2. Opportunité d`arbitrage et marchés viables Un marché viable sera

2. Opportunit´ e d’arbitrage et march´ es viables
Un march´e viable sera un march´e sur lequel on ne peut gagner d’argent sans
risque (c’est-`a-dire dans tous les ´etats du monde), ce que l’on traduit par la notion
importante d’absence d’opportunit´e d’arbitrage. Nous allons pr´eciser cette notion
et donner une caract´erisation des march´es viables en fonction des propri´et´es des
prix actualis´es des actifs financiers.
2.1. Strat´egie d’arbitrage et march´es viables. Nous commen¸cons par faire
une restriction naturelle sur les strat´egies consid´er´ees.
D´efinition 2.1. Une strat´egie φest dite admissible si elle est autofinanc´ee et telle
que, `a toute date n∈ {0, . . . , N}, la valeur du portefeuille Vn(φ)est positive ou
nulle.
La notion suivante exprime qu’une strat´egie permet un arbitrage.
D´efinition 2.2. Une strat´egie d’arbitrage est une strat´egie admissible telle que la
valeur initiale du portefeuille est nulle et la valeur finale n’est pas nulle presque
sˆurement.
Nous arrivons finalement `a la d´efinition d’un march´e viable.
D´efinition 2.3. Un march´e financier est viable s’il n’existe pas de strat´egie d’ar-
bitrage.
Nous nous placerons dor´enavant dans le cadre des march´es viables. Voici une
premi`ere caract´eristique de tels march´es.
Proposition 2.1. Si le march´e est viable et si φest une strat´egie autofinanc´ee
de valeur initiale nulle alors sa valeur finale ne peut satisfaire VN(φ)≥0et
P[VN(φ)>0] >0.
D´emonstration : Soit φune strat´egie autofinanc´ee et de valeur initiale nulle. Sup-
posons par l’absurde que VN(φ)≥0 et P[VN(φ)>0] >0. Alors φn’est pas
admissible puisque le march´e est viable et on note n0le plus grand entier npour
lequel P[Vn(φ)<0] >0. Clairement, n0∈ {1, . . . , N −1}et, pour tout n > n0,
Vn(φ)≥0.
Soit alors ψle processus d´efini, pour tout n∈ {0, . . . , N}, par
ψn=(φn1[Vn0(φ)<0] si n > n0
0 sinon,
et soit ψl’unique strat´egie autofinanc´ee de mˆeme valeur initiale que ψ, et qui
co¨ıncide avec ψpour les actifs `a risque, d´efinie par la Proposition 1.2. Alors, pour
tout n≥1,
˜
Vn(ψ) =
n
X
k=1
ψk·(˜ Sk−˜ Sk−1),
d’o`u
˜
Vn(ψ) = 
1[Vn0(φ)<0]
n
X
k=n0+1
φk·(˜ Sk−˜ Sk−1) si n > n0
0 sinon,
1

2
et donc
˜
Vn(ψ) = ((˜
Vn(φ)−˜ Vn0(φ))1[Vn0(φ)<0] si n > n0
0 sinon.
Comme ˜ Vn(ψ)≥0 pour tout n,ψest une strat´egie admissible et
Ph˜ VN(ψ)>0i≥P[Vn0(φ)<0] >0,
ce qui contredit la condition de viabilit´e du march´e. ¤
2.2. Martingales. Nous allons caract´eriser les march´es viables grˆace `a la notion
de martingale.
Remarquons que, dans le cas d’un espace probabilis´e fini, comme c’est le cas ici,
toute les variables al´eatoires sont int´egrables et donc la condition d’int´egrabilit´e
des martingales est automatiquement satisfaite. De mˆeme, les variables sont toutes
de carr´e int´egrable et donc l’esp´erance conditionnelle n’est autre qu’une projection
dans L2et, lorsque (Mn)n=0..N est une martingale, la meilleure estimation au sens
des moindres carr´es de Mn+1 `a la date nest Mn. En fait, puisque les tribus sont
finies, cette estimation est en fait une “moyennisation” de Mn+1 sur les ´ev´enements
engendrant la tribu Fn.
Enfin, comme on suppose en outre que P[{ω}]>0 pour tout ω∈Ω, la proba-
bilit´e conditionnelle est d´efinie de fa¸con unique.
Voici quelques propri´et´es utiles sur les martingales.
Proposition 2.2. Soit (Mn)n≥0une suite adapt´ee `a une filtration (Fn)n≥0.
(1) (Mn)n≥0est une martingale si et seulement si, pour tout n≥0,Mnest
int´egrable, et pour tout k≥0,
Mn=E[Mn+k|Fn].
(2) Si (Mn)n≥0est une martingale alors E[Mn] = E[M0]pour tout n≥0.
(3) On suppose que (Mn)n≥0est `a valeurs r´eelles et de carr´e int´egrable. Soit
(Hn)n≥0un processus r´eel de carr´e int´egrable adapt´e et pr´evisible. Alors la
suite (Xn)n≥0, d´efinie par
X0=H0M0
Xn=H0M0+
n
X
k=1
Hk(Mk−Mk−1)pour n≥1,
est une martingale.
(4) On suppose que (Mn)n=0..N est une suite adapt´ee de variables al´eatoires
r´eelles et de carr´e int´egrable. Alors (Mn)n=0..N est une martingale si
et seulement si, pour tout processus r´eel adapt´e, pr´evisible et de carr´e
int´egrable (Hn)n=1..N , on a
E"N
X
n=1
Hn(Mn−Mn−1)#= 0.
D´emonstration : Les propositions (1) et (2) ont d´ej`a ´et´e vues dans le cours sur les
martingales.

