Magnétisme

Magnétisme
D’après: Eugene HECHT. Physique. Éditeur ITP de boeck.
Pôles et force magnétique
Pierre d’aimant: magnétite (oxyde de fer Fe3O4)
19ème siècle Oersted: lien entre électricité et magnétisme:
• Charges électriques génèrent champs électriques
• Charges électriques en mouvement génèrent
champs magnétiques
Æ Électromagnétisme
2 pôles: pôle nord de l’aimant Æ le nord géographique
pôles identiques se repoussent
pôles différents s’attirent
Pas de monopôle ?
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.2
Fractionnement d’un aimant
Chaque nouvelle partie est à nouveau
bipolaire
Magnétisme n’est pas produit par des
« charges magnétiques » mais par des
charges électriques en mouvement
Aimant constitué de petits aimants
dipolaires
Atomes et électrons (spin) dipôles
magnétiques
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.3
Force et champ magnétiques
Action à distance :
chaque aimant établit un champ
magnétique (B) dans l’espace qui
l’entoure
• Champ exerce moment de force sur
aiguille magnétique
• Moment de force Æ champ
(unité le Tesla)
• Sens du champ: du pôle sud vers le
pôle nord de l’aiguille
Lignes de champ entrent par pôle sud et sortent par pôle nord
Ni sources, ni puits magnétiques Æ Courbes fermées
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.4
Magnétisme terrestre
Dipôle géant ≡ courte tige aimantée au centre
de la terre (5×10-5 Tesla)
inclinée de 11,5° par rapport axe
de rotation (longitude 70° ouest)
Noyau terrestre: liquide ou solide ?
Inversion du champ !!! ~ 300 fois
(dernière, il y a ~30.000 ans)
Actuellement:Pôle nord magnétique au pôle sud géographique
+ pôles enterrés (800 km) ≠ pôles géomagnétiques et
pôles géographiques
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.5
Magnétisme à l’échelle atomique
Courant dans une boucle produit un champ
magnétique
Æ Mouvement électrons autour noyau
produit un faible champ
Champ intense produit par propriété
quantique des électrons eux-mêmes:
le spin, moment cinétique intrinsèque
Æ Champ dipolaire intrinsèque
NB. Électron:particule ponctuelle
Æ rotation autour de son axe n’a pas
de sens en mécanique newtonienne
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.6
Diamagnétisme et paramagnétisme
En général: Électrons en paires de spin opposé
dans les atomes
Æ moment cinétique total nul (pas de champ)
Toutefois: Orbites légèrement modifiées dans champ
magnétique intense
Æ modification moment cinétique (faible champ)
DIAMAGNÉTISME
Électrons non couplés en paires (nombre impair):
Dipôle magnétique non nul pour l’atome
Atomes orientés au hasard Æ pas de champ
Champ magnétique externe Æ alignement des atomes
substance PARAMAGNÉTIQUE
NB. Aimantation disparaît en l’absence de champ
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.7
Ferromagnétisme
• Substances comportant un nombre
important d’électrons célibataires
(fer, cobalt, nickel et dérivés…)
• Atomes avec dipôle magnétique
important s’alignent
• Blocage des dipôles en orientation
parallèle
• Aimantation permanente à température
ambiante
• Substances FERROMAGNÉTIQUES
NB. Aimantation ne disparaît qu’à haute température
(grande agitation thermique)
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.8
Domaines magnétiques
Substances ferromagnétiques:
• Domaines microscopiques (~5×10-5m): îlots de dipôles
magnétiques alignés
• Orientation aléatoire
• Champ magnétique faible: - extension de ces domaines
- aimantation instable
- désaimantation spontanée
Exemple: fer doux
à la disparition du champ
• Champ magnétique intense: - domaines se réorientent
- pas de changement de taille
- aimantation permanente
• Température de Curie: - ferromagnétisme disparaît
- matière devient paramagnétique
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.9
Perméabilité
Rappel: diélectrique Æ réduction interne du champ électrique
Milieu diamagnétique Æ (faible) réduction interne du champ
magnétique
Milieu paramagnétique Æ (faible) augmentation interne du
champ magnétique
Milieu ferromagnétique Æ forte augmentation
Perméabilité magnétique
Effet opposé dans les supraconducteurs
(parfaitement conducteurs et diamagnétiques)
Sous la température critique (Tc) champ
magnétique (presque) complètement expulsé
(profondeur ~10-7-10-8 m)
Effet Meissner
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.10
Courants et champs
Particule chargée en mouvement ou au repos
Æ champ électrique
Particule chargée en mouvement (relatif)
Æ champ magnétique
Courant dans un fil: - champ tangentiel à un
cylindre coaxial au fil
- module identique pour
un rayon donné
- proportionnel au courant
- sens: règle de la main
droite
I
B∝
r
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.11
Champ d’un courant rectiligne
μ I
Coefficient de proportionnalité ?
