4 - Université d`Orléans

SOM1MT05 Universit´e d’Orl´eans
Analyse Fonctionnelle 2014-2015
Cours, Chapitre n4
Luc Hillairet.
Th´eor`emes de Stone-Weierstrass 1
Soit Kun espace m´etrique compact, on munit E=C0(K, R) de la norme de la convergence
uniforme. Il s’agit de donner des crit`eres pour qu’une famille soit dense dans E.
1 Rappels de densit´e
Proposition 1. Soit (E,k·k)un espace vectoriel norm´e, une partie X⇢Eest dite dense
dans Esi l’une des propri´et´es ´equivalentes suivantes est v´erifi´ee.
1. L’adh´erence de Xest E(i.e. X=E).
2. Pour tout ouvert non-vide U⇢E, X \U6=;.
3. Pour tout x2Eet tout r>0,X\B(x, r)6=;.
4. Pour tout x2E, il existe une suite (xn)n0d’´el´ements de Xtelle que (xn)n0tend
vers x.
D´emonstration. Montrons d’abord que 1 ,2.En fait on montre plus pr´ecis´ement que la
n´egation de 1 :
X6=E,
est ´equivalente `a la n´egation de 2 :
9U, ouvert non-vide U\X=;.
En e↵et, X6=E´equivaut `a dire que le compl´ementaire de Xest non-vide. Comme il est
ouvert par d´efinition, il suffit de poser U=E\X. R´eciproquement, s’il existe un ouvert
non-vide Utel que X\U=;,alors E\Uest un ferm´e qui contient Xet donc X⇢E\U.
Comme Uest non-vide, E\Uest strictement inclus dans Eet on a termin´e.
2)3estdirectpuisqueB(x, r) est ouvert.
3)4.Fixons x2Eet prenons rn=1
n.Par 3, pour tout non peut trouver xn2
B(x, rn)\X. Il est alors im´ediat que cette suite converge vers x.
4)2.Soit Uun ouvert non-vide et soit x2U. Puisque Uest ouvert, il existe rtel que
B(x, r)⇢U. D’apr`es 4 on peut construire une suite d’´el´ements de Xqui tend vers x. Par
d´efinition de la convergence, cette suite entre dans B(x, r) `a partir d’un certain rang et donc
xn2U\Xpour tout nassez grand.
1. Stone, Marshall, 1903-1989 : math´ematicien am´ericain, Weierstrass, Karl-Theodor, 1815-1897 :
math´ematicien allemand
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Exercice 1. Dans un espace vectoriel norm´e Emontrer les implications suivantes
1. si Xest dense et Ycontient Xalors Yest dense.
2. Si Xest dense et Yest une partie telle que X⇢Y, alors Yest dense.
Exercice 2. Soit Eun espace vectoriel, N1et N2deux normes sur E. On suppose qu’une
partie Xest dense dans Epour la norme N1.Montrer que si N1contrˆole N2alors Xest
dense dans Epour la norme N2.
1.1 Un crit`ere de densit´e
On admettra les deux r´esultats suivants cons´equences du th´eor`eme de Hahn-Banach 2.
Lemme 1 (admis).Soit Eun espace de Banach et x6=0un ´el´ement de Ealors il existe une
forme lin´eaire continue ⇤sur Etelle que
8y2E, |⇤(y)|kyk,et
|⇤(x)|=kxk
Il est clair que si Xest dense alors une forme lin´eaire continue qui s’annule sur Xs’annule
sur E. La proposition suivante dit que, dans un espace de Banach, la r´eciproque est vraie.
Proposition 2 (admise).Soit Eun espace de Banach et X⇢E. Si Xn’est pas dense, il
existe une forme lin´eaire continue ⇤non-nulle telle que X⇢ker ⇤.
1.2 Utilisation de la densit´e
La notion de densit´e est tr`es importante. En e↵et, par continuit´e, on pourra souvent
´etendre une propri´et´e vraie sur un ensemble dense `a tout l’espace E. Par exemple, on a d´ej`a
vu que si ⇤est une forme lin´eaire nulle sur un ensemble dense alors elle est constamment
nulle.
On rappelle aussi ici le th´eor`eme de prolongement des applications uniform´ement continues
et son corollaire lin´eaire.
