L`action rationnelle

Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
L’action rationnelle
M. Cozic
DEC, ENS Ulm
12/II/2007
Préparation à l’agrégation 2007
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
introduction
◮
l’objectif de la séance est double:
(i) fournir quelques rudiments de théorie du choix rationnel:
(1) théorie de la décision
(2) théorie des jeux
(3) théorie du choix social
(ii) aborder pour chacun de ces domaines des problèmes qui
font l’objet de discussions philosophiques:
(1) le paradoxe de Newcomb
(2) le dilemme du prisonnier
(3) le théorème d’impossibilité d’Arrow
M. Cozic
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L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
1. L’action individuelle
La théorie de la décision
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
introduction
◮
EP a déjà introduit les notions fondamentales de la théorie
de la décision individuelle
◮
bref rappel : espérance de gain, d’utilité, etc.
◮
débat philosophique: théorie évidentielle de la décision vs.
théorie causale de la décision
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
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L’action stratégique
L’action collective
l’action rationnelle
◮
le choix d’une action par un agent est rationnel si, étant
donné ce qu’il croit et étant donné ce qu’il peut choisir,
l’action qu’il choisit est celle dont les conséquences
satisfont le mieux ses désirs
M. Cozic
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L’action stratégique
L’action collective
l’action rationnelle
◮
le choix d’une action par un agent est rationnel si, étant
donné ce qu’il croit et étant donné ce qu’il peut choisir,
l’action qu’il choisit est celle dont les conséquences
satisfont le mieux ses désirs
(i) la rationalité dépend des opportunités offertes à l’agent:
supposons que Pierre préfère le vin jaune au vin blanc et
le vin blanc au vin rouge
• situation 1:
ab
ar
vin blanc
vin rouge
Pierre doit choisir ab
M. Cozic
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L’action collective
l’action rationnelle
• situation 2:
ab
ar
aj
vin blanc
vin rouge
vin jaune
Pierre doit cette fois choisir aj (et non ab )
M. Cozic
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l’action rationnelle
• situation 2:
ab
ar
aj
vin blanc
vin rouge
vin jaune
Pierre doit cette fois choisir aj (et non ab )
(ii) la rationalité dépend des désirs de l’agent
Pierre préfère le vin blanc ou vin rouge ; Jean préfère le
vin rouge au vin blanc
ab
ar
vin blanc
vin rouge
Pierre doit choisir ab mais Jean doit choisir ar
M. Cozic
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L’action collective
l’action rationnelle
(iii) la rationalité dépend des croyances de l’agent:
• Jean croit que s’il choisit l’action ab , il obtiendra du vin
rouge tandis que s’il choisit l’action ar , il obtiendra du vin
blanc
• les goûts de Jean sont les mêmes que ceux de Pierre
ab
ar
vin rouge
vin blanc
Jean doit choisir ar (et non ab )
M. Cozic
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l’action rationnelle
◮
la rationalité d’un choix est une relation entre (1) les
opportunités, les désirs et les croyances de l’agent et (2)
l’action choisie
◮
on dit parfois que la théorie de la décision exprime une
conception instrumentale de la rationalité ou encore
qu’elle traite de la rationalité des moyens et non de celle
des fins
◮
prima facie la théorie de la décision prend les désirs de
l’agent comme donnés, elle ne dit pas quels sont les
“bons” désirs et quels sont les “mauvais”
◮
mais elle impose des conditions de rationalité ou de
cohérence sur ces désirs
M. Cozic
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les désirs
les désirs de l’agent portent sur les conséquences
possibles de ses actions; l’ensemble des actions
réalisables est noté A, l’ensemble des conséquences C
◮ comment la théorie de la décision représente-t-elle les
désirs?
(i) préférences: relation comparative entre conséquences
• ci cj :
Pierre préfère “largement” ci à cj
Pierre estime que ci est au moins aussi bonne que cj
• ci ≻ cj :
Pierre préfère “strictement” ci à cj
Pierre estime que ci est strictement meilleure que cj
• ci ∼ cj :
Pierre est indifférent entre ci et cj
Pierre estime que ci et cj ont la même valeur
◮
M. Cozic
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les désirs
(ii) utilité : fonction numérique u : C → R
u(vin jaune) = 5
u(vin blanc) = 3
u(vin rouge) = 1
M. Cozic
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les désirs
(ii) utilité : fonction numérique u : C → R
u(vin jaune) = 5
u(vin blanc) = 3
u(vin rouge) = 1
◮ conditions de rationalité sur les désirs:
(i) transitivité: si Pierre préfère le vin jaune au vin blanc et
s’il préfère le vin blanc au vin rouge, alors il préfère le vin
jaune au vin rouge
si x y et y z alors x z
• l’argument de la pompe à finance (money pump)
(Davidson & Suppes):
ci ≻ cj
cj ≻ ck
ck ≻ ci
M. Cozic
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les désirs
(ii) complétude: Pierre est capable de comparer toute paire
de conséquences possibles de ses actions :
x y ou y x
M. Cozic
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les désirs
(ii) complétude: Pierre est capable de comparer toute paire
de conséquences possibles de ses actions :
x y ou y x
◮
la représentation par une fonction d’utilité induit
automatiquement transitivité et complétude
◮
si l’ensemble de conséquences est fini, toute relation de
préférence rationnelle peut être représentée par une
fonction d’utilité
M. Cozic
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choix certain
◮
situations de certitude: Pierre sait précisément pour
chaque action a quelle est la conséquence c qui est
produite par a
◮
on note a(C) la conséquence de a
M. Cozic
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choix certain
◮
situations de certitude: Pierre sait précisément pour
chaque action a quelle est la conséquence c qui est
produite par a
◮
on note a(C) la conséquence de a
◮
règle de décision [préférences]: choisir l’action a ∈ A dont
la conséquence est préférée aux conséquences des
autres actions (s’il en existe une!)
