Marches aléatoires transientes en dimension 2

Journ´es de Probabilit´es 2008
USTL-Universit´e de Lille I, 05 septembre,
10h50–11h20.
Marches al´eatoires transientes en
dimension 2
E-mail: a[email protected]
Collaboration avec N. Guillotin-Plantard (Lyon I)
1

Plan
IMarche al´eatoire simple sur Zd.
II Marches al´eatoires sur r´eseaux orient´es.
III R´eseaux dynamiquement orient´es.
IV R´esultats :
1. Crit`ere de transience.
2. Loi des grands nombres.
3. Th´eor`emes limites fonctionnels.
4. D´ependance asymptotique
VPreuve : embarquement en sc`ene al´eatoire.
VI Questions ouvertes et perspectives.
2

Marche al´eatoire simple sur Zd
Chaˆıne de Markov homog`ene M= (Mn)n∈N:
∀x, y ∈Zd, (e1,...,ed) vecteurs unit´es de Zd,
P[Mn+1 =y|Mn=x] = 
1
2dsiy=x±ed
0 sinon.
Comportements asymptotiques :
•R´ecurrence vs Transience.
•Lois des grands nombres (LFGN).
•Th´eor`eme central limite (TCL).
•Loi du logarithme it´er´e (LLI).
•Principes de grandes d´eviations (PGD).
•Th´eor`eme central limite fonctionnel (TCLF).
•Th´eoreme limite local (TLL).
3

R´ecurrence versus Transience
M.a. simple partant de l’origine (M0= 0):
`
A quelle fr´equence la marche revient-elle `a
l’origine ?
R´ecurrence :
Plimsupn{Mn= 0}:= P∩n
i=1 ∪k≥i{Mn= 0}= 1.
P. tous les points sont visit´es un infinit´e de fois
Transience :
Plimsupn{Mn= 0}:= P∩n
i=1 ∪k≥i{Mn= 0}= 0.
P. tout point est visit´e un nombre fini de fois
4

Tous les chemins m`enent `a Rome....
Th´eor`eme 1:
La marche al´eatoire simple est r´ecurrente sur
Zet Z2.
Preuve: Combinatoire, th´eor`eme limite local, propri´et´e
de Markov forte
+ caract´erisation via fonctions g´en´eratrices
....sauf les chemins cosmiques !
Th´eor`eme 2:
La marche al´eatoire simple est transiente sur
Zd,∀d≥3.
Preuve: Borel-Cantelli
X
n≥0
P[Mn= 0] <+∞=⇒P[limsupn{Mn= 0}] = 0
5