A:\Sujets 2002\2002 MP Math 1.t

A 2002 Math MP 1
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
Filière MP
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1-Filière MP.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
Soit B n
n N
la suite des réels définis par les relations suivantes :
n
B0
1, B 1
1, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, B n
C pn B p .
1
p 0
Les réels C pn sont les coefficients du binôme ; le nombre réel C pn , noté aussi
n
, est
p
égal au cardinal de l’ensemble des parties ayant p éléments d’un ensemble ayant n éléments.
PREMIÈRE PARTIE
I-1. Fonction E :
Soit E la fonction définie sur la droite réelle R par la relation suivante :
Ex
exp exp x
x
ee .
a. Démontrer que la fonction E est développable en série entière sur la droite réelle R.
- 1/5 -
b. Étant donné un entier naturel n, soit A n le réel égal à la valeur de la dérivée n-ième de la
fonction E en 0 :
An
n
E
0 .
Démontrer, en admettant les conventions habituelles 0 0
An
k 0
0!
1, la relation suivante :
kn .
k!
c. Établir, pour tout entier naturel n n 0 , une relation de récurrence exprimant A n 1 en
fonction de A 0 , A 1 , , A n .
En déduire l’expression suivante du réel B n en fonction de A n :
1 An.
e
Bn
I-2. Comparaison de sommes infinies :
Soit u n n 1 une suite de réels strictement positifs u n 0 ; on suppose que, pour tout entier
naturel n, la série de terme général u k k n , k 1, 2, ..., est convergente. Soit U n sa somme :
uk kn.
Un
k 1
a. Démontrer que, pour tout entier p donné supérieur ou égal à 1 p 1 , lorsque l’entier n
croît vers l’infini, le réel U n est équivalent au reste d’ordre p de la série défini par la relation :
R p, n
u k n ; c’est-à-dire :
k p k
pour tout entier strictement positif p,
Un
uk kn.
R p, n
k p
b. Étant données deux suites u n n 1 et v n n 1 de réels strictement positifs
u n 0, v n 0 , démontrer que, si les réels u n et v n sont équivalents lorsque l’entier n croît
vers l’infini u n v n , les deux suites de réels U n , n 1, 2, et V n , n 1, 2, définis par les
relations suivantes :
uk kn,
Un
vk kn,
Vn
k 1
k 1
sont équivalentes, lorsque l’entier n croît vers l’infini :
Vn.
Un
I-3 Fonction f n :
Étant donné un entier n strictement positif n
réelle R par la relation suivante :
fn x
1 , soit f n la fonction définie sur la droite
0, si x
ex x
0,
x n 1/2
- 2/5 -
, si x
0.
Étant donné un entier n strictement positif n
suivante :
1 , soit s k le réel défini par la relation
sk
k
fn k .
a. Étudier, pour un entier n donné, la convergence de la série de terme général s k ,
0, 1, 2, ; soit S n la somme de cette série :
Sn
fn k .
k 0
b. Démontrer, lorsque l’entier n croît vers l’infini, l’équivalence suivante :
1
2
An
fn k .
k 0
DEUXIÈME PARTIE
Étant donné un réel strictement positif
0 , soit
, par la relation suivante :
demi-droite ouverte 0,
x
II-1.Étude de la fonction
:
a. Déterminer des équivalents de
x ln x
la fonction définie sur la
x
ln x.
x dans des voisinages de 0 et de l’infini.
sur la demi-droite ouverte 0,
b. Déterminer les variations de la fonction
particulier l’existence d’un réel en lequel la fonction
atteint son maximum.
; établir en
c. Soit la fonction qui, au réel , associe le réel . Démontrer que cette fonction , définie
sur la demi-droite 0,
, est continûment dérivable.
Pour tous réels x et
l’image par la fonction
strictement positifs, la relation ci-dessous, dans laquelle le réel
du réel
, est admise :
1
x
x
ln 1
x
x ln 1
est
x .
