Dénombrements 3

1
Dénombrements
Chapitre 1
Des ensembles particuliers d’entiers
Le nombre d’éléments d’un ensemble fini (5 minutes) ........................................ 2
Le nombre d’éléments d’un intervalle d’entiers (3 minutes) ................................ 3
Exemples d’intervalles d’entiers (3 minutes) ........................................................ 4
Exercices de « prise en main » 1, 2, 3, 4(6 minutes)............................................. 5
La somme des n premiers entiers naturels (3 minutes) ......................................... 6
La somme des entiers d’un intervalle (3 minutes) ................................................ 7
Exercices de « prise en mains » 5, 6, 7(10 minutes) ............................................. 8
Solution des exercices 6 et 7(10 minutes) ............................................................. 9
Solution des exercices 6 et 7(10 minutes) ............................................................. 9
Amusement (3 minutes) ...................................................................................... 10
Somme quadratique des entiers d’un intervalle (6 minutes) .............................. 11
L’ensemble des diviseurs (6 minutes) ................................................................. 12
Nombres Premiers (4 minutes) ............................................................................ 13
Règle pour vérifier qu’un nombre est premier (4 minutes) ................................ 14
Tout le monde connaît cela !

2
Le nombre d’éléments d’un ensemble fini (5 minutes)
On considère que l’on sait ce que veut dire « E est un ensemble fini » et « n est
le nombre des éléments de l’ensemble fini E ».
Le nombre d’éléments d’un ensemble E fini est un entier naturel souvent
noté .E
N désigne l’ensemble des entiers naturels: N
{
}
......3;2;1;0
=
N* désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls
:
N*
{
}
.......;3;2;1
=
.
Z désigne l’ensemble des entiers naturels : Z
{
}
.....;3;2;1;0;1;2;3...
−
−
−
=
Z, N* et N ne sont pas des ensembles finis.
Si E est vide alors 0E
=
et si E n’est pas vide alors .0E
≠
Parfois on sait que E est un ensemble fini mais on ne connaît pas la valeur de
l’entier .E
Parfois on sait que E est un ensemble fini mais on ne connaît qu’une valeur
approximative de l’entier .E Si cette valeur approximative est m .mE:
≈
Exemple
La masse d’un électron est kg
30
1083,0
−
×. La masse moyenne d’une étoile est
évaluée à .kg
30
102× Une galaxie contient à peu près 200 milliards d’étoiles et
l’Univers contient à peu près 12 103×galaxies.
Soit E l’ensemble des électrons de l’Univers .
84
10E: ≈
Exercice rapide
1) Vérifier que l’Univers contient à peu près
84
10
électrons.
2) Convertir 15 milliards d’années en secondes (donner le résultat sous la forme
.)
n
10p ×
3) La vitesse de la lumière est 300000 km par seconde ; quel est le nombre de
calculs effectués par un ordinateur cadencé à
GHz
1
pendant que la lumière
parcourt 6 mètres ?

3
Le nombre d’éléments d’un intervalle d’entiers (3 minutes)
Notation
Si
∈
a
Z et
∈
a
Z
[
]
[
]
b;a: désigne l’ensemble des entiers relatifs u tels que
.
b
u
a
≤
≤
Si
b
a
>
alors
[
]
[
]
b;a est vide
[
]
[
]
.0b;a:alorsbasi:
=
>
Si
b
a
≤
alors
[
]
[
]
b;a n’est pas vide
[
]
[
]
.0b;a:alorsbasi:
≠
≤
Vocabulaire
On dit souvent : «
[
]
[
]
b;a est un intervalle d’entiers ».
Remarque
La notation
[
]
b;a désigne l’ensemble de tous les nombres réels x tels que
b
x
a
≤
≤
Ainsi :
[
]
[
]
4;2 n’est constitué que des 3 entiers 2, 3 et 4 alors que
[
]
4;2 est
constitué d’un nombre infini d’éléments par exemple
π
appartient à cet
ensemble.
Notation plus visible mais peu rigoureuse
[
]
[
]
{
}
[
]
[
]
{
}
...etcb;1a......;;1a;ab;ab,......ab;a
−
+
=
=
Le nombre d’éléments d’un intervalle d’entiers
Propriété (à ne jamais oublier)
[ ][ ]
1abb;a:alorsbaSi +−=≤
Ne jamais oublier
1
+
[
]
[
]
{
}
b;1b.....;;1a;ab;a
−
+
=
L’ensemble
{
}
b;1b.....;;1a;a
−
+
contient
1
a
b
+
−
nombres.
L’ensemble
{
}
pa;1pa.....;;1a;a
+
−
+
+
contient
1
p
+
nombres.

