Nombres complexes et transformations du plan

Définition
On appelle corps des nombres complexes, et on note CI un ensemble contenant IR tel que :
 Il existe dans CI un élément noté i tel que i 2 = -1.
 Tout élément de CI s'écrit sous la forme a + ib , où a et b sont des réels.
 CI est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que celles
connues dans
Un nombre complexe sera souvent représenté par la lettre z.
Nombres complexes particuliers
Soit un nombre complexe z = a + ib avec a IR et b IR .
 si b = 0 , on a z = a , z est un réel.
 si a = 0 , on a z = ib , on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire).
Remarques
 IR correspond à l'ensemble des points sur une droite.
Un nombre réel x correspond au point d'abscisse x sur la droite.
On peut donc toujours comparer deux nombres réels.
 CI , ensemble des nombres a + ib avec a IR et b IR correspond à l'ensemble des points
d'un plan.
Un nombre complexe a + ib avec a IR et b IR correspond au point du plan de
coordonnées (a ; b).
On ne peut donc pas comparer deux nombres complexes : il n'y a pas de relation d'ordre
dans CI .
On ne peut donc pas dire qu'un nombre complexe z est inférieur à un nombre complexe z' ou qu'un
nombre complexe z est positif (c'est-à-dire supérieur à 0).
Vocabulaires
Soit un nombre complexe z .
L'écriture z = a + ib , où a et b sont des réels, est appelée forme algébrique ou cartésienne du nombre
complexe z.
a est appelé partie réelle de z, et b partie imaginaire de z : on note a = Re(z) et b = Im(z).
Remarque
La partie réelle de z et la partie imaginaire de z sont des nombres réels.
Exemples
Re (3 + 4 i) = 3 ; Im (3 + 4 i) = 4 ; Re (– 27 + i) = - 27 ; Im (19 – i) = - 1
Egalité
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie
imaginaire.
C'est-à-dire que si a, b, a', b' sont des réels, on a
1

a + ib = a' + ib'  (a ; b) = (a' ; b') 
a = a'
b = b'
Exercice 1
Déterminer tous les réels x et y tels que (x + 2 y) + (5 – y) i = 10 + 6 i .
Solution 1
(x + 2 y) + (5 – y) i = 10 + 6 i 
2 10
56
xy
y
 x = 12 et y = - 1
Exercice 2
Calculer chacun des nombres complexes suivants :
S = (4 + 2 i) + (6 + 3 i) ;
P1 = (2 + i)(– 1 – 3 i) et P2 = (5 + 2 i)(5 – 2 i) ;
C = (– 7 + 3 i) 2
Solution 2
S = (4 + 2 i) + (6 + 3 i) = 10 + 5i
P1 = (2 + i)(– 1 – 3 i) = (-2 + 3) + (-i – 6i) = 1 – 7i
P2 = (5 + 2 i)(5 – 2 i) = 29 ; En général : pour tous réels a et b, (a + ib)(a – ib) = a² + b²
C = (– 7 + 3 i) 2 = 49 – 42i – 9 = 40 – 42i
Exercice 3
Calculer (3 + 2i)(3 - 2i). En déduire la forme algébrique de
Error!
Solution 3
(3 + 2i)(3 - 2i) = 13
Error!
=
3- 2i 3 2
= - i
13 13 13
Exercice 4
Calculer les puissances de i suivantes : i 2 ; i 3 ; i 4 ; i 5 puis généraliser les résultats
Solution 4
i 2 = - 1 ; i 3 = - i ; i 4 = 1 ; i 5 = i
En général
1 si n = 4p
si n = 4p 1 ; p IN
1 si n = 4p + 2
si n = 4p + 3
ni
i
i
Représentation graphique
Un nombre complexe est formé de deux nombres réels. Or deux nombres réels forment un
couple de coordonnées. Ainsi, si le plan est muni d'un repère orthonormé on peut repérer tout
point par un nombre complexe.
Affixe
2

