Structures algébriques

Structures algébriques
Plan du chapitre
1Lois de composition interne .............................................................................page 2
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . page 2
1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.3 Propriétés éventuelles des lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.3.1 Commutativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 2
1.3.2 Associativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.3.2 Distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.4 Eléments particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 3
1.4.1 Elément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 3
1.4.2 Elément absorbant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 3
1.4.3 Elément symétrisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 3
1.4.4 Elément simplifiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 4
1.5 Parties stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 4
2Groupes ....................................................................................................page 5
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . page 5
2.2 Groupes de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 5
2.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 6
2.4 La notation nx ou xn,n∈Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 8
3Anneaux ....................................................................................................page 9
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . page 9
3.2 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 10
3.3 Groupe des inversibles d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 10
3.4 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 10
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1 Lois de composition interne
1.1 Définition
Définition 1. Soit Eun ensemble non vide. Une loi de composition interne sur E(ou encore une opération dans
E) est une application de E×Edans E.
Il s’agit de comprendre que le schéma : pour xet yréels, la somme de xet yest x+y, le schéma : pour Aet Bparties de
E, l’intersection de Aet Best A∩B, et le schéma : pour fet gapplications de Cdans C, la composée de fsuivie de gest
g◦f, sont un seul et même schéma. Dans les trois cas, on prend deux objets de même nature (deux réels dans le premier
cas, deux parties d’un ensemble dans le deuxième et deux applications de Rdans Rdans le troisième), et on construit un
nouvel objet de même nature que les deux objets de départ (la somme de deux réels est un réel, l’intersection de deux
parties de Eest une partie de Eet la composée de deux applications de Rdans Rest une application de Rdans R).
1.2 Exemples
•Dans N,Z,Rou C, l’addition et la multiplication sont des lois de composition interne.
•Dans N, la soustraction n’est pas une loi interne, mais elle l’est dans Z.
•La division dans Rn’est pas une loi interne mais la division dans R∗l’est.
•Dans N∗, l’exponentiation, c’est-à-dire l’application (N∗)2→N∗
(a, b)7→ab
, le PGCD ou le PPCM sont des lois internes.
•Eétant un ensemble donné, l’intersection et la réunion sont des lois de composition interne dans P(E).
•Si Eest un ensemble non vide, la composition des applications de Edans Eest une loi interne dans EE.
La liste précédente est très loin d’être exhaustive.
1.3 Propriétés éventuelles des lois de composition interne
Soient Eun ensemble non vide et ∗une loi de composition interne sur E.∗peut avoir ou non une ou plusieurs des propriétés
suivantes :
1.3.1 Commutativité
Définition 2. ∗est commutative ⇔∀(x, y)∈E2, x ∗y=y∗x.
L’addition et la multiplication dans Csont commutatives. La loi ◦dans EEfournit l’exemple le plus important de loi non
commutative (en général f◦g6=g◦f).
1.3.2 Associativité
Définition 3. ∗est associative ⇔∀(x, y, z)∈E3,(x∗y)∗z=x∗(y∗z).
Si ∗est associative, les expressions (x∗y)∗zet x∗(y∗z)peuvent se noter tout simplement x∗y∗z.
L’addition et la multiplication dans Cou la composition dans EEsont des lois associatives ((f◦g)◦h=f◦(g◦h)et on
peut écrire plus simplement f◦g◦h). La division dans C∗est interne mais n’est pas associative. Cela a pour conséquence
que la notation
A
B
C
n’a pas de signification et qu’il faut affiner en
A
B
C
=AC
Bou
A
B
C
=A
BC .
De même, l’exponentiation dans N∗n’est pas associative, de sorte que l’écriture abcn’a pas de sens. Il faut affiner en
a(bc)ou (ab)c=abc. Par exemple, 2(23)=28=256 alors que (22)3=43=64.
1.3.3 Distributivité d’une loi sur une autre
Définition 4. Soient Eun ensemble non vide et ∗et Tdeux lois de composition internes sur E.
Test distributive sur ∗⇔∀(x, y, z)∈E3, x T (y∗z) = (x T y)∗(x T z)et (y∗z)T x = (y T x)∗(z T x).
Si on sait que Test commutative, une et une seule des deux égalités ci-dessus suffit.
Dans C, la multiplication est distributive sur l’addition mais l’addition n’est pas distributive sur la multiplication.
Dans P(E), l’intersection est distributive sur la réunion et la réunion est distributive sur l’intersection.
Dans RR,◦est distributive à droite sur +, mais pas à gauche ((g+h)◦f=g◦f+h◦f, mais en général, f◦(g+h)6=f◦g+f◦h.
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1.4 Eléments particuliers
1.4.1 Elément neutre
Définition 5. Soient Eun ensemble non vide et ∗une loi interne sur E.
Soit e∈E.eest élément neutre pour ∗⇔∀x∈E, e ∗x=x∗e=x.
∗admet un élément neutre dans E⇔∃e∈E/ ∀x∈E, x ∗e=e∗x=x.
➱Commentaire .