B=
Champ dépend du lieu dans lequel se trouve le fil
2π r
Æ Perméabilité magnétique μ et
facteur de proportionnalité μ/2π
μ0 I
-7
Dans le vide: μ0 = 4π×10 T.m/A Æ B =
π
2
r
-7
Air: μair/μ0=1 + 3,6×10
Eau: μeau/μ0 = 1 — 0,88×10-5
Milieu diamagnétique: μ < μ0
Milieu paramagnétique: μ > μ0 Mais μr=μ/μ0≈1
Milieu ferromagnétique: μ μ0 et varie avec B !
Æ équation du champ plus complexe …
}
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.12
Exemple: ligne de trolleybus
Ligne rectiligne de 100 A dirigé vers l’est à 10 m au dessus
du sol. Champ magnétique au niveau du sol ?
(4 π × 10 −7 T.m / A)(100 A)
B=
= 2, 0 × 10 −6 T
2 π(10m)
Soit 4 % du champ magnétique terrestre
Règle de la main droite:
→
B dirigé vers le nord sous la ligne
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.13
Champ d’une spire circulaire
• La spire densifie les lignes de champ
en son centre Æ champ plus intense
• Direction donnée par la règle de la main
droite
• Dipôle magnétique dans la direction
normale à la spire
μ 0I
Bz =
2R
NB. Pas de symétrie
cylindrique
Æ pas de facteur π
Autre règle de la main droite
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.14
Spires contiguës
• Plusieurs spires coaxiales accolées
• Même courant dans chaque spire
• Les champs s’additionnent
μ 0I
Æ Pour N spires: B z = N
2R
NB. Longueur de la bobine petite
par rapport au rayon peut
être négligée
En dehors de l’axe de la bobine,
Le champ s’affaiblit rapidement
Bobine de ce type s’oriente dans le
champ d’un aimant permanent
Æ galvanomètre
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.15
Solénoïdes
• Solénoïde: conducteur enroulé sous
forme d’hélice
• Solénoïde long et étroit (L > 10R)
Æ champ interne intense et uniforme
• Champ externe tend vers 0 pour LR
• Propagation du courant d’une extrémité
à l’autre Æ petite composante de
champ supplémentaire
• Si spires serrées: courant longitudinal
devient négligeable
• Applications: sonneries électriques, hautparleurs, circuits électroniques …
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.16
Champ d’un solénoïde
• Proportionnel à I
• Proportionnel au nombre de tours
par unité de longueur: n=N/L
Æ Expérimentalement: Bz ≈ μ0n I
Plus exactement, champ axial au
point P:
1
B z = μ 0nI(cos θd − cos θg )
2
Remarques:
• Pour LR, θd → 0 et θg → π
• Aux extrémités B = ½ B central
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.17
Électroaimant
• Introduction d’un noyau
ferromagnétique dans le
solénoïde
• Aimantation du noyau
• Renforcement du champ
• Si noyau en fer doux, désaimantation
à la coupure du courant
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.18
Calcul du champ magnétique
Loi d’Ampère
• Charge magnétique virtuelle qm
→
• Subit force qmB dans champ magnétique
• Déplacement sur un cercle dans plan ⊥
en segments Δl
→
• Travail ΔW = qmB&Δl (B& composante de B & au déplacement)
• Conducteur long et rectiligne: B& = B = μ0I/2πr
• Donc, travail total: W = Σqm B&Δl = qmBΣΔl = qmB(2πr)
Et ΣB&Δl = μ0 I
Résultat indépendant de qm !
