1 Exercices d`introduction

Université Paris 7 - Denis Diderot
2013-2014
TD 9 : Oscillations forcées
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Exercices d’introduction
Exercice 1
L’amplitude d’une oscillation amortie est donnée par A = A0 e−Λt .
1. Une force F = −bv s’applique à un système qui oscille sinusoïdalement.
(a) Lorsque la constante b est plus grande, comment varie la période T de l’oscillation?
(b) Si b reste constante, comment varient l’amplitude et la période en fonction du temps
t?
(c) Comment varie l’énergie totale du système?
Exercice 2
Une masse exécute un mouvement sinusoïdal amortie.
1. Trouvez le temps pour que l’amplitude soit A =
2. Trouvez l’énergie totale quand A =
A0
.
2
A0
.
2
3. Montrez que pour les amplitudes d’une oscillation amortie A0 , A1 , A2 ... aux temps
A1
0
2
T0 = 0, T1 = T , T2 = 2T ...respectivement on a: A
=A
=A
= ....
A1
A3
2
4. Prouvez que
A0
AN
A0 N
= (A
) , N = 0, 1, ...
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5. A t = 0 cette oscillation a une amplitude A0 = 32 cm et à t = 10 s, A1 = 16 cm. Quand
l’amplitude de l’oscillation sera-t-elle A = 1 cm.
Exercice
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1. De quelles quantités dépende-t-elle la fréquence propre d’un système?
2. L’amplitude d’une oscillation forcée par une force Fext est A = √
Fext/m
(ω 2 −ω02 )2 +( bω
)2
m
. Faites
attention à la présence de l’amortissement avec une constante b.
b2
(a) Pour un amortissement assez petit (
< ω0 ) trouvez la pulsation ωmax pour
2m
laquelle l’amplitude est au maximum.
(b) Trouvez le maximum Amax de l’amplitude.
(c) Si b → 0, trouvez ωmax et Amax .
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Mise en application
Exercice
1 - Oscillation amortie
1. La position d’une masse qui exécute un mouvement sinusoïdal amorti est donné par
b
x = Ae− 2m t cos(ωt + φ). Trouvez l’expression qui donne la vitesse v de la masse.
2. A t = 0 x(0) = x0 et v(0) = 0.
(a) Montrez que A =
x0 ω 0
ω
et trouvez la phase initiale φ.
(b) Rappelez-vous que a cos x+b sin x = R cos(x−θ), avec R =
Écrivez v = V0 cos(ωt + θ1 ) et trouvez V0 et θ1 .
√
a2 + b2 et tan θ = b/a.
(c) Trouvez les temps tn pour lesquels l’oscillateur arrive à son déplacement maximum
et à son déplacement minimum? Trouvez une expression pour xn = x(tn ).
(d) Donnez les expressions pour l’énergie potentielle, l’énergie cinétique et l’énergie
totale du système en fonction du temps.
(e) Trouvez le temps t1/2 pour que le déplacement maximum soit la moitié du déplacement maximum initial.
Exercice 2 - Oscillation forcée
Une masse m = 2 Kg est en position d’équilibre, attachée à un ressort vertical accroché au
plafond. Le ressort a une constante k = 200 N/m. La masse oscille sinusoïdalement avec
une force d’amortissement F = −0, 5v(S.I.). On applique une force extérieure périodique à
la masse avec une fréquence f = 5/π Hz et le système oscille avec une amplitude constante
A = 0, 2 m. Si la phase initiale est φ0 = 0:
1. Écrivez les équations du déplacement et de la vitesse de l’oscillation forcée.
2. Si pour l’instant la force extérieure est zéro, montrez que la dérivative de l’énergie totale
= −bv 2 . Pour cela, utilisez l’expression de l’énergie mécanique du
du système est: dE
dt
système ainsi que le deuxième loi de Newton.
3. Pour l’oscillation forcée, calculez le taux maximum du transfert d’énergie à l’oscillateur
par la force extérieure.
4. Si on augmente la fréquence de la force extérieure, l’amplitude de l’oscillation sera plus
grande ou plus petite? Justifiez votre reponse.
Exercice 3 - Oscillation forcée - amortie
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Si x = Acos(ωt + φ) est la solution de: Fext cos(ωt) − kx − b dx
= m ddt2x , trouvez l’amplitude
dt
A et la phase initiale de l’oscillation forcée φ.
Exercice 4 - Oscillation forcée
La roue du système dans (Fig. ??) tourne avec une vitesse angulaire constante qui fait osciller
la masse m attachée au ressort k. Le système est situe dans une boite à haute pression et
les oscillations sont amorties avec une force F = −bv. Quand la masse est à x = −0, 3 m,
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sa vitesse est v = 1, 6 m/s au sens de la position d’équilibre. A cette position-là la force
exterieure est F = 0, 5 N et l’acceleration est a = 4, 8 m/s2 . (Les sens positif est vers le
haut.)
Figure 1: Un oscillateur forcé
1. Quelle est la pulsation ω?
2. Quelle est l’amplitude de l’oscillation? (Exprimez la vitesse en fonction du déplacement).
3. Calculez la constant b pour m = 1 Kg et k = 25 N/m.
4. Trouvez la fréquence propre du système.
5. Si on augmente la fréquence de la rotation, comment va varier l’amplitude de l’oscillation?
6. Si on laisse le gaz de quitter de la boîte, comment va varier l’amplitude de l’oscillation?
Exercice 5 - Oscillation forcée - systeme de deux masses
Le systeme du (Fig. ??) est en équilibre. La masse m est posée sur la plateforme oscillante
M . On augmente la fréquence de rotation de la roue et on observe que jusqu’à la fréquence
f1 = 5/π Hz la plateforme et la masse m sont en contact.
1. Au dessus de cette fréquence f1 , la masse et la plateforme ne peuvent plus être en contact.
Trouvez l’amplitude de l’oscillation.
2. Si m = 1 Kg, trouvez la force maximum sur la masse m depuis la plateforme, lorsque
f = f1 .
S’il y a une force d’amortissement, elle ne s’applique que sur la plateforme. La masse du
ressort est négligeable. Prenez g = 10 m/s2 .
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Figure 2: Une masse sur une plateforme oscillante
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Approfondissement
Problème 1 - Oscillations forcées
Une masse m = 2 Kg est attachée à un ressort k = 200 N/m. La masse oscille
√ sous
l’application d’une force externe F = 10 cos 10t. La vitesse de la masse est v = 3 m/s
quand x = 0, 1 m.
1. Écrivez l’équation du déplacement de la masse m en fonction du temps, si la phase
initiale est égale −π/2.
2. Étudiez si le système se trouve en résonance.
3. Trouvez la constante de l’amortissement b
4. Trouvez l’energie donneé au systeme par la force exterieure F pendant une periode
d’oscillation.
5. Trouvez le taux de l’energie donnée au systeme au moment où la masse se trouve à
x = 0, 1 m.
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