A:\Sujets 2002\2002 MP Math 1.t

A 2002 Math MP 1
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
Filière MP
(Durée de l’épreuve :3 heures)
(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1-Filière MP.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
Soit BnnNla suite des réels définis par les relations suivantes :
B01, B11, pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 1, Bn1
p0
nCn
pBp.
Les réels Cn
psont les coefficients du binôme ; le nombre réel Cn p, noté aussi n
p, est
égal au cardinal de l’ensemble des parties ayant péléments d’un ensemble ayant néléments.
PREMIÈRE PARTIE
I-1.Fonction E:
Soit Ela fonction définie sur la droite réelle Rpar la relation suivante :
Exexpexpxeex.
a. Démontrer que la fonction Eest développable en série entière sur la droite réelle R.
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b. Étant donné un entier naturel n, soit Anle réel égal à la valeur de la dérivée n-ième de la
fonction Een 0 :
AnEn0.
Démontrer, en admettant les conventions habituelles 000! 1, la relation suivante :
An
k0
kn
k!.
c. Établir, pour tout entier naturel nn0, une relation de récurrence exprimant An1en
fonction de A0,A1,,An.
En déduire l’expression suivante du réel Bnen fonction de An:
Bn1
eAn.
I-2.Comparaison de sommes infinies :
Soit unn1une suite de réels strictement positifs un0; on suppose que, pour tout entier
naturel n, la série de terme général ukkn,k1,2,..., est convergente. Soit Unsa somme :
Un
k1
ukkn.
a. Démontrer que, pour tout entier pdonné supérieur ou égal à 1 p1, lorsque l’entier n
croît vers l’infini, le réel Unest équivalent au reste d’ordre pde la série défini par la relation :
Rp,nkp
ukkn; c’est-à-dire :
pour tout entier strictement positif p,UnRp,n
kp
ukkn.
b. Étant données deux suites unn1et vnn1de réels strictement positifs
un0, vn0 , démontrer que, si les réels unet vnsont équivalents lorsque l’entier ncroît
vers l’infini unvn, les deux suites de réels Un,n1,2,et Vn,n1,2,définis par les
relations suivantes :
Un
k1
ukkn,Vn
k1
vkkn,
sont équivalentes, lorsque l’entier ncroît vers l’infini :
UnVn.
I-3 Fonction fn:
Étant donné un entier nstrictement positif n1, soit fnla fonction définie sur la droite
réelle Rpar la relation suivante :
fnx0, si x0,
exxxn1/2, si x0.
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Étant donné un entier nstrictement positif n1, soit skle réel défini par la relation
suivante :
skfnk.
a. Étudier, pour un entier ndonné, la convergence de la série de terme général sk,
k0,1,2,; soit Snla somme de cette série :
Sn
k0
fnk.
b. Démontrer, lorsque l’entier ncroît vers l’infini, l’équivalence suivante :
An1
2
k0
fnk.
DEUXIÈME PARTIE
Étant donné un réel strictement positif 0, soit la fonction définie sur la
demi-droite ouverte 0, , par la relation suivante :
xxlnxxlnx.
II-1.Étude de la fonction :
a. Déterminer des équivalents de xdans des voisinages de 0 et de l’infini.
b. Déterminer les variations de la fonction sur la demi-droite ouverte 0, ; établir en
particulier l’existence d’un réel en lequel la fonction atteint son maximum.
c. Soit la fonction qui, au réel , associe le réel . Démontrer que cette fonction , définie
sur la demi-droite 0, , est continûment dérivable.
Pour tous réels xet strictement positifs, la relation ci-dessous, dans laquelle le réel est
l’image par la fonction du réel , est admise :
1xxln1x xln1x.
II-2.Maximum de la fonction fn:
a. Démontrer que, pour tout entier nstrictement positif, la fonction fnadmet un maximum en
un unique point n. Est-ce que la fonction fnest continûment dérivable sur la droite réelle R?
b. Établir les propriétés suivantes vérifiées par les réels nn1:
i. En admettant les inégalités suivantes,
01
22ln2 3 2,
démontrer que les réels n,n0,1,2,vérifient les encadrements suivants :
1122; pour tout entier supérieur ou égal à 3 : nnn.
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ii. le réel nest négligeable devant l’entier nlorsque l’entier ncroît vers l’infini :
nonlorsque n.
iii. pour tout réel compris strictement entre 0 et 1, le réel nest négligeable devant n,
lorsque l’entier ncroît vers l’infini :
nonlorsque n.
TROISIÈME PARTIE
Étant donné un entier nstrictement positif n1, soit gnla fonction définie sur la droite
réelle Rpar la relation suivante :
gnx1
fnnfnn1x
n.
III-1.Propriétés de la fonction gn:
a. Vérifier, pour tout entier nstrictement positif et tout réel x, la relation suivante :
fnxfnngnn
nxn.
b. Donner l’allure du graphe de la fonction gn.
c. Démontrer que la suite de fonctions gnn1converge simplement vers une fonction g;
expliciter cette fonction g.
d. Démontrer qu’il existe un entier n0tel que, pour tout entier nsupérieur ou égal à n0
nn0et tout réel xstrictement supérieur à nxn, la fonction gnvérifie la
majoration suivante :
gnxexp n
2x
nln 1 x n.
III-2:Une majoration de la fonction gn:
a. Soit ula fonction définie par la relation suivante :
ux1
x2xln1x.
Démontrer que cette fonction se prolonge en une fonction dérivable sur la demi-droite
ouverte 1, ; démontrer que cette fonction uest décroissante sur cet intervalle. Préciser son
signe.
b. En déduire que, pour tout entier nsupérieur ou égal à l’entier n0introduit à la question
III-1.d, la fonction gn, définie sur la droite réelle, vérifie les majorations suivantes :
gnxexp x2
4, si x0 ; gnxexp 1 2xln1x , si x0.
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QUATRIÈME PARTIE
Recherche d’un équivalent du réel Bnlorsque l’entier ncroît indéfiniment.
IV-1.Intégrabilité de la fonction gn:
Démontrer que, pour tout entier nstrictement positif, la fonction gnest intégrable sur la
droite réelle. Soit Inla valeur de son intégrale :
InRgnxdx.
Démontrer que la suite de réels Inn1est convergente. Il est admis que la limite de cette
suite est égale à 2.
IV-2.Un encadrement de la somme Sn:
Étant donné un entier nstrictement positif, d’après la question I-3.a, le réel Snest la somme
de la série de terme général fnk,k0,1,2,.
Déterminer des réels Knet ntels que la somme Snsoit encadrée de la manière suivante au
moyen de l’intégrale In:
KnInnSnKnInn.
Les réels Knet nseront explicités en fonction de n,net de la fonction fn. La suite ntend vers
0. Indication : Soit pl’entier égal à la partie entière du réel n; cet entier est défini par les
inégalités ci-dessous :
pnp1.
Déterminer des encadrements des deux sommes Sn´ et Sn´´ définies par les relations suivantes :
Sn´
k0
pfnk;Sn´´ 
kp1
fnk.
IV-3.Un équivalent du réel Bn:
Déduire des résultats précédents un équivalent du réel Bnlorsque l’entier ncroît vers l’infini.
FIN DU PROBLÈME
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