U1, U2,..., UM,
tous
différents de E,
dite
est
(U1^U2v...<->UT)^Ur+1
..indépendante" si,
E
pourtout
U1} U2,..., Um est
telle que Ux
U2 <--...«_> Um
—
r=
l'infimum de L. Une suite
est
indépendante et
mum
^
1, 2,..
une
=
et
.,m
seulement si,
1, .Ë7 étant
—
„base de L" si elle
G,
G étant le supre-
de L.
Soit maintenant G
produit
direct de
m
une
composante primaire que
groupes
cycliques
nous
supposerons
tous du même ordre pa. Dans la
lattice L de G
chaque élément irréductible qui n'est pas l'infimum est un
cycle (un sous-groupe cyclique de G) et chaque cycle „maximal" (qui
n'est pas suivi d'un autre cycle) a la dimension oc. D'autre
part, L est
une lattice uniforme-p,
p étant premier, et les dimensions des souslattices convexes et complémentées de L ne dépassent
pas la dimension
de la lattice engendrée par les atomes de L. (Remarquons, en
particulier,
que chacune des sous-lattices
morphe à la lattice d'un groupe
éléments selon
convexes
de dimension 2, de
quotient,
qu'il s'agit d'une chaîne ou
d'ordre p2,
L,
ayant donc
d'une lattice
3
est iso¬
ou
p+3
complémentée.)
L2 possédant les
Nous démontrons maintenant que deux lattices Lx et
propriétés qu'on vient de souligner dans la lattice L du groupe G sont néces¬
sairement isomorphes, et, par conséquent, que ces propriétés caractérisent à
moins d'un isomorphisme la lattice d'un groupe qui est le produit direct de
m groupes cycliques d'ordres p".
Pour arriver à établir l'isomorphisme liant Lt et L2 nous
partons de
l'isomorphisme, évident, des systèmes partiellement ordonnés formés des
éléments de dimension < 1, de Lx et L2, et nous montrons
qu'un isomor¬
des
phisme
systèmes partiellement ordonnés, formés respectivement des
éléments de Lt et L2 de dimension < y
1, peut être étendu aux élé¬
ments de dimension <y : en effet, comme les éléments irréductibles de
dimension > 0 sont toujours des cycles, chaque élément de dimension
y
qui n'est pas un cycle est un join de cycles et suit plus d'un élément de
dimension y
1. Soit Bx un tel élément de dimension
y dans Lx. Pre¬
nons tous les éléments de dimension
1 précédant Bx et leurs cor¬
y
respondants (par l'isomorphisme supposé) dans L2. Soit A1 le meet de
ces éléments de dimension
1 de Lx, et considérons la lattice L[ de
y
tous les éléments X tels
< X < Bx. Selon la
Ax
que
remarque faite à
la fin du no. 1, § 2, L[ est complémentée. Les
correspondants des atomes
de L't engendrent donc, dans L2 une lattice
ayant même nombre de di—
—
—
—
14
mensions
mension
(isomorphe
y)
sera
des éléments
le
non
établie ; et de
ces
à
L[)
de
correspondant
cycles de L2 de
correspondances
B1.
De
de di¬
(nécessairement
et dont le supremum
même,
correspondance
une
dimension y à ceux de Lx peut être
l'une est la réciproque de l'autre. Le
nombre des éléments de dimension y qui ne sont pas des cycles, dans Lx
et dans L2 est alors le même, et d'autre part, comme chaque élément
précédant Bx dans Lx est égal ou précède un tel élément de dimension
1, Pisomorphisme initial est ainsi étendu aux éléments de dimension
y
y qui ne sont pas des cycles.
Maintenant il nous reste à étendre cet isomorphisme aussi aux cycles
à dimension y. Pour cela nous partons de la correspondance biunivoque
1 de Lx et L2 établie par Pisomor¬
entre les cycles de dimension y
—
—
phisme supposé
entre les éléments de dimension
< y
—
Chaque cycle
1.
