Preprint - Université de Rennes 1

INSTITUT DE RECHERCHE MATHƒMATIQUE DE RENNES
UniversitŽ de Rennes 1 Ñ U.R.A. C.N.R.S. 305
P R ƒ P U B L I C A T I O N
PIERRE BERTHELOT
Cohomologie rigide et cohomologie
rigide ˆ supports propres
Premi•re partie
(version provisoire 1991)
PrŽpublication 96-03 Janvier 1996
Campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France
TŽl. : (33) 2 99 28 60 43 Fax : [phone]

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TABLE DES MATIéRES
Avant-propos 3
0. Rappels sur la gŽomŽtrie analytique rigide 7
0.1. Espaces analytiques rigides .................................................................... 7
0.2. Espace analytique associŽ ˆ un v-schŽma formel...................................... 14
0.3. Espace analytique associŽ ˆ un K-schŽma ................................................ 19
1. Le tube associŽ ˆ un sous-schŽma d'un schŽma formel 25
1.1. DŽÞnitions et propriŽtŽs ŽlŽmentaires des tubes ........................................ 25
1.2. Voisinages stricts d'un tube.................................................................... 32
1.3. ThŽor•mes de Þbration........................................................................... 39
2. Isocristaux surconvergents 47
2.1. Germes de sections au voisinage d'un tube............................................... 47
2.2. Connexions surconvergentes le long d'un fermŽ ....................................... 57
2.3. Isocristaux convergents et surconvergents............................................... 68
2.4. F-isocristaux convergents associŽs aux F-cristaux .................................... 78
2.5. F-isocristaux surconvergents sur un schŽma afÞne et lisse........................ 81
Bibliographie 90

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AVANT-PROPOS
Cette prŽpublication est constituŽe des trois premiers chapitres d'un ouvrage encore
inachevŽ, consacrŽ ˆ la construction et aux propriŽtŽs de base de la cohomologie rigide
des variŽtŽs algŽbriques sur un corps de caractŽristique p. Ecrits entre 1987 et 1991, ils ont
circulŽ depuis de mani•re informelle. Dans la mesure o• ils ont dŽjˆ servi de rŽfŽrence
dans divers articles, et sont notamment utilisŽs de mani•re essentielle dans la dŽmons-
tration du thŽor•me de Þnitude donnŽe dans [Be4], il nous para”t utile de les rendre
accessibles de mani•re plus systŽmatique, sans attendre la rŽdaction compl•te de
l'ouvrage auquel ils seront incorporŽs. Nous attirons nŽanmoins l'attention du lecteur
sur le fait qu'il ne s'agit pour l'instant que d'une rŽdaction provisoire, susceptible d'•tre
modiÞŽe dans la version Þnale.
Les trois chapitres qui sont rassemblŽs ici constituent la partie gŽomŽtrique, Ç prŽ-
cohomologique È, de cet ouvrage. Le chapitre 0 est consacrŽ ˆ des rappels sur certaines
constructions de base de la gŽomŽtrie rigide sur un corps valuŽ non archimŽdien K. On y
trouvera notamment la construction de la Þbre gŽnŽrique d'un schŽma formel sur
l'anneau v des entiers de K (due ˆ Raynaud [Ra1]), celle de l'espace analytique associŽ ˆ
un schŽma de type Þni sur un corps valuŽ non archimŽdien, et les relations entre ces
deux espaces. Signalons simplement que la construction de la Þbre gŽnŽrique d'un
schŽma formel est gŽnŽralisŽe ici au cas d'un v-schŽma formel adique localement de
type Þni, dont la topologie n'est pas nŽcessairement dŽÞnie par l'idŽal maximal µ de v.
Cette construction est liŽe ˆ celle des tubes, introduits dans la premi•re section du
chapitre 1. Si P est un v-schŽma formel (µ-adique), et X un sous-schŽma localement
fermŽ de la Þbre spŽciale P0 de P, nous associons ˆ X un ouvert de l'espace analytique
rigide PKÊ, Þbre gŽnŽrique de P, que nous appelerons tube de X dans P, et que nous note-
rons ]ÊXÊ[PÊ. Lorsque X est fermŽ dans P0Ê, ce tube joue dans la dŽÞnition de la cohomologie
rigide le m•me r™le que les voisinages inÞnitŽsimaux dans celle de la cohomologie de de
Rham algŽbrique en caractŽristique 0 [Ha2], ou les voisinages ˆ puissances divisŽes en
cohomologie cristalline [Be1]. Lorsque X n'est pas propre sur k, la considŽration de ces
tubes ne sufÞt pas ˆ dŽÞnir une bonne cohomologie pour X, ˆ cause des probl•mes de
convergence au bord qui motivaient dŽjˆ l'utilisation des alg•bres faiblement compl•tes
de Monsky-Washnitzer [MW1]. Il y a donc lieu d'introduire certains voisinages des tubes,
que nous appelerons voisinages stricts, et qui sont ŽtudiŽs dans la deuxi•me section du