3
Pour (3), on remarque que (Xn)n≥0est adapt´ee `a la filtration (Fn)n≥0et que,
pour tout n≥0, Xn+1 =Xn+Hn+1(Mn+1 −Mn). D’o`u
E[Xn+1 |Fn] = Xn+E[Hn+1(Mn+1 −Mn)|Fn].
Comme (Hn)n≥0est pr´evisible, Hn+1 est Fn-mesurable et
E[Xn+1 |Fn] = Xn+Hn+1E[Mn+1 −Mn|Fn].
Nous concluons par la propri´et´e de martingale de (Mn)n≥0.
D´emontrons enfin (4). Si (Mn)n=0..N est une martingale et (Hn)n=1..N est
pr´evisible, on pose H0= 0 et on d´efinit la martingale (Xn)n=0..N comme dans
(3). D’apr`es (2),
E[Xn] = E[X0] = 0,
ce qu’il fallait d´emontrer. R´eciproquement, soit n0∈ {0, ..N −1}et soit A∈ Fn0.
On d´efinit le processus H= (Hn)n=1..N par
Hn=½1Asi n=n0+ 1
0 sinon.
Le processus Hest donc pr´evisible et
E"N
X
n=1
Hn(Mn−Mn−1)#=E[1A(Mn0+1 −Mn0)].
Dire que cette quantit´e est nulle signifie donc que
ZA
Mn0+1dP =ZA Mn0dP,
ce qui conclut la preuve. ¤
2.3. Caract´erisation des march´es viables. Nous retournons maintenant au
mod`ele de march´e et nous concluons la section avec un th´eor`eme de caract´erisation
des march´es viables.
Le cas qui va nous int´eresser est celui dans lequel les prix actualis´es des actifs
sont des martingales.
Proposition 2.3. Si les prix actualis´es des actifs sont des martingales alors, pour
toute strat´egie autofinanc´ee φ, la suite (˜ Vn(φ))n=0..N est une martingale.
D´emonstration : D’apr`es la Proposition 1.1-(d), si φest une strat´egie autofinanc´ee,
alors
˜
Vn(φ) = φ0·S0+
n
X
k=1
φk·(˜ Sk−˜ Sk−1)
pour tout n≥1 et donc, d’apr`es la proposition 2.2-3., ( ˜ Vn(φ))n=0..N est une mar-
tingale. ¤
Th´eor`eme 2.1. Le march´e est viable si et seulement si il existe une probabilit´e P∗
d´efinie sur (Ω,F)et ´equivalente `a Psous laquelle les prix actualis´es des actifs sont
des martingales.