pour tout a′ , a(C) a′ (C)
◮
règle de décision [utilité]: choisir l’action a dont l’utilité de
la conséquence est supérieure à celle des autres actions
pour tout a′ , u(a(C)) ≥ u(a′ (C))
M. Cozic
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choix incertain
◮
situations d’incertitude: Pierre ne sait pas quelle est la
conséquence d’une action réalisable a ∈ A
◮
situations de risque: Pierre sait pour toute action a et pour
toute conséquence c avec quelle probabilité l’action a
produit la conséquence c
◮
exemple: choix entre deux paris
0.6
0.1
5
a1
10
a2
3
2
0.4
0.9
Comment choisir entre a1 et a2 ? La règle de choix en
certitude ne s’applique plus: 5 ≺ 10 mais 3 ≻ 2
M. Cozic
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L’action collective
◮
comment déterminer la valeur d’une action risquée ?
comment choisir entre différentes actions risquées ?
M. Cozic
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L’action collective
◮
comment déterminer la valeur d’une action risquée ?
comment choisir entre différentes actions risquées ?
◮
idée fondamentale: pondérer les différents gains possibles
par la probabilité qu’ils arrivent
• Logique de Port-Royal:
“...pour juger de ce que l’on doit faire pour obtenir
un bien ou pour éviter un mal, il ne faut pas
seulement considérer le bien ou le mal en soi,
mais aussi la probabilité qu’il arrive ou n’arrive
pas, et regarder géométriquement la proportion
que toutes ces choses ont ensembles”
M. Cozic
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l’espérance de gain
0.6
◮
0.1
10
3
0.4
0.9
EG(a1 ) = (0.6 × 5) + (0.4 × 3) = 4.2 ;
EG(a2 ) = (0.1 × 10) + (0.9 × 2) = 2.8
2
5
a2
a1
M. Cozic
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l’espérance de gain
0.6
◮
0.1
10
3
0.4
0.9
EG(a1 ) = (0.6 × 5) + (0.4 × 3) = 4.2 ;
EG(a2 ) = (0.1 × 10) + (0.9 × 2) = 2.8
2
5
a2
a1
◮
formule générale
supposons que l’action a ait pour conséquences possibles
c1 , ..., cm , chaque conséquence cj survenant avec une
probabilité pja
P
a
EG(a) = m
j=1 pj (cj )
◮
règle de décision: choisir l’action dont l’espérance de gain
est maximum
M. Cozic
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St-Petersbourg
◮
une pièce non-biaisée est lancée de manière répétée
jusqu’à ce qu’elle tombe sur face (F )
série
proba.
gain
◮
F
1/2
2
PF
1/4
4
PPF
1/8
8
...
...
...
P...PF
1/2n
2n
...
...
...
quelle est la valeur du pari de St-Petersbourg?
EG(StP) = 1 + 1 + 1 + .... = ∞
M. Cozic
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espérance d’utilité
◮
proposition de Daniel Bernouilli (1738): découpler le gain
monétaire et la satisfaction que l’agent en retire ou l’utilité
◮
on note u(cj ) l’utilité que l’agent retire du gain monétaire cj
P
a
EU(a) = m
j=1 pj × u(cj )
M. Cozic
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espérance d’utilité
◮
proposition de Daniel Bernouilli (1738): découpler le gain
monétaire et la satisfaction que l’agent en retire ou l’utilité
◮
on note u(cj ) l’utilité que l’agent retire du gain monétaire cj
P
a
EU(a) = m
j=1 pj × u(cj )
◮
règle de décision: choisir l’action dont l’espérance d’utilité
est maximum
M. Cozic
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L’action collective
espérance d’utilité
◮
proposition de Daniel Bernouilli (1738): découpler le gain
monétaire et la satisfaction que l’agent en retire ou l’utilité
◮
on note u(cj ) l’utilité que l’agent retire du gain monétaire cj
P
a
EU(a) = m
j=1 pj × u(cj )
◮
règle de décision: choisir l’action dont l’espérance d’utilité
est maximum
◮
l’argent a une utilité marginale décroissante
◮
u(x) = log(x)
Dans ce cas, l’espérance d’utilité EU(StP) ≃ 0.6 et la
valeur monétaire du Pari est (environ) 4 euros
M. Cozic
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remarques
◮
rem 1: on peut construire un super-paradoxe de
St-Petersburg pour l’utilité (subjective): si la pièce tombe
sur F au n-ème lancer, l’agent reçoit l’équivalent de 2n
“utiles”
◮
rem 2 : la notion d’utilité change de signification par
rapport à celle qui servait simplement à représenter les
préférences; elle reflète désormais l’intensité des désirs
0.6
0.1
5
10000
a3
a1
3
2
0.4
0.9
• supposons que les conséquences soient évaluées en
“utiles”; alors cette fois Pierre doit choisir a3 et non a1
M. Cozic
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L’action collective
l’incertitude s.s.
