Chapitre 4.9 – Le champ magnétique généré par un solénoïde

Chapitre 4.9 – Le champ magnétique généré
par un solénoïde
Champ de deux boucles espacées
Si l’on courbe notre ligne de courant en
cercle, on peut définir l’orientation du
champ magnétique à l’aide de la règle de la
main droite.
Considérons les deux anneaux portant des courants de même intensité et de même sens.
Si l’on étudie la forme du champ
magnétique produit par les points 1 et 2, on
réalise que le champ magnétique provient
de deux courants parallèles de sens
identique. Nous avons déjà résolu ce
problème.
De plus, si l’on étudie la forme du champ
magnétique produit par les points 1 et 3, on
réalise que le champ magnétique provient
d’une spire unique. Nous avons également
déjà résolu ce problème.
Ainsi, on peut déduire la forme complète
du champ magnétique autour de deux
spires.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Champ d’un solénoïde
Définition : Un solénoïde est un enroulement d’un fil conducteur formant plusieurs spires
parallèles. Le solénoïde représente ainsi une séquence de bobine.
Si l’enroulement n’est pas trop serré, on
retrouve la forme d’un champ magnétique
produits par deux spires tel que décrit à la
section précédente.
Si l’enroulement est très compact, le
champ magnétique autour de chaque fil
devient nul puisque les courants sont très
près les uns des autres. L’addition
vectorielle du champ magnétique autour de
chaque fil est donc nulle.
On remarque ici que le solénoïde parcouru d’un courant produit un champ magnétique
de la même forme qu’un aimant (avec pôle nord et pôle sud). Ainsi, le solénoïde devient
un électro-aimant.
Champ magnétique sur l’axe central d’un solénoïde
Le module du champ magnétique généré sur l’axe central d’un solénoïde dépend du courant
I circulant dans le solénoïde et de la densité de spires n. De plus, le module dépend de la
distance entre le point P et le solénoïde et la taille du solénoïde le tout représenté à l’aide de
deux angle α 1 et α 2 :
B=
où
µ0 n I
2
I
α1
cos(α 2 ) − cos(α1 )
α2
B : Champ magnétique sur l’axe centrale au point P (T)
n : Nombre de spires par unité de longueur ( n = N / L )
I
: Courant électrique (A)
Côté 2
Côté 1
L
α 1 : Angle pour positionner Côté 1 par rapport au point P
α 2 : Angle pour positionner Côté 2 par rapport au point P
µ 0 : Constante magnétique, µ 0 = 4π × 10 −7 Ns 2 / C 2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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P
B
Preuve :
Afin d’évaluer le champ magnétique généré par un solénoïde, utilisons la solution du
champ magnétique généré par une bobine de largeur L:
I
Champ magnétique généré
par une bobine :
B=N
µ0 I
2R
a
P
α
B
sin 3 (α )
L
Puisqu’un solénoïde est un regroupement de plusieurs bobines placé côte à côte, nous
allons découper notre solénoïde en plusieurs petites tranches de largeur dx comprenant une
densité de spires n. Ces tranches représentent des bobines formées à l’aide d’un nombre
infinitésimal de spires dN = n dx . On pourra remplacer dans notre formule précédente le N
par dN :
Champ magnétique infinitésimal :
x
v
µ I
