Chapitre 4. Indices simples et synthétiques

Chapitre 4.
Indices simples et synthétiques
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Indices simples
Indices synthétiques
Exemple introductif et problématique
On considère une série statistique faisant intervenir divers prix ou diverses
quantités sur plusieurs périodes. Par exemple :
I phone 5 (par unité)
I pad air (par unité)
octobre
419
500
novembre
426
428
décembre
385
415
Table: Evolutions des prix (en euros et en France) des I phones et I pads
d’octobre à décembre 2015
Deux questions se posent :
1
Comment peut-on comparer l’évolution des prix ou des quantités
évoluant au cours du temps ?
2
Comment peut-on résumer la série en une seule grandeur
synthétique ?
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Indices simples
Indices synthétiques
Sommaire
1
Indices simples
Présentation des indices simples
Propriétés
2
Indices synthétiques
Présentation des indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Propriétés
3 / 25
Indices simples
Indices synthétiques
Présentation des indices simples
Indice simple : définition et exemple
Définition
Désignons par V une grandeur numérique évoluant au cours du temps et
par t un instant. On appelle indice simple (ou indice élémentaire) de V à
l’instant t en base 100 par rapport à l’instant t0 le nombre positif défini
par :
Vt
V
× 100,
It|t0 = It|t
=
0
Vt0
où Vt0 est la valeur au temps t0 et Vt la valeur au temps t.
Exemple : on considère l’évolution des prix des I phones (exemple
introductif). Ici V = P désigne le prix. Les indices simples en novembre
par rapport à octobre et décembre par rapport à novembre sont :
P
Inov
|oct =
426
385
P
× 100 = 101.7 et Idéc|nov
× 100 = 90.4.
=
419
426
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Indices simples
Indices synthétiques
Présentation des indices simples
Interprétation de l’indice simple
Remarque
Soit V une grandeur numérique et It|t0 l’indice simple de V à l’instant t
par rapport à l’instant t0 . Posons ∆Vt|t0 = It|t0 − 100.
I
Si ∆Vt|t0 ≥ 0, la grandeur a augmenté de ∆Vt|t0 % entre t0 et t.
I
Si ∆Vt|t0 < 0, la grandeur a diminué de |∆Vt|t0 |% entre t0 et t.
Exemple : Reprenons l’exemple des I phones.
I
On a ∆Pnov |oct = +1.7 : donc le prix (moyen) d’un I phone a
augmenté de 1.7% entre octobre et novembre.
I
On a ∆Pdéc|nov = −9.6 : donc le prix (moyen) d’un I phone a diminué
de 9.6% entre novembre et décembre.
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Indices simples
Indices synthétiques
Propriétés
Circularité
Proposition
Soit V une grandeur numérique ayant pour valeurs Vt0 , Vt et Vt 0 aux
instants t0 , t et t 0 . Alors
V
×
ItV0 |t0 = ItV0 |t × It|t
0
I
I
1
.
100
On dit que l’indice simple vérifie la propriété de circularité.
L’intérêt d’une telle formule est qu’on peut connaître l’évolution de
t0 à t 0 en connaissant seulement les évolutions de t0 à t et de t à t 0
(sans nécessairement connaître les valeurs Vt0 , Vt et Vt 0 ).
Exemple : on a vu que le prix des I phones a augmenté de 1.7% entre
octobre et novembre et diminué de 9.6% entre novembre et décembre.
P
I On a donc I P
nov |oct = 101.7 et Idéc|nov = 90.4.
1
I On en déduit que I P
déc|oct = 101.7 × 90.4 × 100 = 91.9 et donc que
∆Pdéc|oct = −8.1.
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Indices simples
Indices synthétiques
Propriétés
Réversibilité
Proposition
Soit V une grandeur numérique ayant pour valeurs Vt0 et Vt aux instants
t0 et t. Alors
1
ItV0 |t = V × 1002 .
It|t0
I
I
On dit que l’indice simple est réversible.
L’intérêt de cette formule est qu’il suffit de connaître l’évolution de
t0 à t pour connaître celle de t à t0 (sans nécessairement connaître
les valeurs Vt0 et Vt ).
Exemple : on a vu que le prix d’un I phone a diminué de 8.1% entre
octobre et décembre.
I On a donc Idéc|oct = 91.9.