◮
situations d’incertitude stricto sensu: une probabilité
“objective” n’est pas donnée aux agents
◮
bayésianisme: les degrés de croyance d’un agent
obéissent aux lois des probabilités
◮
chaque agent dispose d’une distribution de probabilité sur
l’ensemble des paramètres qui peuvent affecter sa
décision
◮
exemple : Pierre est invité, il hésite entre acheter une
bouteille de vin rouge et une bouteille de vin blanc. La
conséquence de son choix dépend de ce que son hôte a
choisi de faire (viande ou poisson)
◮
on parle de probabilité subjective ; elles peuvent varier
d’un individu à l’autre
M. Cozic
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l’ESU
◮
le cadre général du modèle d’espérance subjective d’utilité:
(i) ontologie:
◮
◮
◮
un ensemble d’états de la nature S
un ensemble d’actions réalisables A
un ensemble de conséquence C ; chaque action a a une
conséquence déterminée c étant donné un état de la
nature s
(ii) déterminants subjectifs:
◮
◮
◮
une fonction de probabilité P sur S (les croyances partielles
de l’agent)
une fonction d’utilité u sur C (les désirs de l’agent)
L. Savage, The Foundations of Statistics (1954/1972)
M. Cozic
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L’action collective
l’ESU
◮
un problème de décision:
s1
s2 ... sm
a1 c11 c12 ... c1m
a2 c21 c21 ... c2m
... ...
... ... ....
an cn1 cn2 ... cnm
◮
règle de décision: choisir l’action a dont l’espérance
subjective d’utilité est maximale
ESU(ai ) = P(s
P 1 ) × u(ci1 ) + ... + P(sm ) × u(cim )
ESU(ai ) = j P(sj ) × u(cij )
M. Cozic
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L’action individuelle
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L’action collective
◮
vin rouge (VR)
vin blanc (VB)
poisson
1/4
0
4
viande
3/4
4
2
ESU(VR) = (1/4 × 0) + (3/4 × 4) = 3
ESU(VB) = (1/4 × 4) + (3/4 × 2) = 5/2
M. Cozic
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remarques
le terme “bayésianisme” est très souvent utilisé dans les
théories formelles de la rationalité; il y a en fait trois sens
distincts:
(i) les degrés de croyances d’un agent rationnel se laissent
représenter par une fonction de probabilité
• justifications: Dutch Book (Ramsey, de Finetti) ou
axiomes sur les préférences (Savage)
(ii) quand un agent rationnel apprend une information I, il
modifie ses croyances en suivant la règle de
conditionalisation
◮
P(E /I) = P(E ∧ I)/P(E )
(iii) un agent rationnel choisit l’action qui maximise son
espérance subjective d’utilité
M. Cozic
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le principe de dominance
◮
principe de dominance: soient deux actions a1 et a2 ; si
en tout état du monde sj Pierre préfère au sens large c1j à
c2j et si en un état du monde sj ∗ au moins Pierre préfère
strictement c1j ∗ à c2j ∗ , alors Pierre doit choisir a1 plutôt que
a2
◮
exemple:
vin rouge (VR)
vin blanc (VB)
poisson
0
4
viande
4
4
(VB) domine (VR)
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action collective
le principe de dominance
(i) le principe de dominance requiert “moins” d’information:
pas besoin de connaître les probabilités subjectives ni
l’utilité (seulement les préférences)
(ii) le principe de dominance fournit moins de
recommandations que le principe de maximisation de
l’ESU
(iii) l’ESU s’“aligne” sur la dominance: si a1 domine a2 (et si
leur ESU est finie), alors ESU(a1 ) > ESU(a2)
M. Cozic
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L’action collective
le principe de dominance
◮
Q: le principe de dominance est-il fiable?
◮
de labore
réviser
ne pas réviser
◮
réussite
5
10
échec
-5
0
“plutôt rouge que mort”:
rester armé
se désarmer
invasion
mort
rouge
pas invasion
pauvre
riche
Hyp: rouge ≻ mort et riche ≻ pauvre
M. Cozic
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L’action collective
la dépendance
◮
qu’est-ce qui ne va pas avec le principe de dominance?
◮
la probabilité que Pierre réussisse l’examen dépend de son
choix: plus forte s’il révise, plus faible s’il ne révise pas.
◮
dans les deux exemples, la probabilité pour qu’un état de
la nature survienne dépend de l’acte que Pierre choisit.
◮
le principe de dominance ne semble plus valable quand les
états de la nature dépendent des actions que l’agent doit
choisir.
◮
puisque l’ESU s’aligne sur la dominance, cela implique
que quelque chose ne va pas dans l’ESU
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action collective
la probabilité conditionnelle
◮
idée: il faut prendre en compte la probabilité des états de
la nature conditionnellement aux actions
◮
par exemple, la probabilité d’une invasion soviétique
conditionnellement au choix de Pierre de rester armé ou
de se désarmer
◮
on le note de la manière suivante: P(invasion / rester
armé)
◮
de manière générale: P(s/a)
M. Cozic
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L’action collective
l’ESCondU
◮
◮
◮
on peut représenter les probabilités conditionnelles de la
manière suivante:
invasion pas invasion
rester armé
.1
.9
se désarmer
.8
.2
supposons que les utilités soient les suivantes:
invasion pas invasion
rester armé
- 100
0
se désarmer
- 50
50
alors on peut déterminer l’espérance subjective
condtionnnelle d’utilité (ESCondU):
ESCondU(rester armé) = (.1 × −100) + (.9 × 0) = −10
ESCondU(se désarmer) = (.8 × −50) + (.2 × 50) = −30
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action individuelle
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L’action collective
◮
de manière générale, l’ESCondU d’une action ai est la
suivante:
ESCondU(ai ) = P(s
P 1 /ai ) × u(ci1 ) + ... + P(sm /ai ) × u(cim )
ESCondU(ai ) = j P(sj /ai ) × u(cij )
◮
règle de décision: choisir l’action a dont l’espérance
subjective conditionnelle d’utilité est maximale
◮
R. Jeffrey, The Logic of Decision (1965/1983)
M. Cozic
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L’action collective
l’ESCondU
◮
l’ESCondU peut recommander des actions différentes de
celles que recommande le principe de dominance ou l’ESU
◮
les recommandations sont nécessairement identiques
quand les états de la nature sont indépendants des actions
i.e. quand pour toute action ai et tout état de la nature sj ,
P(sj /ai ) = P(sj )
◮
exemple: prendre un parapluie en fonction de sa croyance
qu’il va pleuvoir ou non
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action individuelle
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L’action collective
◮
la règle de maximisation de l’ESCondU peut être conçue
comme un critère de bonne nouvelle: la meilleure action
pour Pierre est celle dont il serait le plus heureux
d’apprendre qu’elle a eu lieu
◮
les partisans de l’ESCondU sont appelés les partisans de
la théorie évidentielle de la décision ou évidentialistes
◮
pour résumer:
espérance de gain
espérance d’utilité
espérance subjective d’utilité
espérance subjective conditionnelle d’utilité
◮
la fin de l’histoire? Pas sûr....
