TD8_9_0611_(Dimitris..
publicité
Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014 TD 8 et 9 : Oscillations 1 Exercices d'introduction Exercice 1 1. Une masse exécute une oscillation harmonique. L'equation horaire du mouvement est: x(t) = Acos(ωt + φ). A t = 0 la masse est à sa position d'équilibre. Quelle est la phase initiale φ de l'oscillation ? Justiez votre réponse. 2. A quelles positions la vitesse, l'accélération et la force sont-elles: (a) nulles (b) maximales 3. Si on connait la position x0 6= 0 de la masse à t = 0, peut-on calculer la phase initiale ? Quelle information supplémentaire (à t = 0) est nécessaire an de donner une réponse unique ? 4. Une masse exécute une oscillation harmonique avec une amplitude A et une période T . A t = 0, le déplacement de la masse est maximum (x = A). (a) A quel instant la masse passe-t-elle par la position d'équilibre pour la première fois? (b) Quand arrive-t-elle à x = −A ? (c) Quand passe-t-elle par la position d'équilibre pour la deuxième fois ? (d) Quand passe-t-elle par la position d'équilibre pour la n-ième fois ? Exercice 2 Une masse m est attachée à l'extrémité inférieure d'un ressort vertical, dont l'autre extrémité est xe et oscille sinusoïdalement avec une amplitude A. 1. Trouvez l'equation horaire du mouvement. 2. Si on double l'amplitude de l'oscillation, comment varie: (a) la fréquence f (b) la vitesse maximale vmax (c) l'accélération maximale amax (d) la constante de raideur k du ressort Justiez vos réponses. 3. On ajoute un deuxième ressort de même constante k (a) en parallèle et (b) en série (Fig. 1). 1. Montrez que le système est équivalent à une masse m attachée à un ressort de raideur k 0 et donnez l'expression de k 0 pour les deux congurations (a) et (b). 2. Comment varient f , vmax et amax pour les deux congurations? Figure 1: Deux ressorts (a) en parallèle et (b) en série Exercice 3 Deux masses mA et mB sont attachées aux extrémités inférieures de deux ressorts verticaux A et B , dont les autres extrémités sont xes. Les masses sont à l'équilibre. A cette position-là, les deux ressorts ont la même élongation. Quelle est la relation entre les constantes des ces deux ressorts kA et kB ? Exercice 4 Une force F = −bv s'applique à un système qui oscille sinusoïdalement. 1. Lorsque la constante b est plus grande, comment varie la période T de l'oscillation? 2. Si b reste constante, comment varient l'amplitude et la période en fonction du temps t? 2 Mise en application Exercice 1 - Oscillation amortie 1. La position d'une masse qui exécute un mouvement sinusoïdal amorti est donné par b x = Ae− 2m t cos(ωt + φ). Quelle est la dimension de A ? 2. Trouvez l'expression qui donne la vitesse v de la masse. 3. A t = 0 x(0) = x0 et v(0) = 0. (a) Montrez que A = x0ωω0 où ω0 est la pulsation propre du système et trouvez la phase initiale φ. Page 2 √ (b) Rappelez-vous que a cos x+b sin x = R cos(x−θ), avec R = a2 + b2 et tan θ = b/a. Écrivez v = V0 cos(ωt + θ1 ) et trouvez V0 et θ1 . (c) Trouvez les temps tn pour lesquels l'oscillateur arrive soit à son déplacement maximum ou à son déplacement minimum. Trouvez une expression pour xn = x(tn ). (d) Trouvez le temps t1/2 auquel le déplacement maximum est égal à la moitié du déplacement maximum initial. Exercice 2 - Bouchon à la surface de l'eau Un bouchon cylindrique, de masse volumique ρ, de hauteur H et rayon R, otte à la surface de l'eau ( Fig. 2) On veut étudier les oscillations qui se produisent lorsque l'on enfonce légèrement le bouchon dans l'eau. On repère le mouvement du bouchon par la longueur hors de l'eau L. 1. Faire le bilan des forces qui s'appliquent sur le bouchon. On pourra introduire la masse volumique de l'eau ρeau 2. Quelle est la longueur L0 hors de l'eau lorsque le bouchon est à l'équilibre ? 3. On enfonce le bouchon d'une longueur l. Déterminer l'équation du mouvement. 4. Quelle est la période des oscillations ? Figure 2: Bouchon à la surface de l'eau Exercice 3 - Table vibrante Un bloc se trouve sur une table qui vibre horizontalement avec un mouvement oscillant de fréquence 2Hz. Le coecient de frottement statique entre la table et le bloc est de 0.45. Quelle peut-être l'amplitude maximale de l'oscillation de la table si on veut que le bloc ne Page 3 glisse pas dessus ? Exercice 4 - Oscillations forcée Une masse m = 2 kg est attachée à un ressort vertical accroché au plafond avec k = 200 N/m. La masse oscille sous √ l'application d'une force externe F = 10 cos 10t (S.I.). La vitesse de la masse est v = 3 m/s quand x = 0, 1 m. L'équation horaire de la masse est: x = A cos(ωt + φ), où φ = −π/2. 