I On en déduit que l’évolution de décembre à octobre est donnée par
1
Ioct|déc = 91.9
× 1002 = 108.8 et donc que ∆Poct|déc = 8.8.
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Indices simples
Indices synthétiques
Propriétés
Produit et rapport de grandeurs
Proposition
Soit V une grandeur numérique telle que, à tout instant :
1
V est égale au produit de grandeurs b et c, i.e. V = a × b. Alors
V
a
b
It|t
= It|t
× It|t
×
0
0
0
2
1
.
100
V est égale au rapport de grandeurs b et c, i.e. V = a/b. Alors
V
It|t
=
0
a
It|t
0
b
It|t
0
× 100.
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Indices simples
Indices synthétiques
Propriétés
Exemple de produit de grandeurs
Exemple : une entreprise vend 130 I phones à 419 euros (par pièce) en
octobre et 220 I phones à 385 euros (par pièce) en décembre. Ici, V = R
est la recette, a = P est le prix et b = Q est la quantité.
I
P
On a donc Idéc|oct
=
Q
Idéc|oct
I
=
220
130
385
419
× 100 = 91.9 et
× 100 = 169.2.
On en déduit que l’évolution des recettes de octobre à décembre est
1
R
= 155.5 et donc que
donnée par Idéc|oct
= 91.9 × 169.2 × 100
R
∆déc|oct = 55.5.
Remarque : pour les trois propriétés énoncées ci-dessus (circularité,
réversibilité et produit/rapport de grandeurs), on remarque que les
pourcentages ∆Vt|t0 des augmentations/diminutions ne s’additionnent pas.
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Indices simples
1
Indices simples
2
Indices synthétiques
Présentation des indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Propriétés
Indices synthétiques
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Indices simples
Indices synthétiques
Présentation des indices synthétiques
Motivation
I
En pratique, les données que l’on considère sont des paniers
c’est-à-dire des ensembles de grandeurs numériques caractérisés par
leurs indices simples.
Dans l’exemple introductif, les grandeurs numériques sont les prix
des I phones et I pads.
Au restaurant, le prix d’un plat dépend de plusieurs grandeurs telles
que les prix et les quantités de diverses matières premières (par ex :
sel, blé, viande).
Au cinéma, le nombre d’entrées dépend du nombre de films et du
nombre moyen d’entrées par film.
Plus généralement, une production économique est composée de
plusieurs biens.
I
Une question naturelle est la suivante : comment peut-on résumer la
série en une seule grandeur synthétique c’est-à-dire une grandeur
composite qui résume un ensemble d’indices simples ?
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Indices simples
Indices synthétiques
Présentation des indices synthétiques
Notations
Considérons un ensemble de k produits. Pour tout 1 ≤ i ≤ k, on note :
I
Pt;i , le prix du i-ième produit à l’instant t ;
I
Qt;i , la quantité de i-ième produit.
Définition
On appelle :
I
valeur globale du i-ième produit à l’instant t le nombre
Vt;i = Pt;i × Qt;i ;
I
valeurP
globale de l’ensemble des produits à l’instant t le nombre
k
Vt = i=1 Vt;i ;
I
indice global de l’instant t par rapport à l’instant t0 le nombre
V
It|t
= VVtt × 100.
0
0
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Indices simples
Indices synthétiques
Présentation des indices synthétiques
Exemple d’indice global et problématique
Exemple : l’entreprise Apple vend à une sous-population (non précisée
ici), en octobre et décembre 2015, les produits suivants :
Produit
I phones 5
I pads
Prix
419
500
octobre
Quantités
25
17
décembre
Prix Quantités
385
21
415
18
L’évolution de la recette d’Apple pour cette sous-population est donnée
par :
385 × 21 + 415 × 18
V
Idéc|oct
=
× 100 = 82.0.
419 × 25 + 500 × 17
En particulier, les recettes ont diminué de 18%.
Question : cette diminution est-elle davantage due à la baisse des prix
ou à la baisse du nombres de produits vendus ?
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Indices simples
Indices synthétiques
Présentation des indices synthétiques
Principe des indices synthétiques
I
Pour pouvoir déterminer l’influence des prix et des quantités sur les
recettes, il convient de fournir d’autres types d’indices permettant
d’isoler soit les prix soit les quantités.
