Champs - BFH-TI / Organisation

HES Bernoise / Electrotechnique / Physique 3
A: Champs 1
HES Bernoise
Technique et Informatique
Electricité et Systèmes de Communication
PHYSIQUE 3
PARTIE A: Champs
HES Bernoise / Electrotechnique / Physique 3
A: Champs 2
Index
page
I.
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
Champ électrique
Définition et propriétés de base
Champ d'une distribution de charges
Charge dans un champ électrique homogène
Isolateur (diélectrique) dans un champ électrique, polarisation
Conducteur dans un champ électrique, influence
II.
II.1
II.2
II.3
Champ magnétique
Lignes de champ
Champ magnétique d'une distribution de courants
Force sur une charge mobile dans un champ magnétique
(force de Lorentz)
Matière dans un champ magnétique
II.4
Annexe
Champ électrique d'un plan chargé
3
4
5
6
7
8
9
10
HES Bernoise / Electrotechnique / Physique 3
A: Champs 3
Un „champ“ est une grandeur physique donnée en fonction de la position dans l’espace, p.ex. un
champ de température, un champ d’écoulement, champ de force. L’idée des champs électrique et
magnétique est due à Faraday et Maxwell. Elle se prête à la visualisation des effets électromagnétiques, surtout dans le contexte de la propagation des ondes électromagnétiques.
Les champs d’écoulement sont particulièrement intuitifs, les lignes de courant représentant le
mouvement des particules en mouvement (dans le cas des écoulements stationnaires).
En vue de F = ma = dp / dt , il est également possible d’interpréter p.ex. les lignes du champ
électrique en tant que lignes de flux de la quantité du mouvement.
I. Champ électrique
I.1 Définitions de base et propriétés
Champ de force: Force donnée en fonction de la position dans l’espace.
r
r
qe
E=∑ i i 2
4πε 0 r
Une distribution de charge donnée, qi , produit une intensité du champ
en un point de l’espace où les charges qi ont des distances ri .
r
ei est un vecteur unitaire dirigé du point considéré à la charge qi .
L’intensité du champ totale est la somme vectorielle des intensités
partielles produites par les charges individuelles.
Unité de E :
[E ] = V / m
Sur une charge de test, q , posée en ce point agit une force
F = qE
Potentiel: le potentiel électrique, Φ , d’une charge de test q est :
Φ = qE pot
E pot étant l’énergie potentielle de la force électrique:
_ _
E pot = - ∫ Fel dr ,
_ _
Φ = - ∫ E dr .
(signe moins, parce qu’il s’agit de la force du champ et non pas
de la force qui déplace contre l’action du champ).
Pour les composantes de E on a donc:
(et de même pour y, z).
Tension
U = ∆Φ
Ex = - (dΦ
Φ / dx)
différence de potentiel
L’unité de Φ et U est le Volt.
Lignes de champ
Elles caractérisent un champ, étant partout tangentielles à la direction de
la force. La densité des lignes de champ indique l’intensité du champ.
Les lignes de champ partent toujours des charges positives et finissent sur
les charges négatives.
Lignes équipotentielles
Elles sont les lignes de niveau du champ, qui relient les points de
même potentiel (cf. champ de pesanteur avec ses lignes de niveau d’altitude).
De même, les surfaces équipotentiels représentent des surfaces de même
potentiel.
Démontrez: Les lignes équipotentielles sont toujours perpendiculaires aux
lignes de champ.
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A: Champs 4
Lignes de champ et
équipotentielles
I.2 Champ d’une distribution des charges, exemples
E=
a) Charge individuelle q:
q
4πε 0 r
2
, Φ=
q
4πε 0 r
b) Dipôle (moment dipolaire µ = qd), à distance r importante:
Φ=−
µr
4πε 0 r 3
Le dipôle est formé d'une charge positive +q et d'une charge négative - q, à la distance d.
Ler moment dipolaire, µ, pointe de la charge négative à la charge positive (voir Physique 2).
c) Deux plans chargées avec des charges opposées, la densité de charge (charge / surface) σ = q / A,
à la distance mutuelle d:
E = const = σ / ε 0
Φ = −E z
(z = coordonnée dirigée d’un plan à l’autre)
(déduction: voir annexe)
La charge surfacique s’appelle aussi déplacement diélectrique D :
Unité de D : [D ] = As / m
2
r
r
D = ε0 E
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U =Ed=
Tension entre les deux plaques:
C=
A: Champs 5
qd
ε0 A
Condensateur à plaques
q ε0 A
=
U
d
= Capacité du condensateur
Unité : [ C ] = Farad = As / V
Un champ qui est partout égal dans l’espace s’appelle „homogène“.
