Bases de données Algèbre relationnel

BDSI
Bases de données Algèbre relationnel
Le modèle relationnel
Un modèle relationel a 3 parties
Partie structurelle
La strucutre de données du modèle, i.e., la relation, le schéma de la
relation
Partie manipulation
il y a 3 langages de requête relationels
l'algèbre relationnel : langage procédural
le language relationnel: langage déclaratif
Non­recursive Datalog : language de programmation logique
Partie intégrité
Force les relations d'une bases de données à respecter cetraines
conditions
Contraintes d'intégrité
Partie sturcutrelle du modèle
relationnel
Le modèle relationnel n'a qu'une strucutre de données
La relation
Une relation est un ensemble de tuples
Une base de données relationnelle est un ensemble de relations
Un schéma de relation est un ensemble d'attributs décrivant le
contenu des tuples
Un schéma de base de données est un ensemble de schémas
de relation
Exemple et notation
La relation R1 Student
Name
Age Address
Toto
21
Clermont
Dupont 35
paris
Durand 45
Lyon
Schema(Student)={Name, Age, Address}
Attributs et domaines
Soit U ensemble infini dénombrable d'attributs
U est appelé Univers des attribut
Soit D un ensemble infini dénombrable de valeurs
D est le domaine de base de données sous­jacent
Soit un attribut A dans U, le domaine de A, noté DOM(A), est un sous
ensemble de D
Unique Name Assumption (UNA)
de valeurs c1 ∈ DOM(A1), c2 ∈ DOM(A2) sont égales
si et seulement si elles sont syntaxiquement identiques, i.e., elles
ont le même nom
Exemple "Toto" = "Toto" mais "Toto" ≠ "Dupond" et "Toto" ≠ "21"
Schéma de relation
Un Schéma de relation R a les composants suivants
le nom du schéma : R
un opérateur type(R), représentant le nombre d'attribut de R
un ensemble d'attributs {att(1), . . . , att(type(R))} noté schema(R)
Exemple
type(Student) = 3
schema(Student) = {att(1), att(2), att(3)} where att(1) = name, att(2) =
age and att(3) = address
Créer une relation en SQL
CREATE TABLE
Students
(
Name : CHAR(20),
Age : INTEGER,
Address : CHAR(40)
)
NB  le type (ou le domaine) de chaque champs est spécifié, et vérifié
par le SGBD à chaque insertion ou mise à jour
Types atomiques
Numérique : entier ou réel (SQL : Int, Float, etc.)
Chaîne de caractères (SQL : Char(20), VarChar(32), etc.)
Date (SQL : DATE, TIME, YEAR, etc.)
Type énuméré
Schéma de base de données
Un schéma de base de données R est une collection {R1, ... , Rn} de
relations
schema(R) est l'union de tous les schema(Ri), ∀Ri ∈ R
Un schéma de relation R est en 1ère forme normale(1NF) si tous les
domaines de ses attributs Ai ∈ schema(R) sont atomiques
Un schéma de base de données R est en 1ère forme normale(1NF) si
tous ses schémas de relation Ri ∈ R sont en 1ère forme normale(1NF)
Relations et bases de données
Un tuple de R, avec schema(R) = {A1, ... , Am} est un membre du produit
cartésien DOM(A1) × DOM(A2) × ... × DOM(Am)
Un tuple t de R peut également être vue comme un "total mapping" de
schema(R) dans l'union des domaine DOM(Ai) tel que ∀Ai ∈ schema(R),
t(Ai) ∈ DOM(Ai)
une relation R est un ensemble fini de tuples de R
une base de données d sur R est une collection {r1 , . . . , rn } de relations
ri sur Ri
Les relations d'un schéma de relations 1NF sont appelées relations 1NF
Projection et domaine actif
Projection
La projection d'un tuple t sur une relation r d'un schéma de relation R
sur l'attribut Ai = att(i) est la ièmecomposante (ou encore la
coordonnée i) de t, i.e., t(i)
Soit Y = {att(i1), ... , att(in)} ⊆ schema(R)
La projection de t sur Y, notée t[Y], est définie par t[Y] =<t(i1), ... ,
t(in)>
Domaine actif
Le Domaine actif d'une relation r de R, noté ADOM(r), est l'ensemble
des valeurs qui apparraissent dans les tuples de r
Le Domaine actif d'une base de données d sur R, noté ADOM(d), est
l'union des domaines actifs de ses relations
Exemple
Schéma
{Cle: INT, Nom: VarChar(20), Email: VarChar(20)}
instance de ralation (aussi appelée Extension)
{
{Cle: 1, Nom: "Edgar", Email: "[email protected]"}
{Cle: 2, Nom: "Frank", Email: "[email protected]"}
...