R. Nozick, “Newcomb’s Problem and Two Principles of
Choice” (1969)
M. Cozic
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L’action collective
◮
2 boîtes:
B1: 1 000 euros B2 : 1 M euros ou rien
◮
Pierre a le choix entre deux actions:
a1 : prendre les deux boîtes
a2 : prendre seulement la boîte B2
◮
c’est un prédicteur omniscient (PO) qui décide du contenu
de la boîte B2:
• s’il prédit que Pierre prendra les deux boîtes, il ne met
rien dans B2 ;
• s’il prédit que Pierre prendra seulement la boîte B2, il
met 1M euros dedans
• le prédicteur fait son choix avant celui de Pierre
◮
Pierre sait tout cela; a1 ou a2 ?
M. Cozic
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◮
matrice de décision
a1
a2
0 dans B2
1 000
0
1M dans B2
1 001 000
1 000 000
M. Cozic
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L’action collective
◮
matrice de décision
a1
a2
0 dans B2
1 000
0
1M dans B2
1 001 000
1 000 000
(i) raisonnement par ESCondU:
a1
a2
0 dans B2
1 000 (1)
0 (0)
1M dans B2
1 001 000 (0)
1 000 000 (1)
ESCondU(a1) = 1 × 1000 + 0 × 1001000 = 1000
ESCondU(a2) = 0 × 0 + 1 × 1000000 = 1000000
il faut choisir a2 (one-boxer ) !
M. Cozic
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(ii) raisonnement par dominance:
a1 domine a2
il faut choisir a1 (two-boxer ) !
M. Cozic
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L’action collective
(ii) raisonnement par dominance:
a1 domine a2
il faut choisir a1 (two-boxer ) !
◮
où est le problème? On a vu que le principe de dominance
avait une validité limitée et que l’ESCondU semblait plus
fiable
◮
dans les exemples qui parlaient en faveur de l’ESCondU
contre la dominance, l’action de Pierre a un effet sur l’état
de la nature; dans le problème de Newcomb, le PO a déjà
fait son choix quand Pierre doit prendre sa décision à son
tour
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
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L’action collective
Newcomb médical
◮
il n’y a pas de lien causal entre tabagie et cancer mais une
cause commune (le mauvais gène G) qui induit une
corrélation statistique entre tabagie et cancer
cancer
pas de cancer
fumer
- 990 (.75)
10 (.25)
ne pas fumer - 1000 (.2)
0 (.8)
M. Cozic
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L’action collective
Newcomb médical
◮
il n’y a pas de lien causal entre tabagie et cancer mais une
cause commune (le mauvais gène G) qui induit une
corrélation statistique entre tabagie et cancer
cancer
pas de cancer
fumer
- 990 (.75)
10 (.25)
ne pas fumer - 1000 (.2)
0 (.8)
(i) raisonnement par ESCondU:
ESCondU(fumer ) = (−990 × .75) + (10 × .25) = −245
ESCondU(nepasfumer ) = (−1000 × .2) + (0 × .8) = −200
il vaut mieux ne pas fumer !
(ii) raisonnement par dominance:
il vaut mieux fumer !
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action stratégique
L’action collective
◮
dans le cas du Newcomb médical, ce qui motive la
dominance, c’est que (par hypothèse) il n’y a pas de
relation causale entre tabagie et cancer
◮
la tabagie est un signe (et pas une cause) d’une forte
prédisposition au cancer
◮
de manière générale, les probabilités ne discriminent pas
entre les relations qui sont causales et celles qui ne le sont
pas
P(c/a) peut être supérieure à P(c)
◮
◮
◮
parce que a tend a causer c
parce qu’il existe une cause commune à a et c
le problème de Newcomb provient du fait qu’il y a
dépendance probabiliste mais indépendance causale
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
causalistes
◮
◮
◮
◮
◮
les partisans d’une théorie causale de la décision ou
causalistes) soutiennent qu’il faut se baser sur la
dépendance causale et pas seulement sur la dépendance
probabiliste
le principe de dominance est correct quand il y a
indépendance causale même s’il n’y pas indépendance
probabiliste
les causalistes sont two-boxers
les causalistes estiment que les one-boxers sont
irrationnels et adoptent une conception magique de la
causalité
réponse évidentialiste: lui repart avec 1M euros du
problème de Newcomb, le causaliste avec 1 000 euros
“ìf you’re so smart, why ain’t you so rich?”