4
Exemples d’intervalles d’entiers (3 minutes)
L’ensemble
[
]
[
]
{
}
nn;n
=
contient
1
1
n
n
=
+
−
nombre.
L’ensemble
[
]
[
]
=
−
n;1n
{
}
n;1n
−
contient
2
1
)
1
n
(
n
=
+
−
−
nombres.
L’ensemble
[
]
[
]
9;0
{
}
9......;.1;0
=
contient 10 nombres.
L’ensemble
[
]
[
]
=
n;0
{
}
n......;;.1;0 contient
1
n
+
nombres si
∈
n
N.
L’ensemble
[
]
[
]
=
147;53
{
}
147;146......;;.54;53 contient
1
53
147
+
−
nombres.
L’ensemble
[
]
[
]
=
−
147;53
{
}
147;146..;;.52;53
−
−
contient
1
53
147
+
+
nombres.
La construction d’un intervalle d’entiers avec un nombre prévu d’éléments
On connaît l’entier n, quel doit être la valeur de l’entier a pour que le nombre
d’éléments de l’ensemble des entiers
{
}
n......;;1a;a
+
soit p (avec
0
p
≥
) ?
Réponse
.
1
p
n
a
:
donc
p
1
a
n
+
−
=
=
+
−
Le nombre d’éléments de l’intervalle d’entiers
{
}
n......;;2pn;1pn
+
−
+
−
est p.
[
]
[
]
pn;1pn
=
+
−
(Avec
0
p
≥
)
Exemples
Si
0
p
=
on trouve bien
[
]
[
]
.0n;1n
=
+
Si
1
p
=
on trouve bien
[
]
[
]
.1n;n
=
Si
:
2
p
=
[
]
[
]
.2n;1n
=
−
Si
:
3
p
=
[
]
[
]
{
}
3n;1n;2nn;1n
=
−
−
=
−
Exercice rapide
Quel doit être l’entier a pour que l’intervalle d’entiers
{
}
5......;;a soit composé
de 10000 nombres ?
Réponse
{
}
.entiers10000decomposéest5;4.......;;9992;9993;9994:9994a
−
−
−
−
=

5
Exercices de « prise en main » 1, 2, 3, 4(6 minutes)
Exercice 1
1) Quel est le nombre d’entiers i qui vérifient
?
100
i
100
≤
≤≤
≤
≤
≤≤
≤
−
−−
−
2) Quel est le nombre d’entiers j qui vérifient
?
100
j
100
≤
≤≤
≤
<
<<
<
−
−−
−
3) Quel est le nombre d’entiers k qui vérifient
?
100
j
100
<
<<
<
≤
≤≤
≤
−
−−
−
4) Quel est le nombre d’entiers s qui vérifient
?
100
s
100
<
<<
<
<
<<
<
−
−−
−
Réponses (à vérifier)
1)201 2)200 3)200 4)199
Exercice 2
∈
a
N*
1) Quel est le nombre d’entiers i qui vérifient
?
a
i
a
≤
≤
−
2) Quel est le nombre d’entiers j qui vérifient
?
a
j
a
≤
<
−
3) Quel est le nombre d’entiers k qui vérifient
?
a
j
a
<
≤
−
4) Quel est le nombre d’entiers s qui vérifient
?
a
s
a
<
<
−
Réponses (à vérifier)
1)
1
a
2
+
2)
a
2
3)
a
2
4)
1
a
2
−
Exercice 3
1) Donner en fonction des entiers N et k
N
≤
≤≤
≤
le nombre de facteurs du produit
).
1
k
N
).......(
2
N
)(
1
N
(
N
+
++
+
−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−
2) Comment note-on ce produit si
?
N
k
=
==
=
3) Donner en fonction des entiers N et k
1
N
−
−−
−
≤
≤≤
≤
le nombre de facteurs du produit
).
1
k
N
)...(
3
N
)(
2
N
)(
1
N
(
+
++
+
−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−
4) Donner en fonction des entiers N et k
1
N
−
−−
−
≤
≤≤
≤
le nombre de facteurs du produit
).
k
N
)...(
3
N
)(
2
N
)(
1
N
(
−
−
−
−
Réponses (à vérifier)
1)
[
]
[
]
kN;1kN
=
+
−
2)
!
N
3)
1
k
−
4) k
Exercice 4
Pour
1
n
≥
Combien existe-t-il de nombre non nuls à n chiffres (écrits dans le
système décimal) ?
Appliquer le résultat à
.
1
n
=
Réponses (à vérifier)
1n
10
n
10
−
−
{ }
)9;8;7;6;5;4;3;2;19
0
10
1
10( ==−