1
de dimension y suit immédiatement un seul cycle de dimension y
des
le
nombre
montrer
de
suffit
donc
Il
nous
et aucun autre élément.
que
1 est toujours
cycles de dimension y suivant un cycle de dimension y
—
—
ayant les propriétés que
le même dans les lattices
d'abord, il n'y
un
cycle
a aucun
à dimension y
cycle
nous
supposons. Tout
Si y <
à dimension y si y><x.
tx
et C est
1, considérons la sous-lattice, convexe, formée
G < X <D, où D est le join des éléments de
—
des éléments X tels que
dimension y suivant immédiatement G. La dimension de cette lattice,
et complémentée, ne dépasse pas m, donc, cette lattice étant
géométrie projective sur le corps d'ordre p (car la lattice totale que
nous considérons est uniforme-j)) le complément d'un atome est précédé
pm-i_i
atomes, au plus. D'autre part on voit qu'il y a précisément
par
convexe
une
—
y
pm-l_l
-—
avec
éléments suivant immédiatement
les atomes de la lattice totale.
(En effet,
étant des atomes différents entre
Aj
précède G,
et
rité, si
si et seulement si
et seulement si
c'est-à-dire
Cx
<
Ai
^
(y
de
Gx dans
la
et
qui
G
on a
sont des
A{
^
=
joins de G
C
^
Ait At
Cx qui
et différents de l'atome
(C <->Ai^Aj)
dim [(A{
1) + 2
=
—
donc, par la modula¬
Aj) G] est égal à y,
y,
^
^
Le nombre de tels éléments
A}.
vant immédiatement G est,
complément
eux
dim
—
C,
alors, égal à celui des
géométrie projective,
à
m
cycles sui¬
précédant le
non
atomes
dimensions
sur
le
corps d'ordre p, formée des atomes de notre lattice totale. Ce nombre est
1 dimensions sur le
celui des atomes d'une géométrie projective à m
—
corps d'ordre et p, et donc
au
égal,
à
moins suivant immédiatement
pm-i_i
—). En outre, s'il y
C, la sous-lattice
a un
convexe
cycle
complé15
mentée des éléments X tels que
nouvel atome de
plus
mier p à dimension
Nous
< m,
G < X < D
une
aura
aura,
ainsi,
géométrie projective
m
dimensions, donc
au
moins
un
le corps pre-
sur
pm—1
—
P— 1
atomes.
1 est suivi d'exac¬
concluons que chaque cycle à dimension y
fallait
dimension
Nous pou¬
à
démontrer.
ce
cycles
p-1
qu'il
y,
en
tement
vons
et, étant
—
alors, énoncer
:
produits directs de groupes cycliques tous d'ordre p01 sont
caractérisées par les propriétés suivantes : chaque élément irréductible diffé¬
rent de l'infimum est un cycle, chaque cycle maximal a la dimension «, la
lattice est uniforme-p et le nombre des éléments qui suivent immédiatement un
élément quelconque ne dépasse pas celui des atomes.
Les lattices des
Nous dirons, brièvement,
qu'une lattice possédant ces quatre propriétés
d'une géométrie projective sur le corps d'ordre
est 1',,extension de degré <x
premier p". Les schémas suivants nous donnent, d'abord, la lattice du
(produit direct de deux groupes cycliques
groupe du type (p2, p2)
b)
a)
d'ordres
nous
p2)
dans le
montrent
c)
d)
e)
cas p
2, et ensuite, quatre lattices modulaires qui
2 et
l'indépendance des quatre propriétés ci-dessus («
=
=
p=2).
Remarquons que de ce qu'on a dit au no. 2 de ce paragraphe il résulte
que les produits de chaînes de dimension oc peuvent se définir par les
propriétés ci-dessus p y étant remplacé par 1. Nous aurons ainsi, en
général, des „extensions de lattices complémentées et uniformes-w", u
étant un nombre indécomposable quelconque.
