TS1-TS2 Correction du devoir surveillé N° 6 Exercice 1 : On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher. U1 contient k boules blanches ( k entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires. U2 contient 2 boules blanches et une boule noire. 1) a/ Dans l’urne U1, il y a k boules blanches sur k + 3 boules au total ; donc p(B1) = Error!. Et 3 boules noirs sur k + 3 boules au total ; donc p(N1) = Error!. Si B1 se réalise, c’est que l’on a tiré une boule blanche dans l’urne U1 et qu’on la place dans l’urne U2. Dans l’urne U2 , il y alors 3 boules blanches et une boule noire; soit la probabilité de tirer une boule blanche vaut pB1(B2) = Error!, Error! et la probabilité de tirer une boule noire vaut pB1(N2) = Error!. Error! B1 Error! B2 N2 Error! Si N1 se réalise, c’est que l’on a tiré une boule noire dans l’urne U1 et qu’on la place dans l’urne U2. Dans l’urne U2 ,il y alors 2 boules blanches et deux boules noires; soit la probabilité de tirer une boule blanche vaut pN1(B2) = Error! = Error!, et la probabilité de tirer une boule noire vaut pN1(N2) = Error! = Error!. On obtient donc l’arbre des probabilités pondéré ci-contre : N1 B2 Error! N2 Error! b/ p(N1 N2) = p(N1) pN1(N2) = Error! Error! = Error! Error! . c/ Puisque B1 et B2 forment une partition de l’univers, on applique la formule des probabilités totales : p(B2) = p(B1 B2) + p(N1 B2) = p(B1) pB1(B2) + p(N1) pN1(B2) = Error! Error! + Error! Error! = Error!. La probabilité de tirer une boule blanche dans la deuxième urne vaut Error! . d/ pB2(N1) = Error! = Error! = Error! = Error! Error! = Error! Sachant que le joueur a tiré une boule blanche dans la deuxième urne, la probabilité d’avoir tiré une boule noire dans la première urne vaut Error! . 2) Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve. Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur. a/ Si le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, alors il reçoit 12 euros, sachant qu’il avait misé 8 euros ; soit un gain de 12 – 8 = 4 euros. Sinon, il ne gagne rien et perd sa mise de 8 euros ; soit un gain de 0 – 8 = – 8 euros. Les valeurs possibles de X sont ainsi 4 et – 8 . b/ En utilisant la question 1c/ avec k = 12, on a : p(X = 4) = p(B2) =Error! = Error! = Error! p(X = – 8) = p( X = 4 ) = 1 – p(X = 4) = 1 – Error! = Error!. La loi de probabilité de X est donc : X = xi 4 –8 Error! Error! P(X = xi) c/ Alors, E(X) = 4 Error! + ( – 8) Error! = Error! = 0,4 L’espérance mathématique de X vaut 0,4. Le jeu est donc favorable au joueur car l’espérance mathématique de X est positive. Mais le joueur ne peut espérer gagner en moyenne que 40 centimes. Exercice 2 : 1) 2) zA’ = zA² – 4zA = (1 + i)² – 4(1 + i) = 1 + 2i – i² – 4 – 4i = – 4 – 2i et zB’ = zB² – 4zB = (3 – i)² – 4(3 – i) = 9 – 6i + i² – 12 + 4i = – 4 – 2i Les points A’ et B’ ont la même affixe – 4 – 2i ; ils sont donc confondus. 3) On cherche les points M’d’affixe z’ tel que z’ = – 5 z² – 4i = – 5 z² – 4 i + 5 = 0. C’est un trinôme dont le discriminant vaut = – 4. Dans I;C, ce trinôme a donc deux racines distinctes : z1 = Error! = 2 + i et z2 = Error!= 2 – i. Les points qui ont pour image le point d’affixe – 5 sont les points C et D d’affixes respectives 2 + i et 2 – i 4) a/ z’ + 4 = z² - 4z + 4 z’ + 4 = (z – 2)². b/ On en déduit alors que : |z’ + 4| = |(z – 2)²| = |z – 2|² et lorsque z est différent de 2, arg(z’ + 4) = arg[(z – 2)²] = 2 arg (z – 2) [2 ] c/ M décrit le cercle C de centre I et de rayon 2 IM = 2 |z – 2| = 2 |z’ + 4| = |z – 2|² = 4 JM = 4 où J est le point d’affixe – 4. L’ensemble des points M’ décrit donc le cercle C’ de centre J et de rayon 4. 5) Soit E le point d’affixe 2 + 2ei /3, J le point d’affixe – 4 et E’ l’image de E. a/ Le vecteur Error! a pour affixe 2 + 2ei /3 – 2 = 2ei /3 donc IE = |2ei /3 |= 2 et (Error! ; Error!) = arg(2ei /3 ) = Error![ 2 ]. b/ Le vecteur Error! a pour affixe zE’ + 4 = (zE – 2)² Error! = (Error!)² Ainsi, JE’ = IE² = 2² = 4 et (Error! ; Error!) = 2 (Error! ; Error!) = 2 Error! = Error! [2 ]. c/ JE’ = 4 donc le point E’ appartient au cercle C’. De plus, (Error! ; Error!) = Error! [2 ] avec cos(Error!) = - Error! Exercice 3 : Partie A : 1) Soit A et B deux points d’un plan P; I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M du plan : MA² – MB² = Error! . Error! – Error! . Error! = (Error! + Error!) . (Error! + Error!) – (Error! + Error!) . (Error! +Error!) = ( MI² + 2 Error! . Error! + IA²) – (MI² + 2 Error! . Error! + IB²) = 2 Error! . (Error! – Error!) car IA = IB = Error! . Error!. 2) MA² – MB² = – 12 2 Error!.Error! = – 12 Error!.Error! = – 12 où H est le projeté orthogonal de M sur (AB) Ainsi, les vecteurs Error! et Error! sont colinéaires ; ils sont, de plus, de sens opposés car – 12 < 0. – 2 HI BA = – 12 HI = Error! HI = Error! = 3. Après avoir placé le point H sur la droite (AB) comme dans la figure ci-dessus, on a alors l’ensemble des points M qui décrit la droite perpendiculaire à (AB) passant par H. Partie B : Soit trois points A(2 ; 1), B( – 1 ; 0) et C(1 ; 2) d’un plan P. Déterminons une équation cartésienne de la droite (BC) : Soit M(x ; y). Error!Error! et Error!Error! M (BC) Error! et Error! sont colinéaires 2(x + 1) – 2(y) = 0 x – y + 1 = 0 équation cartésienne de (BC) Soit Error! Error! un vecteur normal à la droite (BC). Alors, d(A ; (BC)) = Error! = Error! = Error! = Error! La distance du point A à la droite (BC) vaut 2. Partie C : Soit ABCD un tétraèdre régulier de côté a ; I, J et K les milieux respectifs de [BC], [DC] et [AD]. Le triangle ABC est équilatéral et la médiane (AI) est aussi une hauteur du triangle ABC ; ainsi Error! est orthogonal à Error!. Donc Error! . Error! = 0 Error! . Error! = (Error! + Error!) . Error! = Error!.Error! + Error!.Error! = 0 + JD CD car Error! Error! (triangle équilatéral) et Error! et Error! sont colinéaires de même sens Error! . Error! = Error! a = Error! Error! . Error! = (Error! + Error!) . Error! = Error! . Error! + Error! . Error! = Error! + DK CD cos(Error! Error!) = Error! + Error! a cos (– Error!) = Error! + Error! (– Error!) soit Error! . Error! = Error! . ;