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.19
Loi d’Ampère
JG G
• Passage à la limite : v
∫ B.dl = v∫ B&dl
• Si chemin fermé n’entoure pas le conducteur:
JG G
v∫ B.dl =
v∫ B dl = B ∫
&
b
1 a
dl + (0)∫ dl + ( −B 2 )∫ dl + (0)∫ dl
c
d
a
b
c
d
JG G μ 0I
μ 0I
v∫ B.dl = 2πr1 (r1θ) + 0 − 2πr2 (r2 θ) + 0 = 0
JG G
• Chemin fermé quelconque: B.dl = Bdl cos φ
JG G
μ 0I
μ 0I
dl cos φ = rdθ Æ v
∫ B.dl = v∫ 2πr (rdθ) = 2π v∫ dθ
2π
JG G
v∫ B.dl = μ 0I
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.20
Loi d’Ampère
• Chemin quelconque n’entourant pas le fil
JG G
et
v∫ dθ = 0
v∫ B.dl = 0
→
• Si plusieurs fils: B = somme vectorielle des champs et
ΣB&Δl = μ0ΣIin
Æ Loi d’Ampère
JG G
in
B.d
l
=
μ
I
0∑
v∫
NB. Fil rectiligne, chemin ampérien: cercle
coaxial avec le fil
JG G
μ 0I
v∫ B.dl = B& (2πr) = B(2πr) Æ B = 2πr
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.21
Exemple: champ d’un long solénoïde
Définition du chemin ampérien:
Rectangle 12341 entourant les spires
Côté 12: B& ≠ 0 (interne)
Côtés 23 et 41 ⊥ B (contribution nulle)
Côté 34: Bφ ≈ 0 si éloigné du solénoïde
JG G
in
Æ Si L est la longueur du côté 12: v
B.d
l
=
B
L
=
B
L
=
μ
I
&
0∑
∫
in
Longueur L, nL spires parcourues par courant I Æ ∑ I = nLI
Donc B L = μ0nLI et Bz ≈ μ0n I
Champ extérieur défini à partir d’un chemin
ampérien circulaire extérieur de rayon r
μ 0 I • Faible (ne dépend pas de n)
Bφ =
d’un fil rectiligne
2 πr • Identique au champ
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.22
Loi de Biot et Savart
Production d’un élément de champ dB ?
• Élément de charge dq en mouvement sur distance dl
• B proportionnel à dq et à sa vitesse (dl/dt)
• dB ∝ dq(dl/dt) et I = dq/dt donc dB ∝ I dl
• Champ perpendiculaire au
plan
formé
par
le
→
→
vecteur r et le vecteur dl orienté dans
la
→
^
direction du courant (direction de dl×r)
• Par analogie avec la gravitation et la loi de Coulomb,
dB doit décroître comme 1/r2
• Introduction de la perméabilité Æ loi de Biot et Savart
G
JG μ 0 I dl × rˆ
μ 0 I dl sin θ
Vectorielle: dB =
Scalaire: dB =
2
2
π
4
r
4π r
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.23
Exemple: champ d’un fil rectiligne infiniment long
μ 0 I dl sin θ
Intégrale de la forme scalaire B = ∫
4π r2
dl = dy et toutes les contributions
de courant I dl sont & en P (s’ajoutent
μ 0 dy sin θ
I∫
algébriquement): B =
2
4π
r
y = -x/tan θ et dy = x dθ/sin2θ et sin θ = x/r
μ0
xdθ
μ0
xdθ
B=
I∫ 2
=
I∫
2
4 π r sin θ 4 π ⎛ x ⎞
⎜
⎟ sin θ
μ0 I π
⎝ sin θ ⎠
B=
sin θdθ
∫
O
4π x
μ0 I
μ0 I
π
B=
[ − cos θ]0 =
4π x
2π x
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.24
Force magnétique
Action du courant sur un aimant Æ
→
réaction de l’aimant sur le courant: force
magnétique (FM)
→
→
Charge q, vitesse v champ magnétique B : FM ∝ q v B
(charge au repos Æ force nulle)
→
→
Force ⊥ plan des vecteurs v et B
(sens Æ signe de q)
G
G G
FM = q v × B
Module: FM = qvBsinθ
NB. Pas de coefficient Æ définition Tesla
Champ qui produit une force de 1 N sur une
charge de 1 C de vitesse 1 m/s ⊥ au champ
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.25
Exemple: électroaimant
→
NB. FM
→
FM
Champ 3,0 T vers le nord
Proton: v=5,0×106 m/s dans plan
⊥ ouest à 30° du champ
FM ?