Th´eor`eme 1. Soit X⇢Eune partie d’un espace vectoriel norm´e, Fun espace de Banach, et
fune application uniform´ement continue de Xdans F. Alors il existe une unique application
uniform´ement continue gd´efinie de Xdans Ftelle que 8x2X, f(x)=g(x).
D´emonstration. Soit x2X, il faut d´efinir g(x).Par densit´e de Xdans X, il existe une
suite (xn)n0d’´el´ements de Xqui converge vers x. Examinons la suite (f(xn))n0dans Fet
montrons qu’elle est de Cauchy. En e↵et, par uniforme continuit´e :
8">0,9⌘>0,8x1,x
22X, [kx1x2k<⌘)kf(x1)f(x2)k<"].
Mais comme la suite (xn)n0converge dans X⇢E, elle est en particulier de Cauchy et il
existe donc n0tel que
8p, q > n0,kxpxqk<⌘.
2. Hahn, Hans, 1879-1934 : math´ematicien autrichien, Banach, Stefan, 1892-1945 : math´ematicien polonais.
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Mises bout `a bout, ces deux assertions entraˆınent que la suite (f(xn))n0est de Cauchy et donc
converge vers un ´el´ement que l’on note g(x).On peut remarquer que cet ´el´ement ne d´epend
pas de la suite initialement choisie. En e↵et, si on prend deux suites de Xqui convergent vers
le mˆeme x, la proc´edure pr´ec´edente construit un g1(x)etung2(x).En intercalant les deux
suites, on en construit une troisi`eme qui converge encore vers x. On obtient ainsi un g3(x)
qui, par unicit´e de la limite doit co¨ıncider avec g1(x)etg2(x).On v´erifie, par un passage `a la
limite que greste uniform´ement continue.
Dans le cas lin´eaire, l’uniforme continuit´e revient `a montrer une estimation.
Corollaire 1. Soit Eun espace vectoriel norm´e, Xun sous-espace vectoriel dense de E. Soit
Fun espace de Banach et Lune application lin´eaire de Xvers Xtelle que
9M, 8x2X, kL(x)kM·kxk.
Alors il existe une application lin´eaire continue ¯ Lqui prolonge Let telle que
8x2E, k¯ L(x)kM·kxk.
Remarque : Ce th´eor`eme sert dans l’extension de la transformation de Fourier `a L2(R).On
la d´efinit d’abord sur une partie dense X(soit L1\L2, soit la classe de Schwartz) par la
formule habituelle. On montre la formule de Plancherel pour les ´el´ements de X, ce implique
l’estimation n´ecessaire pour appliquer le th´eor`eme de prolongement.
2 Densit´e dans les espaces de fonctions continues
Dans ce chapitre, on consid´ere Kun espace m´etrique compact et E=C0(K, R)munide
la norme de la convergence uniforme.
2.1 Pr´eparation
Lemme 2 (de Dini 3).Soit Kun espace m´etrique compact et soit (fn)n0une suite de
fonctions de C0(K, R)qui converge simplement vers une fonction f. On suppose que
1. Pour tout x2K, la suite (fn(x))n0est croissante.
2. La limite simple fest continue.
Alors (fn)n0converge uniform´ement vers f.
D´emonstration. Fixons ">0.On pose
⌦n:= {x2K, fn(x)>f(x)"}.
Par hypoth`ese, la suite (⌦n)n0est une suite croissante d’ouverts (i.e. pour tout n, ⌦nest
ouvert et si pn, ⌦n⇢⌦p). Par ailleurs K=Sn0⌦net donc, par compacit´e de K(et
croissance de la suite (⌦n)n0), il existe un entier n0tel que
K=⌦
n0
3. Dini, Ulisse, 1845-1918, math´ematicien italien
3

On a donc montr´e que
8">0,9n0,8x2K, 8nn0,f(x)fn(x)fn0(x)f(x)".
Cette derni`ere ligne exprime la convergence uniforme de (fn)n0vers f.
On applique ce lemme de Dini `a la construction suivante.
Corollaire 2. Soit (Pn)n0la suite de polynˆomes d´efinie par r´ecurrence de la fa¸con suivante :
⇢P0(x)=0,
Pn+1(x)=Pn(x)+1
2x2P2
n(x).
