Marches aléatoires transientes en dimension 2

Journés de Probabilités 2008
USTL-Université de Lille I, 05 septembre,
10h50–11h20.
Marches aléatoires transientes en
dimension 2
E-mail: [email protected]
Collaboration avec N. Guillotin-Plantard (Lyon I)
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Plan
I Marche aléatoire simple sur Zd.
II Marches aléatoires sur réseaux orientés.
III Réseaux dynamiquement orientés.
IV Résultats :
1. Critère de transience.
2. Loi des grands nombres.
3. Théorèmes limites fonctionnels.
4. Dépendance asymptotique
V Preuve : embarquement en scène aléatoire.
VI Questions ouvertes et perspectives.
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Marche aléatoire simple sur Zd
Chaı̂ne de Markov homogène M = (Mn)n∈N:
∀x, y ∈ Zd, (e1, . . . , ed) vecteurs unités de Zd,
P[Mn+1 = y | Mn = x] =

1

 2d
si y = x ± ed


sinon.
0
Comportements asymptotiques :
• Récurrence vs Transience.
• Lois des grands nombres (LFGN).
• Théorème central limite (TCL).
• Loi du logarithme itéré (LLI).
• Principes de grandes déviations (PGD).
• Théorème central limite fonctionnel (TCLF).
• Théoreme limite local (TLL).
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Récurrence versus Transience
M.a. simple partant de l’origine (M0 = 0):
À quelle fréquence la marche revient-elle à
l’origine ?
Récurrence :
P limsupn{Mn = 0} := P ∩ni=1 ∪k≥i{Mn = 0} = 1.
P. tous les points sont visités un infinité de fois
Transience :
n
P limsupn{Mn = 0} := P ∩i=1 ∪k≥i{Mn = 0} = 0.
P. tout point est visité un nombre fini de fois
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Tous les chemins mènent à Rome....
Théorème 1:
La marche aléatoire simple est récurrente sur
Z et Z2.
Preuve: Combinatoire, théorème limite local, propriété
de Markov forte
+ caractérisation via fonctions génératrices
....sauf les chemins cosmiques !
Théorème 2:
La marche aléatoire simple est transiente sur
Zd, ∀d ≥ 3.
Preuve: Borel-Cantelli
X
P[Mn = 0] < +∞ =⇒ P[limsupn{Mn = 0}] = 0
n≥0
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Propriétés asymptotiques en dimension 1
Y = (Yn)n∈N marche aléatoire simple sur Z
Loi des Grands Nombres
Yn
−→ 0 P − p.s., en P et dans L2
n
Théoreme Central Limite
Yn
√ =⇒L N (0, 1)
n
Loi du Logarithme itéré
∀ > 0, lim
n→∞
lim sup √
n
Yn
n1/2+
= 0,
Yn
= 1,
2n log log n
P−p.s.
P−p.s.
Théoreme Limite Local
C
P[Y2n = 0] ≈ √
n
Théoreme Central Limite Fonctionnel
Y [nt]
=⇒D Bt)t≥0
√
n t≥0
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Marche aléatoire sur un réseau orienté
Orientations horizontales: = (y )y∈Z
y
= +1
⇐⇒
Niveau y oriente0 vers la gauche
y
= −1
⇐⇒
Niveau y oriente0 vers la droite
Exemples
• Réseau alterné déterministe L: y = (−1)y
extention aux orientations périodiques
• Réseau bidirectionnel H: y = 1y≥0 − 1y<0
extention à des bandes unidirectionnelles infinies
• Réseau aléatoirement orientés L: aléatoire
Loi de (y )y∈Z
⇐⇒
champ aléatoire Q
Q (non)-produit, (in)homogène
• Réseaux dynamiquement orientés :
Q dérivée d’un système dynamique
(avec exportation de corrélations éventuelles)
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Résultats de récurrence et de transience
• Réseau alterné déterministe L ([CP1])
Thm 3: La marche aléatoire simple sur L est récurrente
• Réseau bidirectionnel H ([CP2])
Thm 4: La m.a. simple sur H est transiente
• Réseau aléatoirement orientés L ([CP1])
Q produit homogène
Thm 5:
Pour des v.a. y i.i.d. and centrées, la marche
aléatoire simple sur L est transiente pour Q-p.t.().
• Réseaux dynamiquement orientés ([GPLN1],[P])
Transience pour centrées ”pas trop déterministes”
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Réseaux dynamiquement orientés
Système dynamique S = (E, A, µ, T ), T µ = µ
fonction de génération f : E −→ [0, 1],
R
E
f dµ =
1
2
Cas ”Quenched”:
Loi Q = P(x)
produit pour x ∈ E fixé
T
(x)
(x)
y
P(x)
T = ⊗y PT,y , avec PT,y [y = +1] = f(T x)
.
Cas ”annealed”:
Q = Pµ, µ-moyennisation sur x ∈ E
Z
Pµ[ ∈ A] =
E
P[x)
T [ ∈ A]dµ(x)
Marginales:
Z
Pµ[y = +1] =
f (T y x)dµ(x) =