Module: FM = q v B sinθ
=(+1,6×10-19 C)(5,0×106 m/s)
×(3,0 T)(sin 30°) = 1,2×10-12 N
Règle de la main droite: dirigée vers l’est
→
est toujours ⊥ v Æ force de déflexion (nouvelle
direction, module inchangé)
Æ pas d’accélération tangentielle
n’exerce aucun travail, énergie de la particule constante
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.26
Trajectoire d’une particule chargée→
→
Particule charge +q, vitesse v ⊥ B
→
Déplacement dans plan ⊥ B
→
→
FM ⊥ v vers le centre : force centripète
Trajectoire circulaire (rayon R)
mv 2
FM = FC =
R mv 2
θ = 90° Æ q vB =
R
mv Rayon dépend de la quantité
R=
qB de mouvement et de B
• Champ électrique: accélération de la particule
• Rayon maintenu constant par / B Æ synchrocyclotron
• Exemples: accélérateurs et collisionneurs du CERN
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.27
Dipôles du LHC
1234 aimants de 15m de long :
Solénoïdes autour de
Chaque tube faisceau
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.28
Aurores polaires et ceintures de radiation
Champ magnétiques cosmiques: focalisation particules
Champ uniforme: v cste dans direction B
Æ hélice axée sur B
Champ non uniforme:
pôle sud dipôle poussé vers l’arrière
force plus grande qu’attraction pôle nord
Décélération Æ bouteille magnétique
Idem pour particule chargée
Rayons cosmiques piégés
dans champ magnétique
terrestre Æ
ceintures de Van Allen
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.29
Exemples
NGC4261
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.30
Forces sur les conducteurs
Charges en mouvement dans conducteur Æ force
Nombre de porteurs de charge: Slη
(produit volume Sl par densité volumique η)
Vitesse de migration vm
Dans champ B:
FM = (qevmB sinθ)(Slη)
Courant: I = ηvmSqe Æ FM = I l B sinθ
→ →
Direction force: règle main droite (v×B)
G G
G
B non uniforme ou fil non rectiligne Æ dFM = Idl × B
Force résultante Æ Intégration sur le circuit
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.31
Exemple: force magnétique sur une spire
Spire dans champ magnétique
uniforme et vertical de 0,10 T
FC = DE = 30 cm; CD
= 20 cm
→
Courant 1,0 A.
FM ?
Règle main droite Æ
→
FMFC
+
→
FMDE
→
FM
=0Æ
vers l’intérieur
→
FM
=
→
FMCD
FM = I l B sinθ
= (1,0 A)(0,20 m)(0,10 T)(sin 90°)
= 0,020 N
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.32
Moment de force sur une spire
Bobine rectangulaire (N spires) légère
verticale (longueurs lh et lv), courant I dans
champ B horizontal et uniforme
→
Côtés horizontaux: FM s’annulent
→
Côtés verticaux: FM Æ moment de→force
Bobine (dipôle) tourne Æ axe z & B
FM = N I lv B
Distance entre point application force et centre: ½ lh
→ →
ÆMoment de la force: ½ lh × FM
τ = 2(½lhFM sinφ )
= N I lvlhB sinφ
τ = N I S B sin φ
Ne dépendPhysique
queDeuxième
de la
surface S !
Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.33
Le galvanomètre à cadre mobile
Moment de force ne dépend que de la surface
Æ indépendant de la forme de la bobine
• Bobine suspendue à un ressort
• Couple de rappel ∝ τ
• Noyau ferromagnétique concentre
champ aimant permanent
• Champ ~ radial
• φ ≈ 90° indépendant position
bobine
• Moment de force mesure courant
dans bobine (τ = N I S B sin φ)
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.34
Moment magnétique dipolaire
Moment de force sur une spire : τ = I S B sin φ
→
Moment magnétique dipolaire μM d’une spire:
vecteur ⊥ plan spire et de module I S
Pour une bobine (N spires) : N I S
Direction définie par règle main droite
→
Moment de force d’un champ B sur une
spire:
G
G G
τ = μM × B
Le moment magnétique tend à s’aligner sur le champ
(≡ aiguille d’une boussole Æ dipôle magnétique)
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.35
Exemple: magnéton de Bohr
• Modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène:
• Électron en orbite autour du proton
• Rayon 0,0529 nm; vitesse 2,2×106 m/s
• Moment magnétique orbital de l’électron μB ?
2 πr
Surface: S = πr2
Période de rotation: T =
v
qe
Courant: I =
T
1
⎛ qe ⎞ 2
⎛ q ev ⎞ 2
μB = ⎜ ⎟ ( πr ) = ⎜
⎟ ( πr ) = q e vr
2
⎝ T ⎠
⎝ 2 πr ⎠
1
μB = (1, 6 × 10 −19 C)(2, 2 × 10 6 m / s)(0, 529 × 10 −10 m)
2
μB = 9,3×10-24 A.m2 Æ magnéton de Bohr
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.36
Moteur électrique à courant continu
Électroaimant
libre (rotor) de tourner dans champ
→
magnétique B aimant fixe (stator)
Alignement
→
μM
→
avec B
Inertie + inversion courant
Æ position équilibre opposée
Inversion réalisée par 2 demi anneaux du rotor en contact
avec des balais (courant inversé à chaque demi-tour)
Æ Le rotor tourne de manière continue
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.37
Exemple: les flagelles des bactéries
flagellarassembly-l.mov
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.38
Interaction entre 2 fils parallèles
2 fils parallèles à distance d
Courant I1 et I2
Champ conducteur 2 au niveau
conducteur 1:
μ 0 I2
B2 =
dirigé vers la gauche
2 πd
μ 0I1I2
FM
l: longueur segment conducteur 1 Æ
= I1B 2 =
2 πd
l
Force par unité de longueur: dirigée vers le bas
Expression symétrique: forces de même modules mais de sens
opposés
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.39
Redéfinition de l’ampère et du Coulomb
2 conducteurs parallèles parcourus par
courants de même sens s’attirent
2 conducteurs parallèles parcourus par
courants de sens opposés se repoussent
Ampère: intensité de courant constante
circulant dans 2 conducteurs parallèles
infiniment long séparés d’un mètre dans le
vide et produisant une force magnétique de
2×10-7 N/m l’un sur l’autre.
NB. Ampère: Coulomb: quantité de charge électrique
Unité
transportée en 1 seconde par un courant d’un
fondamentale Ampère.
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.40
Exemple: origine définition Ampère
Force par unité de longueur s’exerçant sur chacun des 2
fils parallèles très long séparés dans le vide par une
distance d’un mètre parcourus par des courants de 1 A de
sens opposés?
−7
FM μ 0I1I2 (4 π × 10 T.m / A)(1, 0A)(1, 0A)
=
=
2 πd
2 π(1, 0m)
l
FM
= 2 × 10 −7 N / m
l
Physique Deuxième Bachelier Biologie/Géographie/Géologie. Daniel Bertrand 21.41