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
théorie causale de la décision
◮
notion qui capture la dépendance probabiliste:
P(a ⊲ s)
◮
l’état s est causalement indépendant de l’action a ssi
P(a ⊲ s) = P(s)
◮
règle de décision
ESCausU(ai ) = P(a
P i ⊲ s1 ) × u(ci1 ) + ... + P(ai ⊲ sm ) × u(cim )
ESCausU(ai ) = j P(ai ⊲ sj ) × u(cij )
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
analyse causaliste de Newcomb
◮
revenons au problème de Newcomb:
◮
indépendance causale:
P(0 − B2) = P(a1 ⊲ 0 − B2) = P(a2 ⊲ 0 − B2) = µ
P(1M − B2) = 1 − P(0 − B2) = 1 − µ
0 dans B2 1M dans B2
a1
1 000
1 001 000
a2
0
1 000 000
◮
calcul de l’espérance subjective causale d’utilité:
ESCausU(a1) = 1000µ + 1001000(1 − µ)
ESCausU(a2) = 0µ + 1000000(1 − µ)
◮
comparaison:
ESCausU(a1) − ESCausU(a2) = 1000 > 0
il faut choisir a1 !
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
l’ESCausU s’aligne sur le principe de dominance quand
les actions et les états sont causalement indépendants:
◮
◮
◮
dans de labore, l’ESCausU peut contredire le principe de
dominance
dans le problème de Newcomb, l’ESCausU s’aligne sur le
principe de dominance
l’ESCondU était une sorte de mesure de bienvenue;
l’ESCausU mesure l’efficacité espérée d’un acte à produire
les conséquences que l’agent désire
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action stratégique
L’action collective
2. L’action stratégique
La théorie des jeux
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
en théorie de la décision, l’agent est “seul face à la Nature”
◮
la théorie des jeux s’intéresse aux problèmes de décision
où interviennent plusieurs agents et plus précisément aux
problèmes de décision où les conséquences de l’action
d’un agent (ou “joueur”) dépend de l’action des autres
agents
◮
travaux fondateurs:
• von Neumann & Morgenstern, Theory of Games and
Economic Behavior (1944)
• J. Nash, “Non-Cooperative Games” (1951)
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
le dilemme du prisonnier
◮
Pierre et Jacques sont soupçonnés d’avoir commis
ensemble un crime majeur et son interrogés séparément
par la police
◮
les policiers ont assez d’éléments pour les convaincre d’un
crime mineur, mais il faudrait que l’un témoigne contre
l’autre pour convaincre l’autre du crime majeur
◮
chacun a deux actions envisageables:
C: coopération, ie ne pas témoigner contre l’autre
T : trahir, ie témoigner contre l’autre
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
ce que Pierre et Jacques encourent dépend de leur
comportement:
• s’ils coopèrent tous les deux, ils passeront 1 an en prison
• s’ils trahissent tous les deux, ils passeront 3 ans en
prison
• si l’un coopère et l’autre trahit, celui qui coopère est
libéré l’autre passera 4 ans en prison
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
ce que Pierre et Jacques encourent dépend de leur
comportement:
• s’ils coopèrent tous les deux, ils passeront 1 an en prison
• s’ils trahissent tous les deux, ils passeront 3 ans en
prison
• si l’un coopère et l’autre trahit, celui qui coopère est
libéré l’autre passera 4 ans en prison
◮
on peut résumer comme suit la situation:
C
T
C
(3, 3)
(4, 0)
M. Cozic
T
(0, 4)
(1, 1)
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
de manière générale, un jeu (à deux joueurs) est donné
par
(i) un ensemble d’actions (ou stratégies) réalisables (Ai ) pour
chaque joueur i - ici AP = AJ = {C, T }
(ii) une fonction d’utilité ui pour chaque joueur i qui associe
une utilité à chaque paire (ai , aj ) - ici Pierre comme
Jacques associent l’utilité 3 à la paire d’actions (C, C)
Rem: l’utilité du joueur i ne dépend pas de sa seule action,
elle dépend également de l’action du joueur j
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
la théorie des jeux s’intéresse à l’issue rationnelle des jeux
ainsi définis
◮
que devraient choisir Pierre et Jacques dans le dilemme
du prisonnier ?
C
T
C
(3, 3)
(4, 0)
M. Cozic
T
(0, 4)
(1, 1)
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
la théorie des jeux s’intéresse à l’issue rationnelle des jeux
ainsi définis
◮
que devraient choisir Pierre et Jacques dans le dilemme
du prisonnier ?
C
T
C
(3, 3)
(4, 0)
T
(0, 4)
(1, 1)
• quel que soit le choix de Jacques, Pierre a intérêt à trahir
• quel que soit le choix de Pierre, Jacques a intérêt à trahir
⇒ l’issue rationnelle du jeu semble être (T , T )
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
on retrouve ici un principe de dominance: ce n’est plus
“quel que soit l’état de la nature...” mais “quel que soit le
choix de l’autre...”
◮
on dit que (T , T ) est un équilibre en stratégies
dominantes (ESD)
◮
pourquoi “équilibre”? Parce qu’aucun des deux joueurs n’a
intérêt à dévier, i.e. à choisir une autre action
◮
l’ESD a les mêmes limitations que le principe de
dominance en théorie de la décision: en général, il ne peut
s’appliquer car il n’y a aucune action qui soit la meilleure
quelle que soit l’action choisie par l’autre joueur
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
Jeu de la Poule Mouillée
◮
Pierre et Jacques sont en voiture sur la ligne blanche et
avançent l’un vers l’autre
◮
chacun a le choix entre céder (C) et tenir (T )
• chacun préfère la situation où il tient et l’autre cède
• chacun préfère que la situation où tous deux cèdent à
celle où tous deux tiennent
• chacun préfère la situation où il cède et l’autre tient à
celle où tous deux tiennent
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
Jeu de la Poule Mouillée
◮
Pierre et Jacques sont en voiture sur la ligne blanche et
avançent l’un vers l’autre
◮
chacun a le choix entre céder (C) et tenir (T )
• chacun préfère la situation où il tient et l’autre cède
• chacun préfère que la situation où tous deux cèdent à
celle où tous deux tiennent
• chacun préfère la situation où il cède et l’autre tient à
celle où tous deux tiennent
◮
on peut représenter la situation ainsi:
C
D
C
(3, 3)
(4, 2)
M. Cozic
D
(2, 4)
(1, 1)
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
C
T
◮
◮
◮
◮
◮
C
(3, 3)
(4, 2)
T
(2, 4)
(1, 1)
il n’y a plus de stratégies dominantes; que faire ?
