Element de Theorie des Graphes

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Element de Theorie des Graphes
Définition 1
– X : ensemble des sommets « points »
– U : ensemble des arcs « flèches »
Exp 1.
X = {x1, x2, x3, x4, x5}
U = {x1 x2,x2 x3, x3 x4,x4 x2, x4 x4, x3 x5}
x1
x2x3
x5
x4
- Si l’arc xi xk U alors
xi est son extrémité initiale et xk l’extrémité terminale
xi est le prédécesseur de xk et xk le successeur de xi
- L’arc xi xi : boucle
Chemin : Une suite d’arcs u1, u2, …, um de U tel que pour tout
k (1 k m-1) on a :
(extrémité terminale de uk ) = (extrémité initiale de uk+1 )
Le chemin sera dit circuit si
(extrémité initiale de u1 ) = (extrémité terminale de um )
!
!
!
x1x2x3x5
x2x3
x4

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Définition 2 (d’un Graphe):
G = (X, Γ+)
X est l’ensemble des sommets.
Γ+ : X P(X) où Γ+(x) est l’ensemble des successeurs de x
Exp. Γ(x3) = {x4, x5} et Γ(x5) = Φ
NB. D’une manière analogue, on peut définir Γ-(x) comme étant l’ensemble
des prédécesseurs de x.
Card(Γ+(x)) : degré extérieur de x
Card(Γ-(x)) : degré intérieur de x
Chemin élémentaire : passe une fois par chacun de ses sommets.
Chemin simple : passe une fois par chacun de ses arcs.
Elémentaire Simple
Graphe non orienté
Définition
G = (X,V)
X : Ensemble des sommets
V : ensemble des arêtes
Une arête est représentée par une connexion non
orienté :
extrémités de l’arête
x1
x2
x4
x3x5
xixj

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Définitions
xixkxk xi
Matrice binaire associée à un
graphe
Graphe G = (X,U) un graphe orienté ayant n sommets.
On défini la matrice binaire n n associée :
M = mij i,j = 1,…, n
1 si l’arc xi xj U
Avec mij = 0 sinon
Matrice de l’exemple 1 :
M=
!
!
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0

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Produit des matrices :
En utilisant les opérations sur les nombres entiers
on calcule les puissances successives de M :
M2 = M M où désigne le produit des matrices
en nombres entiers.
Si on note par l’élément de la matrice M2
On a
•Où + désigne la somme des nombres entiers
Mp = Mp-1 M = [ ] et
mij
2
!
!
mmmmmmm njinjijiij +++= ....
2211
2
!
mp
ij
nj
p
in
j
p
i
j
p
i
p
ij mmmmmmm 1
2
1
2
1
1
1.... !!! +++=
!
!
Produit Booléen des matrices :
En utilisant les opérations booliennes sur {0,1} on
calcule les puissances successives de M :
M[2] = M M où désigne le produit booléen
des matrices booléennes.
Si on note par l’élément de la matrice M[2]
On a :
Où désigne la somme booléenne
On note M[p] =M[p-1] M =
mij
]2[
mmmmmmm njinjijiij !!!=....
2211
]2[
!
!
[ ]
mp
ij
][
nj
p
in
j
p
i
j
p
i
p
ij mmmmmmm ]1[
2
]1[
2
1
]1[
1
][ .... !!! """=

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Interprétation
étant la matrice booléenne d’un graphe G
Résultat1
Il existe au moins un chemin de xi vers xj formé de arcs p.
Résultat2
Il existe exactement l chemins de de xi vers xj formés de p arcs.
l
mp
ij =
1
][ =
mp
ij
nj
niij
mM
...1
...1
][
=
=
=
Démonstration du Résultat 1
1
1
2
1
21
1
1=!!!=""" nj
p
inj
p
ij
p
i
p
ij mm....mmmmm
nk !!1
11
1== !
kj
p
ik metm
Le résultat1 est vrai pour p=1 (par définition)
Hypothèse H
Le résultat1 est vrai pour (p-1)
Si
Il existe au moins un k ( ) avec
Compte tenu de l’hypothèse H, il existe au moins un chemin de
longueur (p-1) entre xi et xk et en plus un arc en xk et xj.
Ainsi :
Hypothèse H vrai pour (p-1) Hypothèse H vrai pour (p)