I
Les indices que nous allons considérer sont au nombre de trois
(Laspeyres, Paasche et Fisher).
I
On dit que ces trois indices indices sont synthétiques au sens où ils
permettent de mesurer l’évolution d’un ensemble de produits ou de
données.
I
Pour chacun de ces trois indices, nous considérerons deux sous-cas :
celui où les quantités sont fixées et celui où les prix sont fixés.
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Indices simples
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indice de Laspeyres
Définition
Considérons un panier de k produits. On appelle indice de Laspeyres des
prix et des quantités les nombres réels positifs suivants :
Pk
Pk
Pt;i Qt0 ;i
i=1 Pt0 ;i Qt;i
× 100 et LQ
=
× 100.
LPt|t0 = Pki=1
Pk
t|t0
P
Q
i=1 t0 ;i t0 ;i
i=1 Pt0 ;i Qt0 ;i
I
I
Pour l’indice des prix, ce sont les quantités qui sont fixées et pour
l’indice des quantités, ce sont les prix qui sont fixés.
Les termes fixés sont fixés à l’instant t0 .
Exemple : reprenons l’exemple des ventes d’I phones et I pads. On a :
385 × 25 + 415 × 17
× 100 = 87.9;
419 × 25 + 500 × 17
419 × 21 + 500 × 18
=
× 100 = 93.8.
419 × 25 + 500 × 17
LPdéc|oct =
LQ
déc|oct
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Indices simples
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indice de Paasche
Définition
Considérons un panier de k produits. On appelle indice de Paasche des
prix et des quantités les nombres réels positifs suivants :
Pk
Pk
Q
P
i=1 Pt;i Qt;i
i=1 Pt;i Qt;i
×
100
et
P
=
× 100.
Pt|t
=
Pk
Pk
t|t0
0
P
Q
i=1 t0 ;i t;i
i=1 Pt;i Qt0 ;i
I
I
Pour l’indice des prix, ce sont les quantités qui sont fixées et pour
l’indice des quantités, ce sont les prix qui sont fixés.
Les termes fixés sont fixés à l’instant t.
Exemple : reprenons l’exemple des ventes d’I phones et I pads. On a :
385 × 21 + 415 × 18
× 100 = 87.4;
419 × 21 + 500 × 18
385 × 21 + 415 × 18
=
× 100 = 93.3.
385 × 25 + 415 × 17
P
Pdéc|oct
=
Q
Pdéc|oct
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Indices simples
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Expressions sous forme de moyennes des indices de
Laspeyres et de Paasche
Considérons un panier constitué de k produits.
I
Les indices de Laspeyres et de Paasche pour le prix peuvent s’écrire
respectivement comme des moyennes arithmétique ou harmonique
pondérés des indices simples des prix. Plus précisément, on a :
Pk
LPt|t0
I
=
P
i=1 Vt;i It|t0 ;i
Pk
i=1 Vt0 ;i
et
P
Pt|t
0
Pk
Vt;i
−1 .
P
× It|t
0 ;i
i=1
=
Pk
i=1
Vt;i
On obtient des expressions analogues pour les indices des quantités.
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Indices simples
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Comparaison des indices de Laspeyres et de Paasche
I
Chacun des deux indices présente un avantage et un inconvénient
par rapport à l’autre :
l’indice de Laspeyres a l’avantage d’être plus économe que celui de
Paasche car seuls les poids à la date de référence sont demandés ;
l’indice de Laspeyres a l’inconvénient d’être moins représentatif dans
le temps que celui de Paasche car les poids à la date de référence
deviennent obsolètes.
I
A pondérations égales, l’indice de Laspeyres a tendance à
sur-estimer (en tant que moyenne arithmétique) et celui de Paasche
a tendance à sous-estimer (en tant que moyenne harmonique).
I
Pour remédier au fait que chacun des deux indices présente un
avantage/inconvénient par rapport et l’autre et au fait que les
indices ont des tendances opposées, on introduit un troisième indice
(plus précis mais plus compliqué) qui s’écrit comme une combinaison
des deux autres.
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Indices simples
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indice de Fisher
Définition
Considérons un panier de k produits. On appelle indice de Fisher des prix
et des quantités les nombres réels positifs suivants :
q
q
Q
P
P × P P et F Q =
Ft|t
L
LQ
=
t|t0
t|t0
t|t0
t|t0 × Pt|t0 .