dB = dN 0 sin 3 (α ) nˆ
2R
et
P
v
dB
dN = n dx
v
nˆ = i (règle main droite)
I
R
α
dx
Puisque l’angle α est une fonction de x, évaluons l’intégrale sur l’angle α (car la solution
est exprimé en fonction de α 1 et α 2 ) ce qui nous oblige à introduire des relations
trigonométrique entre x et α :
tan (α ) =
R
x
R
tan (α )
⇒
x=
⇒
dx =
− R sec 2 (α )
dα
tan 2 (α )
⇒
dx =
− R 1 / cos 2 (α )
dα
sin 2 (α ) / cos 2 (α )
( sec(x ) = 1 / cos(x ) , tan ( x ) = sin ( x ) / cos( x ) )
⇒
dx =
− R dα
sin 2 (α )
(Simplifier)
(
(
(Isoler x)
(Dérivée :
)
)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
2
d
(1 / tan ( x )) = − sec 2 (x ) )
dx
tan ( x )
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Évaluons à l’aide d’une sommation
continue
de
champs
magnétiques
v
infinitésimaux dB le champ magnétique
total au point P en se basant sur le schéma
ci-contre :
•
•
•
dN = n dx
− R dα
dx =
sin 2 (α )
v
nˆ = i (règle main droite)
x
P
v
dB
I
R
α
dx
v
µ I
dB = dN 0 sin 3 (α ) nˆ
2R
Ainsi :
v
v
B = ∫ dB
⇒
v
µ I
B = ∫ dN 0 sin 3 (α ) nˆ
2R
v
µ I
(Remplacer dB = dN 0 sin 3 (α ) nˆ )
2R
⇒
v
v
µ I
B = ∫ (n dx ) 0 sin 3 (α ) (i )
2R
(Remplacer dN et n̂ )
⇒
v µ nI
v
B = 0 ∫ sin 3 (α ) dx i
2R
(Factoriser les constantes)
⇒
v µ nI

Rdα  v
 i
B = 0 ∫ sin 3 (α ) −
2
2R
 sin (α ) 
(Remplacer dx)
⇒
v
v
µ nI
B = − 0 ∫ sin (α ) dα i
2
(Simplifier et factoriser consantes)
⇒
α
v
v
µ0 n I 2
B=−
sin
(
α
)
d
α
i
2 α =∫α1
(Borne : α = α 1 → α 2 )
⇒
v
µ nI
α v
B = − 0 [− cos(α )]α12 i
2
(Résoudre l’intégrale : ∫ sin ( x )dx = − cos( x ) )
⇒
v µ nI
α v
B = 0 [cos(α )]α12 i
2
(Factoriser signe négatif)
⇒
v µ nI
v
B = 0 (cos(α 2 ) − cos(α 1 )) i
2
(Évaluer l’intégrale)
⇒
B=
µ0n I
2
cos(α 2 ) − cos(α 1 )
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Évaluer seulement le module du champ B)
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Situation A : Dans un solénoïde. Un solénoïde de 10 000 tours possède une longueur de
20 cm et un rayon de 5 cm. La résistance totale du fil utilisé pour produire l’enroulement
est de 2 Ω. On branche ce solénoïde à une pile de 0,5 V. On désire évaluer le module du
champ magnétique produit à 5 cm du centre du solénoïde.
Évaluons le courant électrique qui circule dans le solénoïde : (Loi d’Ohm)
∆V = R I
⇒
I=
∆V
R
⇒
I=
(0,5)
(2)
⇒
I = 0,25 A
Schéma des mesures des angles :
Côté 1
Côté 2
α2
α1
P
5 cm
5 cm
15 cm
Nous avons les informations suivantes selon la géométrie du problème :
• Courant circulant dans le fil :
I = 0,25 A
• Densité de spire :
n=
• Angle α 1 :
tan (α 1 ) =
N (10 000 )
=
L
(0,20)
(5)
(5)
(5)
tan (α ) =
(15)
• Angle α 2 :
⇒
n = 50 000 m -1
⇒
α 1 = 45°
⇒
α = 18,43°
⇒
α 2 = 161,6°
Évaluons le module du champ magnétique au point P :
B=
µ0 n I
2
(4π × 10 )(50 000)(0,25) cos(161,6°) − cos(45°)
−7
cos(α 2 ) − cos(α1 ) ⇒
B=
2
⇒
B = 7,85 × 10 −3 − 1,656
⇒
B = 1,30 × 10 −2 T
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
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Exercice
4.9.X La superposition des champs magnétiques de deux solénoïdes. Le schéma cidessous illustre un montage qui comporte deux solénoïdes, A (13 tours) et B (7 tours).
