Courants transitoires - Dipôles RC et RL

Courants transitoires -
Dipôles RC et RL
1. Notion de régime transitoire
Mise en évidence expérimentale
On considère le circuit de la figure ci-dessous (Fig. 1) :
À l’instant t=0, on ferme l’interrupteur K.
Les deux lampes L1et L2brillent instantanément.
Alors que la lampe L2conserve son éclat, la lampe L1s’éteint progressivement.
C
L2
R
L1
R
E
K
Figure 1
On distingue deux régimes :
•un régime transitoire
au cours duquel on observe une évolution temporelle de l’éclat
de L1;
•un régime permanent
pour lequel le condensateur se comporte comme un interrup-
teur ouvert.
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1

2•Réponse d’un circuit R,C à un échelon de tension
2. Réponse d’un circuit R,C à un échelon
de tension
Échelon de tension
e(t) (en V)
t (en s)
0
E
Figure 2
Une source idéale de tension
délivre un échelon de tension si
la tension produite par la source
est de la forme :
e(t)=0 pour t<0
e(t)=Epour t0(1)
La tension e ( t ) passe instantané-
ment de la valeur 0 à la valeur
E . Cela ce produit, par exemple,
lorsqu’on bascule l’interrupteur
du circuit à t=0.
Charge d’un condensateur
On considère le circuit constitué d’un conducteur ohmique de résistance R en série
avec un condensateur de capacité C : l’ensemble est soumis à une tension E (Fig. 3).
R
Cu
E
i
UR
+
A
B
Figure 3
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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2

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La tableau ci-dessous donne la charge et la tension aux bornes du condensateur :
instant charge de l’armature (A)tension aux bornes du condensateur
0 0 0
t q u avec q=Cu
t+dt q+dq u+du avec dq =Cdu >0
Établissement de l’équation différentielle
L’intensité du courant dans le circuit est telle que i=|dq|
dt , comme dq >0 (au cours
de la charge) alors i=+dq
dt .
Appliquons la loi de maille au circuit de charge (fig. 3).
E−u−UR=0,soit :
u+UR=E(2)
Comme UR=Ri (d’après la loi d’Ohm), alors l’équation 2 devient :
u+Ri =E(3)
Exprimons l’intensité i , du courant, en fonction de u , tension aux bornes du condensa-
teur.
On a i=+dq
dt , et comme q=cu alors i=+Cdu dt et UR=RC du dt .
En remplaçant URpar son expression, l’équation 4.3 devient :
u+RC du
dt
=Eou du
dt +1 RC u=
E
RC
On
La constante de temps tfournit un
ordredegrandeurdeladuréede
réponse du dipôle. Elle caractérise
la rapidité avec laquelle le régime
permanent est atteint.
pose t=RC : constante de temps du circuit
du
dt +1 RC u=
E
RC
du
dt +1 tu
(t=RC)
=
E
t(4)
Résolution de l’équation différentielle
L’équation 4 est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients
constants et avec second membre.
i i
i i
3

2•Réponse d’un circuit R,C à un échelon de tension
Les solutions de l’équation 4.4 sont de la forme :
u=Aeat+b
Si u=Aeat + b est solution de l’équation différentielle, elle doit donc satisfaire cette
équation.
Comme u=Aeat+b,alorsdu
dt
=Aaeat.
On injecte les expressions de uet du
dt dans l’équation différentielle, d’où :
Aaeat+1
t(Aeat+b)=
E
t
Soit :
Aeata+1
t+b.1 t
=
E
t
L’égalité précédente est vraie quel que soit tsi et seulement si :
a+1
t
=0
et
b.1
t
=
E
t
,soit
a=−1
t
et
b=E
En remplaçant aet bpar leur valeur il s’ensuit :
u=Ae−t
t+E
Appliquons les conditions initiales à l’équation.
Àladatet=0, u(0) =0, et par suite :
A+E=0, soit A=−E
Ainsi, u=−Ee−t
t+E,soit:
u=E(1 −e−t
t)(5)
Intensité du courant de charge
On a vu que, au cours de la charge du condensateur, l’intensité i du courant dans le
circuit est donnée par : i=+dq
dt
=+Cdu
dt
Comme u=E(1 −e−t
t), alors du
dt
=+E
te−t
t.
Ainsi :
i=CE
te−t
t=
E
Re−t
t=Imaxe−t t
La figure 4 donne l’évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours de la
décharge ainsi que l’intensité du courant dans le circuit.
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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u(t) (en V)
t (en s)
0τ
i(t) (en A)
t (en s)
τ
0
a) b)
EImax
Figure 4
L’intensité i(t)présente une discon-
tinuité en t=0,alorsquelatension
u(t)(ou la charge q(t))estcontinue.
Énergie dissipée par effet joule
L’énergie dissipée par effet joule dans le conducteur ohmique de résistance Rest :
EJ=∞
0
Ri2dt =R∞
0E
Re−t
t2
dt =
E2
R∞
0
e−2t
tdt =
E2
R−t 2e−2t
t∞
0
Comme t=RC, cela entraîne :
EJ=
E2
R−RC 2(0 −1) =
1
2CE2=
1
2QE
avec Q=CE : charge finale du condensateur.
Décharge du condensateur
Initialement le condensateur est chargé sous la d.d.p. E=VA−VB>0.
L’armature ( A ) porte la charge QA=Q0=CE , et l’armature ( B ) une charge
QB=−Q0.
À t= 0, on relie les armatures du condensateur à un conducteur ohmique de
résistance R.
C
uR
i
UR
+
i
A
B
Figure 5
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5