II-2. Maximum de la fonction f n :
a. Démontrer que, pour tout entier n strictement positif, la fonction f n admet un maximum en
un unique point n . Est-ce que la fonction f n est continûment dérivable sur la droite réelle R ?
b. Établir les propriétés suivantes vérifiées par les réels
i. En admettant les inégalités suivantes,
0
démontrer que les réels
1
1
n,
2
n
0, 1, 2,
2
1
2
2 ln 2
n
n
1 :
3,
2
vérifient les encadrements suivants :
; pour tout entier supérieur ou égal à 3 : n
- 3/5 -
n
n.
ii. le réel
n
est négligeable devant l’entier n lorsque l’entier n croît vers l’infini :
o n lorsque n
n
.
iii. pour tout réel compris strictement entre 0 et 1, le réel n est négligeable devant
lorsque l’entier n croît vers l’infini :
n
o
lorsque n
n
n,
.
TROISIÈME PARTIE
Étant donné un entier n strictement positif n
réelle R par la relation suivante :
1
gn x
fn
1 , soit g n la fonction définie sur la droite
fn
x
n
1
n
n
.
III-1. Propriétés de la fonction g n :
a. Vérifier, pour tout entier n strictement positif et tout réel x, la relation suivante :
fn x
fn
n
gn
n
n
x
n .
b. Donner l’allure du graphe de la fonction g n .
c. Démontrer que la suite de fonctions g n
expliciter cette fonction g.
n 1
converge simplement vers une fonction g ;
d. Démontrer qu’il existe un entier n 0 tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à n 0
n n 0 et tout réel x strictement supérieur à
n x
n , la fonction g n vérifie la
majoration suivante :
gn x
n
2
exp
x
n
x
n
ln 1
.
III-2 : Une majoration de la fonction g n :
a. Soit u la fonction définie par la relation suivante :
ux
1 x
x2
ln 1
x .
Démontrer que cette fonction se prolonge en une fonction dérivable sur la demi-droite
ouverte 1,
; démontrer que cette fonction u est décroissante sur cet intervalle. Préciser son
signe.
b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à l’entier n 0 introduit à la question
III-1.d, la fonction g n , définie sur la droite réelle, vérifie les majorations suivantes :
gn x
exp
x2
4
, si x
0 ;
gn x
- 4/5 -
exp
1 x
2
ln 1
x
, si x
0.
QUATRIÈME PARTIE
Recherche d’un équivalent du réel B n lorsque l’entier n croît indéfiniment.
IV-1. Intégrabilité de la fonction g n :
Démontrer que, pour tout entier n strictement positif, la fonction g n est intégrable sur la
droite réelle. Soit I n la valeur de son intégrale :
In
Démontrer que la suite de réels I n
suite est égale à 2 .
n 1
R
g n x dx.
est convergente. Il est admis que la limite de cette
IV-2. Un encadrement de la somme S n :
Étant donné un entier n strictement positif, d’après la question I-3.a, le réel S n est la somme
de la série de terme général f n k , k 0, 1, 2, .
Déterminer des réels K n et n tels que la somme S n soit encadrée de la manière suivante au
moyen de l’intégrale I n :
Kn In
n
Sn
Kn In
n
.
Les réels K n et n seront explicités en fonction de n, n et de la fonction f n . La suite n tend vers
0.
Indication : Soit p l’entier égal à la partie entière du réel n ; cet entier est défini par les
inégalités ci-dessous :
p
n
p
1.
Déterminer des encadrements des deux sommes S n ´ et S n ´´ définies par les relations suivantes :
p
Sn´
fn k
;
S n ´´
k 0
fn k .
k p 1
IV-3. Un équivalent du réel B n :
Déduire des résultats précédents un équivalent du réel B n lorsque l’entier n croît vers l’infini.
FIN DU PROBLÈME
- 5/5 -