On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O;
Error!
,
Error!
) .
■ Au point M de coordonnées (a ; b), on peut associer
le nombre complexe z = a + ib.
On dit que z = a +i b est l'affixe de M
■ Au vecteur ;V de coordonnées (a ; b), on peut associer
le nombre complexe z = a + ib.
On dit que z = a + ib est l'affixe de ;V
■ Lorsqu'on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormé direct, on
dit qu'on se place dans le plan complexe.
Exercice 5
Placer dans le plan complexe, les points d'affixes :
z1 = 2 + 3i ; z2 = 3 + i ; z3 = -1 + 2i ; z4 = 2 – i ; z5 = i ; z6 = -i ; z7 = 1 ; z8 = -i – 3 ;
z9 = 2z1 - 3z2 ; z10 = z3(z4 - z2)
Solution 5
N B :
92 2 3 3 3 5 3z i i i      
et
10 1 2 2 3 1 2 1 2 5z i i i i i           
Exercice 6
Soit un repère orthonormé (O ; I , J) .
a) Quels sont les affixes complexes respectives des points I et J ?
b) Déterminer l’ensemble E des points M(z) tel que z 2 soit réel, et l’ensemble F des
points M(z) tels que z 2 soit un imaginaire pur.
O
M ( z )
a
b
;V ( z )

Solution 6
a)
I
z = 1
et
J
z = i
b) On pose z = x + iy  z² = x² - y² + 2ixy
M(z)  E  z²  IR  Im(z²) = 0  2xy = 0  x = 0 ou y = 0  E = (OI)  (OJ)
M(z)  F z²  i  IR  Ré(z²) = 0  x² - y² = 0  y = x ou y = - x  F est la réunion de la
première bissectrice(la droite d’équation y = x) et de la deixième bissectrice(d’équation y = - x)
Exercice 7
Déterminer le lieu L des points M(z) tels que F(z) soit un imaginaire pur où F est l’application
complexe définie sur par F(z) = (1 + 2 i) z + 2 + i .
Solution 7
On pose z = x + iy où x et y sont deux réels
F(z) = (1 + 2 i) z + 2 + i = (1 + 2 i) (x + iy) + 2 + i = (x – 2y + 2) + i(2x + y + 1)
M(z)  L  F(z)  i  IR  x – 2y + 2 = 0  L =  :
1
y = x +1
2
Propriétés :
Si M a pour affixe z = a + ib et si M' a pour affixe z' = a' + ib' , avec a, b, a', b' réels, alors
le vecteur ;MM' a pour affixe z' - z = (a' - a) + (b' - b)i
OM = ;OM = a2 + b2
MM' = ;MM' = (a' - a)2 + (b' - b)2
Le milieu I de [MM'] a pour affixe zI =
Error!
Si ;V a pour affixe z et ;V ' pour affixe z', alors ;V + ;V ' a pour affixe z + z'.
Si k est un réel, alors k;V a pour affixe k z.
Si ;V a pour affixe z et ;V ' pour affixe z' tels que z ‘ ≠ 0
Les vecteurs ;V et ;V ' sont colinéaires si et seulement si :
z
z'
est réel.
Les vecteurs ;V et ;V ' sont orthogonaux si et seulement si :
z
z'
est imaginaire.
Conjugué
Une question motivante :
les nombres complexes
Error!
et
Error!
sont-ils égaux ?
Réponse :
Error!
=
338 17-7i 338 17-7i
= = 17-7i
17+7i 17-7i 338
5+ i (3-2i)= 17-7i
Ceci motive la définition suivante.
Définition
M ( z )
a
b
Si M est le point d'affixe z, le point M'
d'affixe est symétrique de M par
rapport à l'axe des abscisses.

Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + ib.
On appelle conjugué de z le nombre complexe
noté
Error!
tel que
Error!
= a - ib.
Exemples
a) 1 – 2 i = 1 + 2i ; i = - i ; 2 112 = 2112
b) Si a  R et b  R alors a = a et b i = - bi
c) Pour tout nombre complexe z = a + bi (mis sous forme algébrique) , nous avons :
Re (z) = a et Im (z) = - b
d) Pour tout nombre complexe z = a + bi (mis sous forme algébrique) , nous avons :
z +z = 2a
et
z -z = 2ib
Nous en déduisons que Re(z) =
2
zz
et Im(z) =
Error!
Ceci nous donne les équivalence suivantes : z est un réel  z =
Error!
Ceci nous donne les équivalence suivantes : z est un imaginaire pur  z = -
Error!
Propriétés :
Pour tous nombres complexes z et z', on a :
Error!
= z
 z.
Error!
est un réel positif
22
Re( ) Im( )zz z z
 z + z' =
Error!
+
Error!
;
Error!
=
Error!
-
Error!
;
Error!
=
Error!
.
Error!
 Si z' 0
Error!
=
Error!
;
Error!
=
Error!
 Re(z) =
2
zz
; Im(z) =
Error!
 z est réel  z =
Error!
; z est imaginaire pur  z = -
Error!
Exercices : 1, 3 et 4 page 29 ; 20 page 30. (Manuel)
Forme trigonométrique
Définition
3
M(z)