I.3 Charge dans un champ électrique homogène
Dans un oscilloscope, les électrons sont d’abord accélérés le long
des lignes d’un champ électrique. Ils sont ensuite injectés, perpendiculairement aux lignes de champ, dans un condensateur de déviation.
(En réalité, les plaques du condensateur ne sont pas parallèles et le
champ n’y est pas homogène, mais ici on l’assumera de manière
approximative).
Dans un tube de TV ou d’un monitor, l’accélération se fait de manière
analogue, mais la déviation est produite dans un champ magnétique.
Accélération:
Force
F=eE,
où e = charge élémentaire, E = intensité du champ (cf. physique 1).
Energie:
eEs = eU = ½mv
2
U = tension appliquée (quelques kilovolts).
s = parcours d’accélération = longueur du condensateur
On en obtient la vitesse de l’électron à la sortie du condensateur d’accélération, à travers l’anode
trouée.
Il n’y a aucun problème technique d’augmenter les voltages (ce qu’on fait actuellement dans les
accélérateurs de particules). L’équation ci-dessus donnera alors des vitesses excédant la vitesse de la
lumière dans le vide, c. On sait cependant que cela n’est pas réalisable.
L’erreur se situe dans l’expression de l’énergie cinétique. Selon la théorie relativiste, il faut écrire
E cin = m c
2
(γ – 1),
2
2 - 1/2
γ = (1 – v / c )
2
2
En développant selon Taylor pour les petites valeurs du quotient x = v / c , on retrouve l’expression
classique de l’énergie cinétique.
Si on met l’expression correcte de l’énergie cinétique dans l’équation d’accélération, on trouve que
2
v augmente d’abord proportionnellement au voltage appliqué, mais courbe pour les vitesses plus
importantes en se rapprochant d’une asymptote horizontale à la valeur de c. (La courbure devient bien
évidente si v dépasse 10% de c environ).
En théorie de la relativité, m est appelée masse au repos et m γ est interprétée comme la masse d’un
corps en mouvement. A énergie élevé et croissante, c’est donc surtout la masse de l’électron qui
augmente et non pas la vitesse.
Déviation:
Soit x la direction de l’axe du condensateur, tandis qu’ y pointe de la plaque négative à la plaque positive.
Soit l’électron injecté avec une vitesse initiale, v 0 dans la direction de l’axe du condensateur.
Force:
Fx= 0
-->
vx= v0
x = v0t
Fy = eE = eU/d
eU
v y = a y t = ------ t
md
eU
2
y = ½ ------- t
md
=may
d = distance des plaques
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tan α = v y / v 0 , évalué à la sortie du condensateur ( x = s, t = s / v 0), donne la direction de vol de
l’électron en quittant le condensateur de déviation.
Avec cette information, on détermine aisément le point d’impact sur l’écran (dont on connaît la
distance par rapport au condensateur de déviation).
_
v0
x
α
+
y
I.4 Isolateur (diélectrique) dans un champ électrique, polarisation
Les matériaux non conducteurs se polarisent sous l’action des champs électriques: les charges des molécules ou atomes sont déplacées de manière à former des dipôles (il se forment deux pôles d’où le nom, le
mot grecque « di » signifiant « deux », de même pour le mot « diélectrique » désignant ces matériaux).
Les dipôles atténuent le champ d’un facteur ε (dépendant du matériau), les charges extérieures (sur les
plaques d’un condensateur, p.ex.) étant partiellement écrantées par les charges dipolaires.
A charge donnée, q, la tension d’un condensateur diminue alors de ε et la capacité augmente de ce
même facteur:
C=
q εε 0 A
=
U
d
D = ε ε0 E
La grandeur χ = ε – 1 s’appelle susceptibilité électrique,
elle mesure la polarisabilité.
Les dipôles tournent sous l’action d’un champ électrique jusqu’à
ce qu’ils se trouvent parallèles aux lignes de champ, dans la bonne
orientation de leur charges. Un dipôle orienté oblique par rapport
aux lignes de champ, subit un couple
M =µ xE
Dans un champ inhomogène, les dipôles sont tirés vers le côté du champ plus fort.