notion fondamentale: l’équilibre de Nash (EN)
idée : une issue (aP , aJ ) rationnelle du jeu est une issue
où, étant donné ce que Jacques a choisi (aJ ), Pierre n’a
pas d’action meilleure que celle qu’il a choisie (aP ) - et
mutatis mutandis pour Jacques.
(T , T ) ne remplit pas cette condition: si Jacques tient,
Pierre a intérêt à céder
les deux issues qui remplissent la condition sont (T , C) et
(C, T ); ce sont les deux EN du jeu
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
l’équilibre de Nash
◮
de manière générale, une paire (ai , aj ) est un équilibre de
Nash du jeu G ssi
• il n’existe aucune action ai ∗ telle que
ui (ai ∗, aj ) > ui (ai , aj )
• il n’existe aucune action aj ∗ telle que
uj (ai , aj ∗) > uj (ai , aj )
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
le Jeu de Pure Coordination
◮
dans le Jeu de la Poule Mouillée, 2 équilibres de Nash. Q:
comment s’effectue la sélection ?
◮
considérons un Jeu de Pure Coordination
• Pierre et Jacques doivent se retrouver
• il y a trois endroits possibles où se retrouver a, b, c
a
b
c
a (1, 1) (0, 0) (0, 0)
b (0, 0) (1, 1) (1, 1)
c (0, 0) (0, 0) (1, 1)
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
coordination et sélection
◮
dans le cas du Jeu de Pure Coordination, le seul problème
pour les joueurs est de choisir le même endroit ; pas de
divergence dans les intérêts
◮
dans le Jeu de la Poule Mouillée, le problème est plus
délicat: des deux EN, chaque joueur en préfère un (celui
où il tient et où l’autre cède)
◮
si chaque joueur choisit l’action qui correspond à l’équilibre
qu’il préfère, on obtient (C, C)...qui n’est plus équilibre !
◮
problème de la sélection de l’équilibre
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
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L’action stratégique
L’action collective
le Jeu du Débarquement
◮
Pierre et Jacques sont deux généraux ennemis
◮
Jacques veut débarquer, il peut le faire en a ou en b;
Pierre peut placer ses troupes en a ou en b
• si Pierre place ses troupes là où Jacques débarque, c’est
gagné pour lui et perdu pour Jacques
• si Pierre place ses troupes là où Jacques ne débarque
pas, c’est gagné pour Jacques et perdu pour lui
◮
représentation:
a
b
a
(1, −1)
(−1, 1)
M. Cozic
b
(−1, 1)
(1, −1)
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
a
b
a
(1, −1)
(−1, 1)
b
(−1, 1)
(1, −1)
◮
“jeu à somme nulle”: les préférences des deux joueurs
sont diamétralement opposées
◮
il n’y pas de paire d’actions qui soit un équilibre de Nash:
• si (a, a), Jacques a intérêt à jouer b
• si (a, b), Pierre a intérêt à jouer b
• si (b, a), Pierre a intérêt à jouer a
• si (b, b), Jacques a intérêt à jouer a
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
quelle est alors l’issue rationnelle du jeu du débarquement
?
◮
extension probabiliste de l’EN : chaque joueur a le droit de
choisir une stratégie avec une certaine probabilité - on
parle alors de stratégies mixtes
◮
par exemple, il peut tirer une pièce et choisir en fonction du
résultat
◮
dans le jeu du débarquement, il existe un EN en stratégies
mixtes où chaque joueur joue chaque action avec
probabilité 1/2
◮
Nash (1951) a démontré que dans tout jeu fini il existe un
équilibre de Nash en stratégies mixtes
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
jouer à deviner
◮
trois joueurs: Pierre, Jacques et Marc
◮
chacun doit donner un entier entre 1 et 100 ; les gagnants
sont ceux qui sont le plus proche de 2/3 de la moyenne
des trois nombres choisis
◮
les gagnants se partagent 1 euros
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
jouer à deviner
◮
trois joueurs: Pierre, Jacques et Marc
◮
chacun doit donner un entier entre 1 et 100 ; les gagnants
sont ceux qui sont le plus proche de 2/3 de la moyenne
des trois nombres choisis
◮
les gagnants se partagent 1 euros
◮
équilibre de Nash: (1, 1, 1) !
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
revenons au Dilemme du Prisonnier:
C
T
C
(3, 3)
(4, 0)
T
(0, 4)
(1, 1)
◮
est-ce que (T , T ) est vraiment l’issue rationnelle du
Dilemme ?
◮
Pierre et Jacques préfèrent (C, C) à (T , T ): (T , T )
Pareto-domine (C, C)
◮
pourquoi (C, C) ne serait pas l’issue rationnelle?
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
supposons que Pierre et Jacques puissent communiquer
avant de prendre leur décision
◮
ils pourraient alors se mettre d’accord sur (C, C)
◮
problème : au moment de choisir, chacun aurait intérêt à
trahir !