⋄Notez bien l’ordre des quantificateurs ∃e∈E/ ∀x∈E, ... qui dit que eest précis et ne dépend pas de x, et non pas ∀x∈E, ∃e∈E/...
qui permettrait à ede changer quand xchange.
⋄Si on sait que la loi ∗est commutative, une et une seule des deux égalités (∀x∈E, x ∗e=xou ∀x∈E, e ∗x=x) ci-dessus suffit.
Théorème 1. Si ∗admet un élément neutre, celui-ci est unique.
Démonstration .Soient eet e′deux éléments neutres (pas nécessairement distincts). Alors e=e∗e′=e′.❏
Exemples
•Dans C,0est élément neutre pour l’addition et 1est élément neutre pour la multiplication.
•Dans EE,IdEest élément neutre pour la loi ◦.
•Dans P(E),Eest élément neutre pour l’intersection et ∅est élémet neutre pour la réunion. ❏
1.4.2 Elément absorbant
Définition 6. Soient Eun ensemble non vide et ∗une loi interne sur E.
Soit a∈E.aest élément absorbant pour ∗⇔∀x∈E, a ∗x=x∗a=a.
•Dans C,0est absorbant pour la multiplication.
•Dans P(E),Eest absorbant pour la réunion et ∅est absorbant pour l’intersection.
•Pour l’exponentiation dans N∗,1est absorbant à gauche (∀a∈N∗,1a=1) et est élément neutre à droite (∀a∈N∗,
a1=a).
1.4.3 Elément symétrisable
Définition 7. Soient Eun ensemble non vide et ∗une loi interne sur Epossédant un élément neutre e.
Soit x∈E.
xadmet un symétrique à gauche pour ∗⇔∃x′∈E/ x′∗x=e.
xadmet un symétrique à droite pour ∗⇔∃x′∈E/ x ∗x′=e.
xadmet un symétrique pour ∗⇔∃x′∈E/ x ∗x′=x′∗x=e.
xest symétrisable à gauche pour ∗si et seulement si xadmet un symétrique à gauche pour ∗.
xest symétrisable à droite pour ∗si et seulement si xadmet un symétrique à droite pour ∗.
xest symétrisable pour ∗si et seulement si xadmet un symétrique pour ∗.
➱Commentaire .
⋄Notez que ici, on fournit x′après avoir fourni x(soit x∈E...∃x′∈E...) et donc bien sûr, x′varie quand xvarie.
⋄Si on sait que la loi ∗est commutative, une et une seule des deux égalités ci-dessus suffit.
Théorème 2. Soit xun élément de E. Si ∗est associative, possède un élément neutre eet si xadmet un symétrique
pour ∗, celui-ci est unique.
Démonstration .Soit xun élément de E. Soient x′et x′′ deux éléments symétriques de x(pas nécessairement distincts).
Alors, x′′ =e∗x′′ = (x′∗x)∗x′′ =x′∗(x∗x′′ ) = x′∗e=x′.❏
Si ∗est l’addition dans C, le symétrique (défini ci-dessus de manière très générale) d’un complexe zn’est autre que −zet
s’appelle l’opposé de z.
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Si ∗est la multiplication dans C\ {0}, le symétrique d’un complexe non nul zn’est autre que 1
zet s’appelle l’inverse de
z. (Ainsi, l’égalité i2= −1qui s’écrit encore i×(−i) = 1doit immédiatement signifier dans notre tête que iet −isont
inverses l’un de l’autre et donc 1
i= −iet 1 −i=i).
Si ∗est la composition des applications, les éléments de EEqui admettent un symétrique pour la loi ◦sont les bijections
de Esur E. Le symétrique d’une bijection fpour la loi ◦n’est autre que sa réciproque f−1.
Théorème 3. Soient Eun ensemble non vide puis ∗une loi de composition interne sur E, associative et possédant un
élément neutre e.
Soient xet ydeux éléments de E. Si xet ysont symétrisables, alors x∗yest symétrisable et (x∗y)′=y′∗x′.
Démonstration .Soient xet ydeux éléments symétrisables de E. Soient x′et y′leurs symétriques respectifs.
(x∗y)∗(y′∗x′) = x∗(y∗y′)∗x′=x∗e∗x′=x∗x′=e
et
(y′∗x′)∗(x∗y) = y′∗(x′∗x)∗y=y′∗e∗y=y′∗y=e.
Donc, x∗yest symétrisable et son symétrique est y′∗x′.❏
Ainsi,
•dans C, l’opposé − (z1+z2)de z1+z2est −z1−z2,
•dans C∗, l’inverse 1
z1×z2
de z1×z2est 1
z1
×1
z2
,
•et dans l’ensemble des bijections d’un ensemble Esur lui-même, la réciproque (g◦f)−1de g◦fest f−1◦g−1(et pas
g−1◦f−1).
1.4.4 Elément simplifiable
Définition 8. Soient Eun ensemble non vide et ∗une loi interne sur E.