1. Quelle est la pulsation ω de l'oscillation ? 2. Trouvez l'amplitude de l'oscillation A et donnez l'expression de la vitesse de la masse m en fonction du temps. 3. Étudiez si le système se trouve en résonance. 4. Trouvez la constante de l'amortissement b. Exercice 5 - Oscillation forcée - bis = m ddt2x , trouvez l'amplitude Si x = Acos(ωt + φ) est la solution de: Fext cos(ωt) − kx − b dx dt A et la phase initiale de l'oscillation forcée φ. Écrivez les expressions du déplacement et de la vitesse de la masse. 2 3 Approfondissement Problème 1 - Oscillations sur un plan incliné Un plan lisse est incliné d'un angle φ = 30◦ par rapport à l'horizontale (Fig. 3). Aux points A et B on attache deux ressort de constantes k1 = 60 N/m et k2 = 140 N/m respectivement. Aux autres extrémités des ressorts on attache un corps C1 de masse m1 = 2 kg et on le maintient à la position où les deux ressorts sont à leur longueur à vide. On laisse le corps C1 libre à t0 = 0. 1. Montrez que le corps C1 exécute une oscillation harmonique. 2. Trouvez l'expression du déplacement (par rapport à son position d'équilibre) du corps C1 en fonction du temps. On prendra un axe orienté de A vers B. 3. Au moment où le corps C1 est situé à sa position initiale, on met sur C1 (sans vitesse initiale)un autre corps C2 plus petit mais avec une masse de m2 = 6 kg. Le corps C2 ne bouge pas par rapport à C1 à cause du frottement. Le système des deux corps exécute une oscillation harmonique. (a) Trouvez la nouvelle pulsation ω2 . (b) Le corps C2 oscille sinusoïdalement avec une pulsation ω2 . La somme des forces sur C2 doit doit donc être une force de rappel avec une constante k . Calculez k . Page 4 Figure 3: Schéma du problème 1 à l'instant t = t0 = 0 (c) Écrivez l'expression qui donne la force de frottement statique exercée par C1 sur C2 en fonction du déplacement et calculez son maximum. (d) Trouvez le coecient de frottement statique minimum entre C2 et C1 pour que C2 ne se glisse pas par rapport à C1 . Vous pouvez prendre g = 10 m/s2 . Problème 2 - Oscillation forcée La roue du système dans (Fig. 4) tourne avec une vitesse angulaire constante qui fait osciller l'extrémité du ressort de constante k où une masse m est attachée. Le système est placé dans un caisson à haute pression et les oscillations sont amorties avec une force F~ = −b~v dûe à la présence de frottements uides sur l'air comprimé. Quand la masse est à x = −0, 3 m, sa vitesse est v = 1, 6 m/s (le sens du mouvement est vers la position d'équilibre). A cette position-là la force extérieure est Fext = 0, 5 N et l'accélération est a = 4, 8 m/s2 . (On choisira de prendre un axe orienté positivement vers le haut.) 1. Quelle est la pulsation ω de la roue ? 2. Quelle est l'amplitude de l'oscillation de la masse ? (Exprimez la vitesse en fonction du déplacement). 3. Calculez la constante b pour m = 1 kg et k = 25 N/m. 4. Trouvez la fréquence propre du système. 5. Si on augmente la vitesse de rotation, comment va varier l'amplitude de l'oscillation? 6. Si on laisse de l'air s'échapper de la boîte, comment va varier l'amplitude de l'oscillation? Problème 3 - Oscillation forcée - système de deux masses Page 5 Figure 4: Un oscillateur forcé Le système de la gure (Fig. 5) est à l'équilibre. La masse m est posée sur la plateforme oscillante M . On augmente la vitesse de rotation de la roue et on observe que jusqu'à la fréquence f1 = 5/π Hz la plateforme et la masse m sont en contact à chaque instant. 1. Au dessus de cette fréquence f1 , la masse et la plateforme peuvent ne plus être en contact. Trouvez l'amplitude de l'oscillation. 2. Si m = 1 kg, trouvez la force maximum que la plateforme exerce sur la masse m, lorsque f = f1 . S'il y a une force d'amortissement, elle ne s'applique que sur la plateforme. La masse du ressort est négligeable. Prenez g = 10 m/s2 . Page 6 Figure 5: Une masse sur une plateforme oscillante Page 7