La suite (Pn)n0converge uniform´ement sur [1,1] vers la fonction x7! |x|.
D´emonstration. V´erifions par r´ecurrence sur nla propri´et´e Pn:
Pn:8x2[1,1],0Pn(x)Pn+1(x)|x|.
Initialisation. Puisque P1(x)=1
2x2la propri´et´e P0est bien satisfaite.
H´er´edit´e. Supposons Pnvraie. On a alors par d´efinition
Pn+2(x)Pn+1(x)=1
2x2P2
n+1(x),
et cette quantit´e est positive par hypoth`ese de r´ecurrence. De plus, on a
Pn+2(x)= Pn+1(x)+1
2(|x|Pn+1(x)) (|x|+Pn+1(x))
=|x|+(Pn+1(x)|x|)+ 1
2(|x|Pn+1(x)) (|x|+Pn+1(x))
=|x|(|x|Pn+1(x)) ✓11
2(|x|+Pn+1(x))◆.
La derni`ere parenth`ese est positive et on trouve donc bien que Pn+2(x)|x|.
Conclusion. Ainsi la r´ecurrence s’applique et Pnest vraie pour tout n.
Pour tout x2[1,1] la suite (Pn(x))n0est donc croissante et major´ee par |x|,elle
converge donc vers une limite que l’on note `(x).D’apr`es la relation de r´ecurrence, on doit
avoir (x2`(x)2) = 0 et comme `(x)0 on en d´eduit `(x)=|x|.Ainsi, la suite de fonctions
(Pn)n0converge simplement vers x7! |x|.Le lemme de Dini s’applique et on en d´eduit que
la convergence est uniforme.
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2.2 un premier r´esultat de densit´e
On va d´emontrer un premier lemme assurant la densit´e d’une partie Xsous des hypoth`eses
convenables. Ces hypoth`eses seront ensuite remplac´ees par des hypoth`eses plus naturelles.
On rappelle que si uet vsont deux fonctions de C0(K, R) alors min(u, v) (res.max(u, v))
est la fonction qui, `a xassocie min(u(x),v(x)) (resp. max(u(x),v(x))) et que celle-ci n’a de
sens que lorsque les fonctions sont `a valeurs r´eelles.
Exercice 3. Montrer que si uet vsont continues alors min(u, v) et max(u, v) sont continues.
Lemme 3. Soit Kun compact m´etrique qui contient au moins deux ´el´ements. Soit X⇢
C0(K, R)une partie qui v´erifie les deux hypoth`eses suivantes.
1. 8u, v 2X, min(u, v)2X, et max(u, v)2X.
2. 8x1,x
22K, 8↵1,↵ 22R,9u2X, u(xi)=↵i,i=1,2.
Alors, Xest dense dans C0(K, R).
D´emonstration. Soit f2C
0(K, R)et">0,on va montrer qu’il existe w2Xtelle que
8x2K, f(x)"<w(x)<f(x)+".
Ainsi wappartiendra `a la boule de centre fet de rayon "et on aura bien montr´e que X
rencontre B(f,") pour toute fet tout ">0.
Fixons x2K. Pour tout y6=x, l’hypoth`ese 2 assure qu’il existe une fonction uy2Xtelle
que
uy(x)=f(x)etuy(y)=f(y).
On d´efinit alors l’ensemble Oycomme
Oy:= x02K, uy(x0)>f(x0)" .
Il est clair que Oyest un ouvert qui contient yet x. On a donc un recouvrement ouvert de
Ken consid´erant
[
y2K\{x}
Oy.
On extrait un sous-recouvrement fini Oy1,...,OyN.On pose vx:= max{uy1,...,u
yN}.Re-
marquons que, par construction vx(x)=f(x)et
8x02K, vx(x0)>f(x0)"
(parce que x0est dans un des Oyiet que vx(x0)uyi(x0)>f(x0)"). On pose maintenant
Ux:= x02K, vx(x0)<f(x)+" .
Comme vx(x)=f(x) on obtient un recouvrement ouvert de Kdont on peut extraire un
sous-recouvrement fini N1
[
j=1
Uxj.
On pose alors w:= min vxj,j=1,...,N
1 .Par construction, pour tout x02K,
f(x)"<w(x0)<f(x0)+".
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