Théorème de Hadamard-Lévy

Développement: Théorème de Hadamard-Lévy
Adrien Fontaine
8 octobre 2013
Théorème 1 (Hadamard-Lévy)
Soit fune application de classe C1de Rndans lui même. Les propriétés suivantes sont équi-
valentes :
1. fest un difféomorphisme de Rnsur Rn.
2. fest propre et, pour tout x∈Rn, la matrice jacobienne Df (x)est inversible.
Une application est dite propre si l’image réciproque de tout compact est compacte. Lorsque Rn
est l’espace de départ et d’arrivée, cela revient à dire que kf(x)ktend vers l’infini quand kxk
tend vers l’infini.
Démonstration : La preuve de ce résultat n’est pas simple, cependant si fest de classe C2,ilya
une preuve abordable que l’on présente ici. On suppose donc désormais que fest de classe C2.
–1) ⇒2) :f−1étant continue, elle envoie un compact sur un compact donc fest propre.
Ensuite, comme f−1◦f=Id, on a d(f−1)(f(x)) ◦df(x) = Id, donc df est inversible en tout
point.
–2) ⇒1) :
1. Montrons que fest surjective.
Pour cela on montre que f(Rn)est un ouvert/fermé de Rnet donc que f(Rn) = Rn
par connexité de Rn.
Soit y0∈f(Rn)et x0∈Rntel que f(x0) = y0. D’après le théorème d’inversion locale,
fest un difféomorphisme d’un voisinage Vde x0sur un voisinage Wde y0, alors
W=f(V)⊂f(Rn), donc f(Rnest ouvert.
Soit (yk)k∈N∈f(Rn)Ntelle que yk→y∈Rnquand k→ ∞. Posons K={yk, k ∈
N}∪{y}qui est un compact de Rn. Soit (xk)k∈Ntel que f(xk) = ykpour tout k, on
axk∈f−1(K)qui est un compact puisque fest propre. Il existe donc une sous-suite
convergente xki→xdans Rnquand i→ ∞. Alors par continuité de f,yki=f(xki)→
f(x)∈f(Rn)d’où par unicité de la limite y=f(x)∈f(Rn), ce qui montre que f(Rn)
est fermé.
2. Montrons que fest injective.
C’est ici que l’on va utiliser l’hypothèse f∈C2.
Soit x0∈Rn. On considère la fonction g(x) = f(x)−f(x0). Elle vérifie les deux
conditions de 2) à savoir gpropre et le déterminant du jacobien est partout non nul.
Il nous faut montrer que l’ensemble S={x/g(x)=0}est réduit à un point {x0}.
(a) Sa un nombre fini d’éléments.
En effet, Sest compact car gest propre (S=g−1({0})). Si Savait un nombre
infini d’éléments (xk), il y aurait dans Sun point d’accumulation q. Comme |
Jacq(g)|6= 0, il existe un voisinage Vde qtel que gsoit un difféomorphisme de V
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sur h(V). En particulier, gest injective. Or, dans V, il y a au moins un xk6=qet
on a g(xk) = g(q)=0ce qui contredit l’injectivité de g.
(b) Notons S={p1, ..., pN}. On va montrer que N= 1.
On considère la fonction
F(x)=[dg(x)]−1g(x)
Cette fonction est bien définie et de classe C1sur Rnpar hypothèse sur f. On
introduit alors le système différentiel suivant :
(˙x(t) = −F(x(t))
x(0) = q
où q∈Rn. On appelle alors trajectoire issue de qune solution du problème de
Cauchy ci-dessus. Puisque F∈C1, ce problème admet une solution maximale
définie sur [0, T ∗[. Soit xune telle solution.
Assertion 1 :T∗= +∞.
En effet, pour t∈[0, T ∗(, on a :
d
dt[g(x(t))] = dg(x(t)) ˙x(t)
=−dg(x(t))(dg(x(t)))−1g(x(t))
=−g(x(t))
Donc, g(x(t)) = e−tg(q)
Donc,
kg(x(t))k≤kg(q)kcar t≥0
x(t)∈g−1(B(0,kg(q)k)) qui est un compact car gest propre. Donc, T∗= +∞
d’après le lemme de sortie de tout compact (ou théorème de majoration a priori).
Assertion 2 : Chaque piest un point asymptotiquement stable. Autrement dit,
F(pi)=0et ∃δ > 0tel que si xest une trajectoire issue de qtelle que |q−pi|< δ
alors limt→+∞x(t) = pi.
On a tout d’abord F(pi)=[dg(pi)]−1g(pi)=0car g(pi)=0.
Ensuite, gest un difféomorphisme d’une boule B(pi, δ)sur un voisinage Vde 0.
Soit y∈Vet q=g−1(y)∈B(pi, δ). La fonction x(t) = g−1(e−ty)est la trajectoire
issue de q. En effet, x(0) = g−1(y) = qet
˙x(t) = d(g−1)(e−ty)(−e−ty)
=−d(g−1)(g(x(t))g(x(t))
=−[dg(x(t))]−1g(x(t))
=−F(x(t))
C’est donc par unicité la trajectoire issue de q. Mais alors
lim
t→+∞x(t) = lim t→+∞g−1(e−ty) = g−1(0) = pi
Soit Wil’ensemble des points q∈Rntel que la trajectoire issue de qconverge vers
piquand t→+∞.
Assertion 3 :Rn=SN
i=1 Wi
Soit q∈Rnet x(t)la trajectoire issue de q. On a vu dans l’assertion 1, que x(t)
reste dans un compact pour tout t≥0. Il existe donc tk→+∞telle que x(tk)
converge vers l. Mais donc g(l)=0(car g(x(t)) = e−tg(q)), donc l=pipour un

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certain i.
Fixons k0assez grand pour que x(tk)∈B(pi, δ)où δest défini dans l’assertion 2.
Alors la trajectoire y(t)issue de x(tk0)converge vers pi. Or, la fonction z(t) = x(t+
tk0)est aussi trajectoire issue de x(tk0). Par unicité globale, on a x(t+tk0) = y(t)
et donc x(t)→pilorsque t→+∞.
Assertion 4 : Chaque Wiest ouvert.
Soit q∈Wiet x(t)la trajectoire issue de q. Il existe par définition de Wi,T > 0
tel que |x(T)−pi|≤ δ/2. Soit yla trajectoire issue de q0∈Rn. Par continuité des
solutions par rapport aux conditions initiales, il existe ε > 0tel que |q−q0|≤ ε
implique |x(T)−y(T)|≤ δ/2. Alors
|y(T)−pi|≤| y(T)−x(T)|+|x(T)−pi|≤ δ
Il résulte de l’assertion 2 que y(t)converge vers pilorsque t→+∞,i.e q0∈Wiet
B(q, ε)⊂Widonc Wiest ouvert.
Assertion 5 :N= 1
Chaque Wiest un ouvert non vide et Wi∩Wj=∅si i6=j(si N≥2), et
Rn=∪N
i=1Wi.
Si N≥2, cela contredit la connexité de Rn. Donc, N= 1 !
Remarque 1
J’ai trouvé deux applications et un exemple d’utilisations du théorème de Hadamard-Lévy sur
internet :
•http: // grenoblesciences. ujf-grenoble. fr/ pap-ebooks/ lafontaine/ sites/ default/
files/ pdf/ CP3_ 1. pdf
•http: // www. les-mathematiques. net/ phorum/ read. php? 4,357443,357532,quote=
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