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
si le Dilemme suscite autant d’attention (et de passion),
c’est notamment parce qu’il semble représenter une
structure d’interaction extrêmement répandue
• le désarmement nucléaire entre deux super-puissances
• l’investissement publicitaire de deux candidats à une
élection
• état de nature hobbesien: “état de guerre” = (T , T ) et
“état de paix” = (C, C)
[justification de l’Etat ou du Souverain : des individus
rationnels laissés à eux-mêmes ne peuvent réaliser leur
intérêt commun]
◮
Elster : politics is "the study of ways of transcending
prisoner’s dilemma"
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
n joueurs
• les paturages communs (G. Hardin)
• les quantités de pêche
• faire grève
• prendre les transports en commun plutôt que la voiture
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
Jeu de la Chasse au Cerf
◮
Skyrms, The Stag Hunt and the Evolution of Social
Structure (2004) soutient que la situation la plus
appropriée pour capturer la dimension stratégique du
contrat social n’est pas le Dilemme du Prisonnier mais la
Chasse au Cerf
◮
Rousseau, Discours sur l’origine de l’inégalité:
“S’agissait-il de prendre un cerf, chacun sentait bien qu’il
devait pour cela fidèlement garder son poste; mais si un
lièvre venait à passer à la portée de l’un d’eux, il ne faut
pas douter qu’il ne le poursuivît sans scrupule, et qu’ayant
atteint sa proie il se souciât for peu de faire manquer la
leur à ses compagnons.”
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
cerf
lièvre
◮
◮
◮
◮
cerf
(4, 4)
(2, 0)
lièvre
(0, 2)
(2, 2)
2 équilibres de Nash: (cerf, cerf) et (lièvre, lièvre)
tension entre le bénéfice mutuelle et le risque:
• (cerf, cerf) Pareto-domine (lièvre, lièvre): chaque joueur
préfère (cerf, cerf) à (lièvre, lièvre)
• (lièvre, lièvre) est risque-domine (cerf, cerf): si un joueur
ne sait pas ce que l’autre va faire, il est plus prudent de
choisir lièvre
la course à l’armement: le coût de l’armement est tel qu’un
pays juge préférable que lui et son ennemi ne s’arment
pas plutôt que lui s’arme alors que l’autre ne s’arme pas
le problème est celui de la sélection de l’équilibre - il faut
avoir confiance dans le fait que l’autre choisit cerf
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
la coopération peut-elle “rationnellement” survenir dans
une situation comme celle du Dilemme du Prisonnier ?
(i) l’argument des jumeaux
• chaque joueur peut voir l’autre comme son jumeau:
l’autre raisonne comme moi et ce que j’entends faire me
donne une indication sur ce que lui compte faire:
C
T
◮
C
.95
.03
T
.05
0.97
on se retrouve alors dans une situation bien connue, celle
d’un problème de décision individuelle avec probabilités
conditionnelles
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
l’argument des jumeaux
◮
on peut alors calculer l’ESCondU de chacune des deux
actions réalisables:
ESCondU(C) = (.95 × 3) + (.05 × 0) = 2.85
ESCondU(T ) = (.03 × 4) + (0.97 × 1) = 1.09
◮
mais on se retrouve avec toutes les objections à
l’évidentialisme : confusion du signe et de la cause
◮
K. Binmore, Game Theory and the Social Contract (1994) :
“the game-theoretic equivalent of squaring the
circle consists of justifying the use of a strongly
dominated strategy in the one-shot Prisoner’s
Dilemma”
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
répétition et cooopération
(ii) the shadow of the future
◮
D. Hume, Traité:
“ ...I learn to do a service to another, without
bearing him any real kindness; because I foresee
that he will return my service, in expectation of
another of the same kind, and in order to maintain
the same correspondence of good offices with me
and with others”
◮
la théorie des jeux répétés est la branche de la théorie des
jeux qui étudie l’impact du fait que les individus
interagissent ensemble à plusieurs occasions dans le
temps
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
répétition et coopération
◮
idée: montrer à quelles conditions la coopération peut
procéder de l’intérêt bien compris de chacun
◮
jeux à horizon fini : il n’y a toujours pas d’autre issue que la
trahison mutuelle !
◮
jeux à horizon infini : la menace d’une sanction indéfinie
permet de faire émerger des stratégies coopératives
• exemple : Oeil-pour-Oeil
◮
mais les stratégies coopératives ne sont pas les seules à
être des équilibres dans le jeu à horizon infini
⇒ on aboutit à un problème du type “Chasse au Cerf”
(Skyrms 2004)
M. Cozic
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L’action collective
3. L’action collective
La théorie du choix social
M. Cozic
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L’action collective
le choix social
◮
un groupe est constitué de plusieurs individus
◮
chaque individu a ses propres préférences concernant les
différents états sociaux possibles
◮
comment agréger les préférences inviduelles en une
préférence collective?
• vote: les votants ont des préférences sur les candidats;
la procédure de vote est une procédure qui abouti à une
préférence collective
◮
la théorie du choix social ou théorie du choix collectif est
étudie l’agrégation des préférences individuelles en une
préférence collective
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
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L’action stratégique
L’action collective
le choix social
◮
les premières contributions de la théorie du choix social
remontent aux travaux de Borda et de Condorcet sur le
vote (fin XVIIIème)
◮
la théorie contemporaine remonte aux travaux fondateur
de K. Arrow (1951)
M. Cozic
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L’action stratégique
L’action collective
paradoxe de Condorcet
◮
3 candidats: a, b et c ; 3 électeurs: Pierre, Jean et Marc
Pierre
Jean
Marc
◮
a≻b≻c
b≻c≻a
c≻a≻b
règle majoritaire: x ≻c y ssi x ≻ y majoritairement:
a ≻c b
b ≻c c
c ≻c a
◮
Condorcet, Essai sur l’application de l’analyse à la
probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix
(1785)
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
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L’action stratégique
L’action collective
◮
problème: la préférence collective (≻c ) n’est plus transitive
(elle est cyclique)
◮
Q: après tout, pourquoi ne pas se passer de la transivité?