}
Clé et SuperClé
SuperClé
Un sous ensemble SK d'un schema schema(R) est une superclé pour
R si pour toute relation r de R, la projection t[SK] d'un tuple t sur R
identifie un tuple unique de r
Clé
Une clé d'un schéma de relation R est une super clé minimale de R
Clé Primaire
Une clé primaire de R est une clé choisie par l'administrateur de base
de données
Clé étrangère
Soit R un schéma de base de donnée, R1, R2 ∈ R et K est la clé
primaire de R2
FK ⊆ R1 est une clé étrangère pour R1 référençant la clé primaire K de
R2 si elle vérifie la condition suivante
∀d = {r1 , r2, ... , rn} sur R et ∀t1 ∈ r1, si t1[FK] ne contient pas de
valeur nulle, alors ∃t2 ∈ r2 tel que t1[FK] = t2[K]
Déclarer un clé en SQL
CREATE TABLE
Students
(
sid : CHAR(20),
ssn : CHAR(20) NOT NULL,
Name : CHAR(20),
Age : INTEGER,
dep : CHAR(5)
PRIMARY KEY (sid),
UNIQUE (ssn),
FOREIGN KEY (dep) REFERENCES Department
)
Langages de requêtes
Le modèle relationnel défini de manière rigoureuse des langages de
requêtes simples et puissants
Approche algébrique
Algèbre relationnelle
Langage procédurale, mais très utile pour représenter les plans
d’exécution des requêtes
Approche logique
Calcul relationnel
Orienté utilisateur car il est plus proche du langage naturel
permet à un utilisateur de décrire le résultat recherché sans
spécifier comment l’obtenir (langage déclaratif)
Datalog
Langage déclaratif à base de règles
Augmente le calcul relationnel avec des capacités d’inférence
Notions préliminaires
Une requête est appliquée à des instances de relations
Le résultat d’une requête est une instance de relation
Le schéma de la relation résultat est déterminé par la définition des
constructeurs du langage de requêtes utilisés
Exemple
La relation r1 sur
Student
Name
Age Address Dept
Toto
21
Clermont Computing
Dupont 35
paris
Maths
Durand 45
Lyon
Linguistics
Dan
Lyon
Computing
34
La relation r2 sur
Department
loc
mgr
Bât A Ullman
dept
Computing
Bât B Mendelson Maths
Bât C Dupond
linguistics
L’algèbre relationnelle
Proposée par Codd en 1970
C’est une collection d’opérateurs algébriques
Entrée : une ou deux relations
Sortie : une relation
Requête relationnelle
Composition d’un nombre fini d’opérateurs
algébriques
chaque opération renvoie une relation
propriété de fermeture de l’algèbre relationnelle
Opérateurs relationnels
Projection (π)
Sélection (σ)
Jointure (⋈)
Renommage (ρ A →
B)
Division (÷)
Opérateurs ensemblistes
Pour des instances de relations de même schémas
Union (⋃)
Intersection (⋂)
Différence (–)
Pour des instances de relations de schémas
quelconques
Produit cartésien (×)
Projection (π) et sélection (σ)
Soit r une relation sur R
La projection de r sur Y ⊆ schema(R), notée πY(r), est définie
comme suit
πY(r) = {t[Y ] | t ∈ r}
sélection
Une formule de sélection simple sur R est une expression de la
forme : A = a ou A = B, où A, B ∈ Schema(R) et a ∈ Dom(A)
Une formule de sélection est une expression composée de
formules de sélection simples connectées à l’aide des
connecteurs logiques
∧, ∨, ¬ et les parenthèses ()
Une Opération de sélection est une sélection des tuples de la
relation r par rapport à F , σF(r), est définie comme suit : σF(r) = {t
∈ r | t ⊨ F }
Implication logique (⊨)
t ⊨ A = a si t[A] = a
t ⊨ A = B si t[A] = t[B]
t ⊨ F1 ∧ F2 si t ⊨ F1 et t ⊨ F2
t ⊨ F1 ∨ F2 si t ⊨ F1 ou t ⊨
F2
t ⊨ ¬F si t ⊭ F
t ⊨ (F) si t ⊨ F
Opérations ensemblistes
Soient r1 et r2 deux instances de relations sur
R
Union : r1 ⋃ r2 = {t | t ∈ r1 ou t ∈ r2 }
Différence : r1 – r2 = {t | t ∈ r1 ou t ∉ r2 }
Intersection : r1 ⋂ r2 = {t | t ∈ r1 et t ∈ r2 }

r1 ⋂ r2 = r1 – (r1 – r2)
σ¬F (r) = r – σF (r)
σF1 ∨ σF2 = σF1(r) ⋃ σF2(r)
σF1 ∧ σF2 = σF1(r) ⋂ σF2(r)
Produit cartésien
Soient r1 et r2 deux instances de relations sur R1 et R2 respectivement
avec schema(R1) ⋂ schema(R2) = ∅
Le produit cartésien r1 × r2 est une relation sur un schéma de
relation R, avec schema(R) = schema(R1) ⋃ schema(R2), définie
par
r1 × r2 = {t |∃t1 ∈ r1 et ∃t2 ∈ r2 tel que t[schema(R1)] = t1 et
t[schema(R2)] = t2}
Si schema(R1) ⋂ schema(R2) ≠ ∅, alors il y a un conflit entre les attributs
de mêmes noms dans R1 et R2
résolution de ce type de conflit à l’aide de l’opérateur de renommage
Jointure
Soient r1 et r2 deux instances de relations sur R1 et R2 respectivement.