Soit x∈E.
xest simplifiable à gauche pour ∗⇔∀(y, z)∈E2, x ∗y=x∗z⇒y=z.
xest simplifiable à droite pour ∗⇔∀(y, z)∈E2, y ∗x=z∗x⇒y=z.
xest simplifiable si et seulement si xest simplifiable à gauche et à droite.
Théorème 4. Si ∗est associative et possède un élément neutre e, tout élément symétrisable est simplifiable.
Démonstration .Soit xun élément de E, symétrisable pour ∗. Soit x′son symétrique pour ∗. Pour (y, z)∈E2,
x∗y=x∗z⇒x′∗(x∗y) = x′∗(x∗z)⇒(x′∗x)∗y= (x′∗x)∗z⇒e∗y=e∗z⇒y=z.
❏
•Dans C, tout élément est simplifiable pour l’addition : ∀(z, z′, z′′ )∈C3,(z+z′=z+z′′ ⇒z′=z′′ ).
•Dans C, les éléments simplifiables pour la multiplication sont les complexes non nuls : ∀(z, z′, z′′ )∈C∗×C×C,
(z×z′=z×z′′ ⇒z′=z′′ ). Mais attention, on ne simplifie pas par 0(0×1=0×2mais 16=2). Donc, az =az′6⇒z=z′
mais (az =az′et a6=0)⇒z=z′.
•Dans EE, on peut montrer que les éléments simplifiables à gauche sont les injections, les éléments simplifiables à droite
sont les surjections et les éléments simplifiables sont les bijections.
1.5 Parties stables
Définition 9. Soient Eun ensemble non vide puis ∗une loi de composition interne sur E. Soit Fune partie non vide
de E.
Fest stable pour ∗⇔∀(x, y)∈F2,x∗y∈F.
•Dans Z, l’ensemble des nombres pairs est stable pour l’addition (la somme de deux nombres pairs est un nombre pair)
ou pour la multiplication (le produit de deux nombres pairs est un nombre pair) alors l’ensemble des nombres impairs
est stable pour la multiplication (le produit de deux nombres impairs est un nombre impair) mais n’est pas stable pour
l’addition (la somme de deux nombres impairs n’est pas toujours un nombre impair).
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•Dans EE, l’ensemble des injections, l’ensemble des surjections et l’ensemble des bijections sont stables pour ◦(la composée
de deux injections (resp. deux surjections, deux bijections) est une injection (resp. une surjection, une bijection)).
•Dans C, l’ensemble Udes nombres complexes de module 1est stable pour la multiplication (un produit de deux nombres
complexes de module 1est un nombre complexe de module 1.
Définition 10. Soient Eun ensemble non vide puis ∗une loi de composition interne sur E. Soit Fune partie non vide
de E, stable pour ∗.
L’application F×F→F
(x, y)7→x∗y
est appelée loi induite par ∗sur F.
2 Groupes
2.1 Définition
Définition 11. Soit Gun ensemble non vide muni d’une loi de composition interne (notée ∗).
(G, ∗)est un groupe si et seulement si
1) ∗est associative,
2) ∗possède un élément neutre dans G
3) tout élément de Gpossède un symétrique pour ∗dans G.
Si de plus, ∗est commutative, le groupe (G, ∗)est dit commutatif ou abélien.
Par exemple, (C,+) est un groupe abélien mais (C,×)n’est pas un groupe car 0n’a pas d’inverse dans C(pour ×).
On peut noter que dans un groupe, tout élément est symétrisable et donc simplifiable.
2.2 Groupes de référence
Le théorème suivant « est immédiat » :
Théorème 5.
(C,+),(R,+),(Q,+),(D,+),(Z,+) sont des groupes commutatifs.
(C∗,×),(R∗,×),(Q∗,×),(D∗,×),(Z∗,×)sont des groupes commutatifs.
Théorème 6. Soit Dune partie de non vide de R.
RD,+et (CD,+) sont des groupes commutatifs.
Démonstration .Dans ce qui suit, Kdésigne Rou C. On rappelle que la somme de deux applications fet gde Ddans K
est définie par :
∀x∈D, (f+g)(x) = f(x) + g(x).
•La somme de deux applications de Ddans Kest une application de Ddans K. Donc, +est une loi de composition interne sur KD.
•Soit (f, g)∈KD2. Pour tout xde D,
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x).
Donc, pour tout (f, g)∈KD2,f+g=g+f. La loi +est commutative dans KD.
•Soit (f, g, h)∈KD2. Pour tout xde D,
((f+g) + h)(x) = (f+g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + (g+h)(x) = (f+ (g+h))(x).
Donc, pour tout (f, g, h)∈KD3,(f+g) + h=f+ (g+h). La loi +est associative dans KD.
•En notant 0, la fonction nulle sur D, pour tout fde D, on a f+0=f. Donc, +possède un élément neutre dans KDà savoir 0, la
fonction nulle sur D.
•Soit f∈KD. En notant −f, la fonction x7→−f(x), on a f+ (−f) = 0. Donc, tout élément fde KDpossède un opposé dans KDà
savoir −f.
On a montré que KD,+est un groupe commutatif.
❏
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