LE PROBLEME DU RESEAU k - ARETE CONNEXE DE

Institut Supérieur d’Informatique,
de Modélisation et de leurs Applications
Complexe des Cézeaux
BP 125
63173 Aubière Cedex
Rapport de projet de 2ème année
Filière F4 - Calcul et modélisation scientifiques
________________________________________________________________________________
LE PROBLEME DU RESEAU
k - ARETE CONNEXE DE COUT MINIMUM
________________________________________________________________________________
Présenté par : Benoît GALLAND et Christophe MAETZ
Responsable : Ibrahima DIARRASSOUBA (LIMOS)
Durée : 100h
Octobre 2006 à mars 2007

Institut Supérieur d’Informatique,
de Modélisation et de leurs Applications
Complexe des Cézeaux
BP 125
63173 Aubière Cedex
Rapport de projet de 2ème année
Filière F4 - Calcul et modélisation scientifiques
________________________________________________________________________________
LE PROBLEME DU RESEAU
k - ARETE CONNEXE DE COUT MINIMUM
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Présenté par : Benoît GALLAND et Christophe MAETZ
Responsable : Ibrahima DIARRASSOUBA (LIMOS)
Durée : 100h
Octobre 2006 à mars 2007

Remerciements
Nous remercions M. Ibrahima Diarrassouba pour son aide et ses conseils pour la
compréhension des algorithmes et l’élaboration du projet.

Table des figures et illustrations
1.1 Exemple de fichier source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Exemple de matrice « dist » de l’algorithme de Floyd-Warshall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Exemple d’arbre couvrant de l’algorithme de Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Un résultat de l’algorithme de Goemans-Bertsimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1 Parcours en profondeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2. Numérotation DFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Codage du parcours en profondeur et de la numérotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Parcours postposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.5. Codage implicite du parcours postposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.6 Arête de retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.7 Un résultat de l’algorithme de Khuller-Raghavachari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.8 Un résultat de l’algorithme de Khuller-Raghavachari à partir d’une solution approchée . . . 24
4.9 Résultats comparés pour l’algorithme de Khuller-Raghavachari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Résumé
L’objet de ce projet est l’étude du problème du réseau k-arête connexe de coût minimum,
avec l’implémentation d’algorithmes d’approximation pour la réalisation de chemins arêtes-
disjoints.
Notre travail a consisté à implémenter tout d’abord les deux algorithmes de base de Floyd-
Warshall pour les plus courts chemins et de Kruskal pour l’arbre couvrant de poids minimum.
Nous avons ensuite codé les algorithmes de Goemans-Bertsimas et Khuller-Raghavachari en
langage C++ . Le premier impose des connexités minimales pour chaque sommet du graphe et
autorise des arêtes de capacité entière supérieure à l’unité, à la différence du second qui ne permet
que des arêtes de capacité unitaire et minimise en premier lieu le nombre d’arêtes avant le coût total
du graphe.
Les résultats ont été visualisés avec le logiciel XFig et comparés à d’autres solutions et aux
solutions optimales.
Mots-clés : réseau k-arête connexe, chemins arêtes-disjoints, plus court chemin, arbre couvrant
de poids minimum
Abstract
This project topic is to study the problem of k-edge connected network, which has the
minimum of cost, with the implementation of approximation algorithms to realise disconnected-
edge ways.
First, we have implemented two basic algorithms : Floyd-Warshall to have the shortest ways
and Kruskal to have a minimum spanning tree.
After, we have coded the Goemans-Bertsimas algorithm and the Khuller-Raghavachari
algorithm in C++. The first algorithm sets, for each edge of the graph, the minimum connectivity
and can give solutions with multiple edges, edges which have an integer connectivity of more than
one, unlike the second which searches for a solution which minimises first the number of edges,
before the total cost of the graph.
The results have been visualized with the software Xfig, and we have compared our solutions
with other solutions and optimal solutions.
Keywords : k-edge connected network, disconnected-edge ways, shortest way, minimum
spanning tree