0
I
I
Pour l’indice des prix, ce sont les quantités qui sont fixées et pour
l’indice des quantités, ce sont les prix qui sont fixés.
L’indice de Fisher est la moyenne géométrique des indices de
Laspeyres et de Paasche.
Exemple : reprenons l’exemple des ventes d’I phones et I pads. On a :
√
P
Fdéc|oct
= 87.9 × 87.4 = 87.6;
√
Q
Fdéc|oct
= 93.8 × 93.3 = 93.5.
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Indices simples
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Utilisations des indices synthétiques
I
Les indices synthétiques sont utilisés pour réguler ou encadrer
diverses grandeurs économiques. Citons, par exemple :
l’indice
l’indice
l’indice
l’indice
des prix à la consommation ;
de la production industrielle ;
du commerce extérieur ;
des salaires.
I
La plupart des gouvernements européens préfèrent l’indice de
Laspeyres en raison de la simplicité de son utilisation et de sa
stabilité.
I
A contrario, l’agence du gouvernement fédéral canadien (StatCan)
utilise depuis 2001 l’indice de Fisher au lieu de celui de Laspeyres
pour calculer l’estimation du PIB réel en termes de dépenses.
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Indices simples
Indices synthétiques
Propriétés
Relations entre les indices
Proposition
Considérons un panier de k produits. Alors
1
100
1
P
= Pt|t
× LQ
t|t0 × 100
0
1
Q
P
= Ft|t
× Ft|t
×
.
0
0
100
Q
V
It|t
= LPt|t0 × Pt|t
×
0
0
Remarque : considérons le cas particulier où il n’y a que k = 1 produit.
I
Q
Q
Q
P
P
P
D’une part, It|t
= LPt|t0 = Pt|t
= Ft|t
et It|t
= LQ
t|t0 = Pt|t0 = Ft|t0 .
0
0
0
0
I
Q
V
P
D’autre part, It|t
= It|t
× It|t
×
0
0
0
I
En particulier, on retrouve bien la proposition dans le cas où k = 1.
1
100 .
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Indices simples
Indices synthétiques
Propriétés
Exemple de relations entre les indices
Exemple : reprenons l’exemple des I phones et I pads.
I
On a obtenu les résultats suivants :
V
Idéc|oct
82.0
I
LPdéc|oct
87.9
P
Pdéc|oct
87.4
P
Fdéc|oct
87.6
LQ
déc|oct
93.8
Q
Pdéc|oct
93.3
Q
Fdéc|oct
93.5
En particulier, on retrouve bien que :
1
100
1
= 87.4 × 93.8 ×
100
1
= 87.6 × 93.5 ×
100
82.0 = 87.9 × 93.3 ×
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Indices simples
Indices synthétiques
Propriétés
Réversibilité
Proposition
Considérons un panier constitué de k produits et désignons le prix ou la
quantité par un •. Alors
1
2
V
l’indice global est réversible c’est-à-dire It|t
=
0
1
ItV |t
× 1002 ;
0
•
l’indice de Fisher est réversible c’est-à-dire Ft|t
=
0
1
Ft• |t
× 1002 .
0
Remarques :
I les indices de Laspeyres et de Paasche ne sont pas réversibles ;
I
en revanche, on a la relation suivante : L•t|t0 =
1
Pt• |t
× 1002 .
0
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Indices simples
Indices synthétiques
Propriétés
Circularité
Proposition
V
Considérons un panier constitué de k produits. Alors, l’indice global It|t
0
V
V
V
vérifie la propriété de circularité c’est-à-dire It 0 |t0 = It 0 |t × It|t0 pour tous
instants t0 , t et t 0 .
Remarques :
I
les indices de Laspeyres, de Paasche et de Fisher ne vérifient pas la
propriété de circularité ;
I
pour y remédier, on peut considérer d’autres types d’indices (plus
compliqués), construits à partir des indices précédents et vérifiant,
cette fois-ci, la propriété de circularité.
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Indices simples
Indices synthétiques
Propriétés
L’essentiel
I
Calculer l’indice simple d’une valeur numérique.
I
Calculer les indices synthétiques de Laspeyres, Paasche et Fisher :
directement, à partir des données sur les prix et les quantités ;
en utilisant les relations entre les indices synthétiques.
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