La jointure naturelle de r1 et r2 (notée r1 ⋈ r2 ) est une relation sur
un schéma de relation R, avec schema(R) = schema(R1) ⋃
schema(R2), définie comme suit
r1 ⋈ r2 = {t |∃t1 ∈ r1 and ∃t1 ∈ r1 tel que t[schema(R1)] = t1 et
t[schema(R2)] = t2 }

Si schema(R1) = schema(R2), alors r1 ⋈ r2 = r1 ⋂ r2
Si schema(R1) ⋂ schema(R2) = ∅, alors r1 ⋈ r2 = r1 × r2
Algorithme Join
Soient r1 et r2 deux instance de relations sur R1 et R2 respectivement et
X = schema(R1) ⋂ schema(R2)
Join(r1, r2)
Result := ∅
for all t1 ∈ r1 do
for all t2 ∈ r2 do
if t1[X] = t2[X] then
Joined_tuple := a tuple over R such that
Joined_tuple[schema(R1)] := t1 and
Joined_tuple[schema(R2)] := t2
Result := Result ⋃ Joined_tuple
Ensure: Result
Renommage
Soit r une instance de relation de R, A ∈ schema(R) et B ∉ schema(R)
Le renommage de A en B pour r, noté ρA→B(r), est une relation sur S
tel que
schema(S) = schema(R) – {A} ⋃ {B}, et
ρA→B(r) = {t|∃u ∈ r, t[schema(S) – {B}] = u[schema(R) – {A}] et t[B]
= u[A]}
Division
La division permet d’exprimer la quantification universelle ∀
Exemple de requête pour la quelle la division est utile
"Donner la liste des étudiants qui sont inscrits dans tous les
départements"
Définition formelle de la division
Soit r une instance de relation sur R, avec schema(R) = XY , et s une
instance de relation sur S, avec schema(S) = Y
La division de r par s, notée r ÷ s, est une instance de relation sur un
schéma de relation R1 , avec schema(R1) = X, définie par
r ÷ s = {t[X]|t ∈ r et s ⊆ πY (σF(r)), où X = {A1, ..., Aq } et F est la
formule A1 = t[A1] ⋀ ... ⋀ Aq = t[Aq]}
Exemple de division
Expression de r ÷ s
La division n’est pas une opération essentielle car elle peut être exprimée
à l’aide des opérations de projection, différence et produit cartésien
Pour calculer r ÷ s, il faut calculer toutes les valeurs de X dans r qui ne
sont pas disqualifiées par des valeurs de Y dans s
Une valeur de X est disqualifiée si en lui rattachant une valeur de Y
de s, le tuple XY obtenu n’appartient pas à r
Valeurs disqualifiées de X : πX((πX(r) × s) – r)
r ÷ s = πX(r) – valeurs disqualifiées de X
⇒ r ÷ s = πX(r) – πX((πX(r) × s) – r)
Exemple
Requête : "Donner la liste des parents et leurs
petits­fils"
πGparent,Gchild(ρChild→Jatt(ρParent→Gparent(Fami
⋈ρParent⇒Jatt(ρChild⇒Gchild(Family))))
Fonctions d’agrégation
Les fonctions d’agrégation permettent de répondre aux requêtes du
type
"Quel est le nombre d’étudiants inscrits dans chaque département"
"Quel est l’âge moyen des étudiants"
Définition (fonction d’agrégation)
Soit R un schéma de relation et A ∈ schema(R). Une fonction
d’agrégation fA sur R est une fonction calculable qui pour un ensemble
fini de tuples sur R renvoie une valeur entière.
Exemples de fonctions : MIN, MAX, AVG, COUNT