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Rappelons que deux probabilit´es d´efinies sur un mˆeme espace mesurable Pet
Qsont ´equivalentes si elles admettent les mˆemes n´egligeables. Dans le cas d’un
espace probabilis´e fini et avec la condition que Pcharge tous les singletons, Qest
´equivalente `a Psi Qsatisfait ´egalement cette propri´et´e.
Dans la suite, on notera E∗l’esp´erance relative `a la probabilit´e P∗.
D´emonstration : On commence par supposer qu’il existe P∗´equivalente `a Psous
laquelle les prix actualis´es sont des martingales. Soit φune strat´egie admissible de
valeur initiale nulle; montrons que φn’est pas une strat´egie d’arbitrage. D’apr`es la
Proposition 2.3, ( ˜ Vn(φ))n=0..N est une martingale sous P∗. Par cons´equent,
E∗h˜ VN(φ)i=E∗h˜ V0(φ)i= 0.
Mais comme P∗charge tous les singletons, et ˜ VN(φ)≥0, on en d´eduit que cette
variable est nulle, ce qu’il fallait d´emontrer.
R´eciproquement, supposons que le march´e est viable. On va utiliser un th´eor`eme
de s´eparation pour d´efinir P∗puis utiliser le point 4. de la Proposition 2.2 pour
d´emontrer que, sous P∗, les prix actualis´es des actifs sont des martingales.
Lemme 2.1. Soit Fun sous espace-vectoriel de Rm(m≥1) et soit Kun convexe
compact de Rmdisjoint de F. Il existe une forme lin´eaire ξsur Rmtelle que
F⊂Kerξet ξ(x)>0pour tout x∈K.
Pour appliquer ce lemme, on remarque tout d’abord que l’ensemble des appli-
cations de Ω dans Rpeut-ˆetre identifi´e `a Rmavec m= card Ω et que l’ensemble
des variables r´eelles FN-mesurables en constitue un sous-espace que nous notons
E(ici, avec l’hypoth`ese F=P(Ω), toutes les applications sont mesurables et donc
E=Rm).
On d´efinit
F={˜ VN(φ)/ φ strat´egie autofinanc´ee de valeur initiale nulle}.
Fest bien un sous espace vectoriel de Ecar ˜ VNest lin´eaire et l’ensemble des
strat´egies autofinanc´ees de valeur initiale nulle forme un espace vectoriel (F=
Im ˜ VN). Enfin, on pose
K=(X∈E,X≥0 et X
ω∈Ω
X(ω) = 1).
D’apr`es la Proposition 2.1, F⊂Kcet on peut appliquer le Lemme 2.1. La forme
lin´eaire ξdu lemme peut ˆetre identifi´ee `a un vecteur (ξω)ω∈Ωde Rm. Du fait que
ξest strictement positive sur K, on d´eduit que ξω>0 pour tout ω∈Ω. En effet,
pour tout X∈E,
ξ(X) = hξ, XiRm=X
ω∈Ω
ξωX(ω).
Si enfin on applique cette relation aux Xde Kqui sont de la forme
X(ω) = ½1 si ω=ω0
0 sinon
pour tout ω0∈Ω, on obtient bien ξω0>0 pour tout ω0∈Ω d`es que l’on suppose
ξ > 0 sur K.

5
On pose alors
ν=X
ω∈Ω
ξω
et on d´efinit P∗par, pour tout ω∈Ω,
P∗[{ω}] = ξω
ν.
Comme P∗charge tous les singletons, elle est ´equivalente `a P. Reste `a montrer
que, sous cette probabilit´e, les prix actualis´es des actifs sont des martingales. Soit
(Hn)n=1..N un processus pr´evisible r´eel et soit i0∈ {1, . . . , d}fix´e. On pose V0= 0
et pour tout n≥1 et tout i≥1,
φi
n=½Hnsi i=i0
0 sinon.
Enfin on appelle φl’unique strat´egie autofinanc´ee d´efinie par la Proposition 1.2.
Puisque F⊂Kerξ, on a,
X
ω∈Ω
ξω˜ VN(φ)(ω)=0,
c’est-`a-dire
E∗h˜ VN(φ)i=E∗"N
X
n=1
Hn(˜ Si0
n−˜
Si0
n−1)#= 0.
On applique alors la Proposition 2.2-4. et donc ˜ Si0est une martingale. ¤
Corollaire 2.1. Si le march´e est viable, toute strat´egie φautofinanc´ee de valeur
finale positive ou nulle est admissible.
D´emonstration : Soit φune strat´egie autofinanc´ee. Comme le march´e est viable,
il existe une probabilit´e P∗´equivalente `a Psous laquelle les prix actualis´es des
actifs sont des martingales et donc sous laquelle la suite des valeurs actualis´ees
des portefeuilles d´efinis par φest une martingale. On en d´eduit que, pour tout
n∈ {0, ..., N},
˜
Vn(φ) = E∗h˜ VN(φ)|Fni.
Mais puisque ˜ VN(φ) est une variable al´eatoire positive, on a bien ˜ Vn(φ)≥0 pour
tout net donc φest admissible. ¤