Mais comment choisir entre a, b et c?
M. Cozic
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L’action collective
le cadre
◮
un ensemble N = {1, ..., n} d’individus, chacun ayant une
relation de préférence i rationnelle (réflexive, transitive et
complète) sur X
◮
C est la préférence collective sur X
◮
f (.) est une fonction de choix social (ou fonction
d’agrégation): elle associe à tout n-uplet de préférences
individuelles (1 , ..., n ) une préférence collective C :
f (1 , ..., n ) =C
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
condition R (rationalité): les préférences collectives C
sont rationnelles (réflexives, transitives et complexes)
◮
condition U (universalité): une fonction d’agrégation peut
avoir pour argument n’importe quel n-uplet de préférences
rationnelles
◮
condition P (Pareto): soient a, b ∈ X deux options. Si
pour tout i ∈ N, a ≻i b, alors a ≻C b
• principe d’unanimité: si tout le monde est d’accord pour
préférer strictement a à b, alors le groupe préfère
strictement a à b
• apparemment bénin, mais : pas de valeurs imposées
aux individus au sens où si tous les individus sont
d’accord, la collectivité préfère ce qu’ils préfèrent
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
condition I (Indépendance des options non-pertinentes):
pour toute paire d’options a, b ∈ X , la préférence collective
C sur {a, b} ne dépend que des préférences individuelles
sur {a, b}
soient deux profils de préférences (1 , ..., n ) et
(′1 , ..., ′n ) tels que pour tout individu i
a i b ssi a ′i b
alors af (1 , ..., n )b ssi af (′1 , ..., ′n )b
la règle majoritaire satisfait la condition I
◮
condition D (absence de dictature): il n’existe pas
d’individu i tel que pour tout a, b ∈ X , si a ≻i b alors a ≻C b
• un dictateur est un individu qui impose ses préférences
(strictes) au groupe dans son ensemble
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
théorème d’Arrow
◮
Théorème d’impossibilité d’Arrow (1951)
S’il y a moins 2 individus et 3 options, il n’existe pas de
fonction de choix social qui satisfasse simultanément les
conditions R, U, P, I et D.
◮
Théorème d’impossibilité d’Arrow (1951) (bis)
S’il y a moins 2 individus et 3 options, si une fonction de
choix social satisfait simultanément les conditions R, U, P,
I, alors il existe un dictateur.
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
depuis 50 ans, la théorie du choix social cherche à
contourner le théorème d’impossibilité d’Arrow en
affaiblissant certaines des conditions
◮
exemple: on peut exiger que la préférence collective C
soit seulement quasi-transitive: ≻C est transitive mais ∼C
peut ne pas l’être.
◮
on peut montrer qu’une fonction de choix social qui est
quasi-transitive et qui satisfait les conditions U, P et I est
nécessairement oligarchique: il existe un groupe
d’individus O ⊆ N tel que
a C b ssi il existe i ∈ O tel que a ≻i b
a ≻C b ssi pour tout i ∈ O, a ≻i b
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
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L’action collective
◮
en outre, il existe d’autres théorèmes d’impossibilité
"cousins"
(i) le théorème d’impossibilité du parétien libéral (Arrow 1970)
(ii) le théorème de Gibbard-Satterthwaite
M. Cozic
L’action rationnelle
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L’action collective
le parétien libéral
◮
Sen introduit dans le cadre de la théorie du choix social la
notion de liberté individuelle via une condition minimale
◮
les états sociaux a et b ne diffèrent qu’en ceci: a l’individu
porte du rouge et dans b du noir. i doit avoir la liberté de
choisir entre a et b - même si les autres individus ont des
préférences qui contredisent celle de i.
◮
idée: il y au moins deux options pour un individu i sur
lesquelles l’individu est décisif : la préférence sociale doit
alors s’aligner sur les préférences de i
◮
condition LM (liberté minimale): il existe deux individus i
et j tels que pour chacun il existe deux options sur
lesquelles ils sont décisifs
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
◮
Théorème d’impossibilité du Parétien Libéral (Sen,
1970)
S’il y a au moins deux individus et deux options, il n’existe
pas de fonction de choix social qui satisfasse
simultanément les conditons R*, U, P et LM.
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
l’Amant de Lady Chatterley
◮
un livre, l’Amant de Lady Chatterley
◮
2 individus: l’un prude (pr ), l’autre libertin (lib)
◮
trois états sociaux:
a: pr lit le roman
b: lib lit le roman
c: personne ne le lit
◮
préférences:
c ≻pr a ≻pr b
a ≻lib b ≻lib c
◮
pr est décisif sur {a, c} et lib sur {b, c}
M. Cozic
L’action rationnelle
Introduction
L’action individuelle
L’action stratégique
L’action collective
l’Amant de Lady Chatterley
◮
en vertu de la condition de liberté minimale (LM), on a
donc:
c ≻C a et b ≻C c
◮
en vertu de la condition de Paréto, on a:
a ≻C b
◮
et on obtient donc une préférence collective cyclique:
c ≻C a ≻C b ≻C c
◮
interprétation de Sen:
◮
◮
“...in very basic sense liberal values conflict with the Pareto
Principle”
“the ultimate guarantee for individual liberty may rest not on
rules for social choice but on developing individual values
that respect each other’s personal choices”
M. Cozic
L’action rationnelle