I.5 Conducteurs dans le champ électrique, influence
Les charges des conducteurs étant librement mobiles, il ne peut pas y avoir des forces tangentielles à
leur surface. Les lignes de champ sont toujours perpendiculaires à la surface des conducteurs.
Pour la même raison, les charges s’accumulent toutes à la surface des conducteurs.
A l’intérieur des conducteur le champ est nul (cage de Faraday).
En portant un conducteur dans un champ électrique,
les charges se déplacent de manière à compenser le champ.
Cet effet s’appelle influence.
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II. Champ magnétique
II.1 Lignes de champ
Les champs magnétiques se forment par l’action des charges en mouvements (courants).
Il n’existe pas de « charges magnétiques » , mais seulement des dipôles magnétiques (les pôles sont
désignés pôle nord et pôle sud).
Les lignes du champ magnétique n’ont donc pas des points initial et final, mais sont des lignes
fermés. Les lignes sont dirigés du pôle sud au pôle nord à l’intérieur d’un aimant et du pôle nord au
pôle sud dans l’espace extérieur.
Le champ magnétique des aimants est produit par des courant circulaires atomiques ou par la rotation
intrinsèque des électrons, le spin.
Lisez les entrées sur le champ magnétique de la Terre sous wikipedia!
II.2 Champ magnétique d’une distribution de courant, exemples
a) Le champ magnétique d’un conducteur droit, portant un courant I,
est donné par des cercles concentriques. Si le courant va d’en bas vers
le haut, les lignes sont orientées dans le sens contraire des aiguilles.
L’intensité du champ est, à une distance r du conducteur :
H=
I
2π r
b) Le champ magnétique d’une boucle circulaire de courant (rayon R):
Sur l’axe de la boucle, les lignes de champ sont rectilignes.
L’intensité du champ sur l’axe central de la boucle, à une distance r
de son centre, vaut:
IR2
H=
2( R 2 + r 2 )1.5
c) A l’intérieur d’une longue bobine (longueur ) avec N spires,
le champ magnétique est homogène et parallèle à l’axe de la
bobine, son intensité étant
H=
NI
l
Les méthodes nécessaires pour calculer ces résultats seront
données en théorie des champs.
L’unité du champ magnétique H est l’Ampère/mètre:
[H] = A/m
Souvent on utilise la densité du flux magnétique, B, à la place de H (aujourd’hui, B est souvent appelé
simplement intensité du champ magnétique). B est défini comme le flux magnétique par unité de
surface (flux magnétique = nombre de ligne de champ traversant une surface).
B = µ0 H
Dans le vide, on a:
2
L’unité de B est le Tesla = Vs/m = N / Am
µ0 = 4 π 10
–7
Vs / Am
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II.3 Force sur une charge mobile dans un champ magnétique (force de Lorentz)
_
_
Un corps de charge q se déplaçant avec une vitesse v dans un champ magnétique B est soumis à
une force:
F =q vxB
(force de Lorentz)
La direction de cette force se détermine à l’aide de la règle des 3 doigts (produit vectoriel).
S’il s’agit d’un électron, il faut tenir compte du signe négatif de la charge q.
Notez que la force n’apparaît que pour une charge mobile, équivalente à un courant I = q v .
Si la particule pénètre dans le champ perpendiculairement aux lignes de force, sa trajectoire sera
circulaire et son mouvement uniforme (v = constante). Le rayon du cercle se détermine comme suit :
2
qvB=mv /r
donc :
mv
r = -------- ,
qB
vitesse angulaire
qB
ω = ----m
Ces faits sont utilisés pour la détermination des masses dans le spectromètre de masse.
Dans le cyclotron ou le synchrotron, la particule chargée est maintenue sur la trajectoire circulaire à
l’aide de champs magnétiques et y passe à chaque tour une section d’accélération (cyclotron : B =
constant, r augmente, synchrotron : r = const, B augmente de manière synchrone).
2
Tandis que la déflection magnétique dépend de m v , elle dépend de m v dans un champ électrique
2
(q E = ½ m v ). En combinant les deux types de champs permet donc de déterminer la masse des
particules même si leurs vitesses ne sont pas exactement égales (sélection suivant v dans un champ
électrique et suivant m dans un champ magnétique).