Les fils qui forment les solénoïdes ont un rayon de 1 mm et sont faits d’un matériau dont
la résistivité est égale à 2 × 10 −6 Ω ⋅ m . (a) Calculez la résistance des fils des solénoïdes A
et B. (b) Calculez le champ magnétique généré au point P par le montage des deux
solénoïdes. Dans tous les calculs, négligez les segments de fils qui servent de connexion
entre les piles et les solénoïdes.
10 cm
y
25 cm
x
12 V
A
10 cm
25 cm
B
P
•
10 cm
15 cm
10 V
Solution
4.9.X La superposition des champs magnétiques de deux solénoïdes.
Évaluons les paramètres géométriques du solénoïde A et B :
Rayon fil :
R = 1 mm = 0,001 m
Résistivité fil :
ρ = 2 × 10 −6 Ω ⋅ m
Circonférence fil A :
C A = πD A = π (0,1) = 0,314 m
Circonférence fil B :
C B = πD B = π (0,1) = 0,314 m
Surface circulaire A et B :
A = πR 2 = π (0,001) = 3,141 × 10 −6 m 2
2
Supposons que la longueur du fil sur le solénoïde est comptée de la façon suivante :
l = N ∗C
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Voici la longueur du fil composant le solénoïde A et B :
N A = 13 spires
l A = N A ∗ C A = (13)(0,314) ⇒
l A = 4,082 m
N B = 7 spires
l B = N B ∗ C B = (7 )(0,314)
⇒
l B = 2,198 m
(a) Évaluons la résistance des fils des solénoïdes avec la formule de la résistivité :
R=ρ
l
A
⇒
RA = ρ
lA
(4,082 ) ⇒
= 2 × 10 −6
A
3,141 × 10 −6
R A = 2,60 Ω
RB = ρ
lB
(2,198) ⇒
= 2 × 10 −6
A
3,141 × 10 −6
R B = 1,40 Ω
(
(
)(
)(
)
)
Évaluons les courants électriques qui circulent dans les solénoïdes A et B à partir de leur
résistance et de la loi d’Ohm :
∆V
∆V = R I
⇒
I=
R
∆V A ε A
(12)
I A = 4,62 A
Pour A :
IA =
=
=
⇒
RA
R A (2,60 )
Pour B :
IB =
∆VB ε B
(10 )
=
=
RB
RB (1,40 )
⇒
I B = 7,14 A
Avec la solution du champ magnétique produit par un solénoïde, évaluons le champ magnétique
produit par les solénoïdes A et B :
µ nI
B = 0 (cos(α 2 ) − cos(α 1 ))
2
Information sur le solénoïde A :
v
v
La direction de B A :
j
NA
(13)
=
L A (0,25)
Spires :
nA =
Angles :
tan (α A1 ) =
tan (α A 2 ) =
Champ :
⇒
⇒
⇒
n A = 52 spires/m
0,05
0,10
⇒
α A1 = 26,57°
0,05
0,10 + 0,25
⇒
α A2 = 8,13°
v
v
µ n I
B A = 0 A A (cos(α A 2 ) − cos(α A1 )) j
2
v
v
4π × 10 −7 (52 )(4,62 )
BA =
(cos(8,31°) − cos(26,57°)) j
2
v
v
B A = 14,4 × 10 −6 j T
(
)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Information sur le solénoïde B :
v
v
i
La direction de B B :
NB
(7 )
=
LB (0,25)
Spires :
nB =
Angles :
tan (α B1 ) =
tan (α B 2 ) =
Champ :
⇒
⇒
⇒
n B = 28 spires/m
0,05
0,15
⇒
α B1 = 18,43°
0,05
0,15 + 0,25
⇒
α B 2 = 7,13°
v
v
µ n I
B B = 0 B B (cos(α B 2 ) − cos(α B1 )) i
2
v
v
4π × 10 −7 (28)(7,14 )
BB =
(cos(7,13°) − cos(18,43°)) i
2
v
v
B B = 5,47 × 10 −6 i T
(
)
(b) Évaluons le champ magnétique total au point P sous forme vectorielle :
v
v v
v
v
v
B = 5,47 i + 14,4 j × 10 −6 T
B = B A + BB ⇒
(
)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
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