Finalement,
II.
nous
Une lattice est
seulement si, elle est
corps d'ordre
groupes
16
obtenons le théorème
isomorphe
un
cycliques
à la lattice d'une composante
primaire si, et
géométrie projective sur un
composante primaire est le produit direct de m
idéal d'une extension de
premier.. Si
dont
:
une
m1, m2,..., ml,
avec
mx -j- m2 -f-
•
•
•
+ mt
=
m,
ont
respectivement
les ordres
p"1, p"1,..., pat
avec
oc1 > «2 >
•
•
•
> <*j.
alors le corps est d'ordre p, la géométrie projective a la dimension m, l'exten¬
sion a un degré > xx et l'idéal a une base de cycles dont m1,m2,.. .,mt
ont
respectivement
Comme
les dimensions
conséquence
fondamental suivant
Une lattice est
ment si elle est le
«x, <%a,..., af.
immédiate des théorèmes I et II,
on a
le résultat
:
isomorphe à la lattice d'un
produit
groupe abélien fini si et seule¬
d'idéaux d'extensions de lattices compléinentées et
uniformes-u, les u étant tous indécomposables et différents entre eux. La
représentation d'une telle lattice comme un tel produit est univoque, le fac¬
1
(s'il existe) étant la lattice d'un groupe
teur, £(1), pour lequel u
cyclique.
=
Et l'on
peut ajouter le corollaire
:
Pour que la lattice d'un groupe abélien fini détermine (à un isomorphisme
près) ce groupe, il faut et il suffit que u # 1 dans chaque facteur de la re¬
présentation ci-dessus,
c'est-à-dire
(Reçu
qu'aucun de
le 10
ces
facteurs ne
soit
distributif.
juin 1947.)
17
Je suis né le 16 Mai 1910 à Lisboa.
J'y
ai fait
mes
études secondaires
lycées ,,Passos Manuel" et „Pedro Nunes" et
encore à l'„Instituto dos Pupilos do Exército". En
1929 je me suis
inscrit à la „Faculdade de Ciências" de l'Université de Lisboa où, après
quelques longues interruptions qui m'ont été imposées à cause de mon
et
techniques,
aux
activité
aux organisations d'étudiants, j'ai obtenu (1939) la licence es
mathématiques. Une bourse de l',,Instituto para a Alta Cultura"
m'a permis, alors, de poursuivre des études et travaux mathématiques
au „Centro de Estudos Matemâticos de Lisboa". Ainsi, depuis 1940
jusqu'à 1944 j'ai publié à „Portugaliae Mathematica" quelques petits
travaux dans le domaine de la Théorie des Espaces Topologiques et
j'ai obtenu un prix de l',,Academia das Ciências de Lisboa". Pendant
cette période, j'ai collaboré au développement matériel des revues et
sociétés mathématiques portugaises. En octobre 1942 l',,Instituto para
a Alta Cultura" m'# envoyé à Zurich, où j'ai
pu étudier et travailler
des
deux
écoles
mais
à l'Ecole Polytechnique
surtout
auprès
supérieures,
sciences
Fédérale.
Qu'il
soit
permis, ici, d'exprimer
profonde gratitude tout
Monteiro,
lequel a guidé pendant longtemps, de très près, mes premiers travaux.
En lui je vois un exemple d'homme et de professeur qu'il faut à la
jeunesse de mon pays. Aussi je remercie vivement tous mes professeurs
de Zurich, plus spécialement Messieurs les Professeurs Dre. H. Hopf,
P. Bernays et F. Gonseth, de l'accueil et l'assistance qu'ils m'ont prêtés.
C'est à Zurich que j'ai fait ma formation mathématique. Je tiens à
exprimer ici ma profonde reconnaissance à mon pays auquel je suis
me
d'abord à
mon
ma
maître camarade et ami Dr. Antonio Aniceto
redevable d'une bourse d'études par l'intermédiaire de l'„Instituto para
Cultura", et, enfin, je ne peux pas oublier, non plus, les encou¬
ragements que j'ai reçus à Lisboa de mes professeurs Drs. Pedro José
a
Alta
da Cunha et Manuel Zaluar Nunes ni la
parents
et
ma
femme m'ont accordés.
Zurich, octobre
18
1946
compréhension
et l'aide que
mes