E
Z
f dµ =
E
1
2
Corrélations:
Covµ (0 y ) = 4.Cyµ (f) = 4
Z
f(x)f(Ty (x))dµ(x) − 1
E
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Critère de transience et LGN
Transience sur réseaux dynamiquement orientés
Théorème 6 [GPLN1]:
Z
1
p
Si
dµ < +∞,
f (1 − f )
E
alors
1. Dans le cas ”annealed”, pour Pµ -p.t. orientation ,
la marche aléatoire simple sur le réseau dynamiquement orienté lattice L est transiente.
2. Dans le cas ”quenched”, pour µ-p.t. x ∈ E, pour
P(x)
T -p.t. , la marche aléatoire simple sur le réseau
dynamiquement orienté lattice L est transiente.
LGN dans le cas ergodique:
Théorème 7[GPLN1]: Si S = (E, A, µ, T ) est ergodique,
alors la marche aléatoire simple sur L a une vitesse
P ⊗ Pµ-presque sûrement nulle, i.e.
Mn
= (0, 0)
n→+∞ n
lim
P ⊗ Pµ − presque surement.
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Cas i.i.d.: Théorème limite fonctionnel
On considère
• Un mouvement brownien (Bt)t≥0 de temps local
(Lt(x))t≥0 .
• Une paire de mouvements browniens indépendants
(Z+ (x), Z− (x)), également indépendants de (Bt)t≥0 .
On peut alors définir [KS] le processus
Z ∞
Z ∞
∆t =
Lt(x)dZ+ (x) +
Lt(−x)dZ− (x)
0
0
Il est non-Gaussien, autosimilaire d’indice 3/4 et possède
une version continue. Pour m = 12 (ici), on note
∆m
t =
m
· ∆t, ∀t ≥ 0
(1 + m)3/4
Théorème 8[GPLN1]:
1
D
M
=⇒
(∆m
[nt]
t , 0)t≥0 .
3/4
t≥0
n
Théorème 9[GPLN2]:
1
1
D
(1)
(2)
m
M ,
M
=⇒ ∆t , Bt
t≥0
n3/4 [nt] n1/2 [nt] t≥0
où les composantes asymptotiques horizontales (∆m
t )t≥0
et verticales (Bt)t≥0 ne sont pas indépendantes.
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Embarquement en scène aléatoire
Embarquement vertical :
Marche aléatoire simple sur Z, Y = (Yn)n
n
X
Temps local : ηn (y) =
1Yk=y ∼ C ·
√
n
k=0
Embarquement vertical : M.a. X sur Z
Sauts géométriques
(y) ξi i,y
i.i.d. de moyenne m (= 12 )
ηn−1 (y)
Xn =
X
y
X
ξi(y)
i=1
y∈Z
Temps aléatoires :
∀n ∈ N, Tn: Instant suivant le ne mouvement vertical
Tn = n +
(y)
X ηn−1
X
y∈Z
Lemme([CP1]:
Tn
n
ξi(y)
i=1
−→P 1 + m
• MTn = (Xn, Yn)
• Pour donné
(MTn )n transiente =⇒ (Mn)n transiente
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Marche aléatoire en scène aléatoire
On peut écrire Xn = Xn(1) + m · Zn avec
Xn(1)
=
X
y∈Z
Zn =
X
y∈Z
y
n−1(y)
ηX
(ξi(y)
− m)
i=1
y ηn−1 (y) =
n
X
Yk
k=1
Z : marche aléatoire en scène aléatoire [KS79]
P
2
P
n
2
Variance : σ (Zn) = E y∈Z
= ...
k=0 1Yk =y
n X
n
X
··· =
P Y|k−l| = 0 ∼ C · n3/2
k=0 l=0
Théorème 10 ([KS]):
1
Z[nt]
=⇒D (∆t)t≥0
t≥0
n3/4
Lemme 2 ([GPLN2])
Xn(1)
−→ 0 P ⊗ Pµ − p.s.
n3/4
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Questions ouvertes et perspectives
• Extension du TLF aux orientations dynamiques ([P])
• Conjecture
Théorème limite local:
P[M2n = 0] ∼ C · n−5/4
• Questions: Théoremes limites
Principe d’invariance, LIL, PGD, etc.
et caractérisations des processus limites.
• Extensions:
Doubles orientations ou autres réseaux via des couplages de marches en scènes aléatoires.
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Références
[CP1 ] M. Campanino and D. Pétritis.
Random walks on randomly oriented lattices.
Mark. Proc. Relat. Fields, 9:391–412, 2003.
[CP2 ] M. Campanino and D. Pétritis. On the physical relevance
of random walks: an example of random walks on randomly oriented
lattices.
in ”Random walks and geometry”, V. Kaimanovich (ed.),
Walter de Gruyter, 393–411, 2004.
[GPLN1 ] N. Guillotin-Plantard and A. Le Ny.
Transient random walks in dimension 2.
Theo. Probab. and Appl., 52, No 4, :815–826, 2007.
[GPLN2 ] N. Guillotin-Plantard and A. Le Ny.
A functional limit theorem for a 2d-random walk with dependent
marginals.
Elect. Commun. Probab. 13:337–351, 2008.
[KS ] H. Kesten and F. Spitzer.
A limit theorem related to a new class of self similar processes.
Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 50:5–25, 1979.
[P ] F. Pène.
Transient random walk in Z2 with stationary orientations.
Prépublication de l’université de Bretagne occidentale, à paraı̂tre
dans ESAIM 2008.
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