Princip du spectromètre de masse magnétique
spectrographe de masse à double focalisation
cyclotron
La connaissance de la force de Lorentz permet aussi de
comprendre l’effet Hall (classique).
I
B
Tracez vous-même le déplacement des porteurs de
charge négative et indiquez la polarisation de la tension
de Hall qui se produit!
Quel serait le résultat pour les porteurs de charge
positive ?
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II.4 Matière dans un champ magnétique
En posant de la matière dans un champ magnétique, ce dernier y produit des courant circulaires
atomiques qui à leur tour sont à la base de nouveaux champs magnétiques modifiant le champ
extérieur. Leur influence est décrite par un facteur µ :
r
r
B = µ µ0 H
ou bien par la susceptibilité magnétique
χm = µ – 1.
D’après leur comportement dans un champ magnétique, on classifie les matériaux comme suit :
diamagnétique
µ<1
(χm < 0)
matériaux aux couches électroniques complètes
(le mouvemet circulaire de trajectoire des électrons atténue le
champ magnétique extérieur)
paramagnétique
µ légèrem. > 1 nombre impair d'électrons
–6
–3
(χm ∼10 bis 10 ) (les spins non compensés s’orientent dans le champ extérieur, effet
qui diminue avec la température suivant ∼ 1/T ).
ferromagnétique
µ très grand
2
5
(10 bis 10 )
couche électronique internes incomplètes
(des domaines entiers (domaines de Weiss) sont magnétisés, le
champ extérieur les oriente tous dans la même direction.
Au-dessus de la température de Curie les matériaux ferromagnétiques deviennent paramagnétiques.
Hystérèse lors de la magnétisation / démagnétisation.
Exemples: fer, cobalt, gadolinium, nickel
ferrimagnétique
µ grand
ferrites, cristaux ioniques (pas de métaux), résistance
élevée, ce qui les rend profitables au régime des hautes
fréquences en évitant les courants de Foucault.
(Couches électroniques internes incomplets, deux réseaux
d’orientation opposée qui ne se compensent que partiellement).
Neumagnetisierung
nouvelle magnétisation
Entmagnetisierung
démagnétisation
Remanenz
rémanence
Magnetisierung
magnétisation
champ B d’un aimant permanent
hystérèse
Koerzitivkraft
force coercitive
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Annexe: champ électrique d’un plan chargé
2
Soit un plan, assimilé au plan x-y. Il est considéré de porter une densité de charge σ = q / A (As / m )
On se propose de calculer l’intensité du champ électrique en un point au-dessus de ce plan, à la
distance z.
D’après le schéma, la surface partielle dA (à une distance r de l’axe des z) contribue une intensité du
champ dE dont la composante z vaut dEz = dE cos α.
σ dA
dE =
dE
4 πε 0 ( r 2 + z 2 )
cosα =
α
z
z +r
2
√r2+z2
z
2
En sommant toutes les dA sur un anneau de rayon r,
les composantes perpendiculaires à l’axe des z se
compensent mutuellement et ne restent que les composantes z. Pour l’anneau entier on aura dEz = dE cos α
le cosinus étant donné par la formule ci-dessus de même
que dE, en utilisant dA = 2 π r dr .
dr
r
La contribution du plan entier s’obtient alors par intégration
de cette expression sur tous les r possibles :

σ z 2π r dr
σ z
σ z
−1
r dr
=
=
Ez = ∫

2
2 3/ 2
2
2 3/ 2
2
2 1/ 2 
∫
4πε 0 (r + z )
2ε 0 (r + z )
2ε 0  (r + z ) 
∞
=
0
σz
σ
=
2ε 0 z 2ε 0
Ce résultat ne dépend plus de z, l’intensité du champ est donc la même dans tous les points z, le
champ est homogène.
(En raison de la symétrie, le champ ne peut dépendre de x ou y non plus. C’est vrai parce que le plan
était pris comme infiniment étendu. Pour des plaques de dimensions finies, il y aura des modifications
de ce résultat, notamment en proximité des bords de la plaque).
Dans le cas du condensateur à plaques, une deuxième plaque, de charge opposée, est à ajouter.
Pour cette plaque, on obtient le même résultat. A cause de la charge opposée, les vecteurs Ez vont
dans la même direction. Le résultat final est donc :
E=
σ
q
=
ε0 ε0 A
Avec
U = E d et C = q / U on trouve pour la capacité C:
C = ε0
A
d