Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

TS1-TS2 Correction du devoir surveillé N° 6
Exercice 1 : On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher.
U1 contient k boules blanches ( k entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires.
U2 contient 2 boules blanches et une boule noire.
1) a/ Dans l’urne U1, il y a k boules blanches sur k + 3 boules au total ; donc p(B1) =
Error!
.
Et 3 boules noirs sur k + 3 boules au total ; donc p(N1) =
Error!
.
Si B1 se réalise, c’est que l’on a tiré une boule blanche dans l’urne U1 et qu’on la place dans l’urne U2.
Dans l’urne U2 , il y alors 3 boules blanches et une boule noire;
soit la probabilité de tirer une boule blanche vaut pB1(B2) =
Error!
,
et la probabilité de tirer une boule noire vaut pB1(N2) =
Error!
.
Si N1 se réalise, c’est que l’on a tiré une boule noire dans l’urne U1
et qu’on la place dans l’urne U2.
Dans l’urne U2 ,il y alors 2 boules blanches et deux boules noires;
soit la probabilité de tirer une boule blanche vaut pN1(B2) =
Error!
=
Error!
,
et la probabilité de tirer une boule noire vaut pN1(N2) =
Error!
=
Error!
.
On obtient donc l’arbre des probabilités pondéré ci-contre :
b/ p(N1 N2) = p(N1) pN1(N2) =
Error!
Error!
=
Error!
Error!
.
c/ Puisque B1 et B2 forment une partition de l’univers, on applique la formule des probabilités totales :
p(B2) = p(B1 B2) + p(N1 B2) = p(B1) pB1(B2) + p(N1) pN1(B2) =
Error!
Error!
+
Error!
Error!
=
Error!
.
La probabilité de tirer une boule blanche dans la deuxième urne vaut
Error!
.
d/ pB2(N1) =
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
Sachant que le joueur a tiré une boule blanche dans la deuxième urne, la probabilité d’avoir tiré une
boule noire dans la première urne vaut
Error!
.
2) Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve.
Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur
reçoit 12 euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise.
Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
a/ Si le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, alors il reçoit 12 euros, sachant qu’il avait
misé 8 euros ; soit un gain de 12 – 8 = 4 euros.
Sinon, il ne gagne rien et perd sa mise de 8 euros ; soit un gain de 0 – 8 = – 8 euros.
Les valeurs possibles de X sont ainsi 4 et – 8 .
b/ En utilisant la question 1c/ avec k = 12, on a : p(X = 4) = p(B2) =
Error!
=
Error!
=
Error!
p(X = – 8) = p( X = 4 ) = 1 – p(X = 4) = 1 –
Error!
=
Error!
.
La loi de probabilité de X est donc :
X = xi
4
– 8
P(X = xi)
Error!
Error!
c/ Alors, E(X) = 4
Error!
+ ( – 8)
Error!
=
Error!
= 0,4 L’espérance mathématique de X vaut 0,4.
Le jeu est donc favorable au joueur car l’espérance mathématique de X est positive.
Mais le joueur ne peut espérer gagner en moyenne que 40 centimes.
Exercice 2 :
1)
Error!
B2
Error!
B1
Error!
N2
Error!
N1
Error!
B2
Error!
N2

2) zA’ = zA² – 4zA = (1 + i)² – 4(1 + i) = 1 + 2i – i² – 4 – 4i = – 4 – 2i
et zB’ = zB² – 4zB = (3 – i)² – 4(3 – i) = 9 – 6i + i² – 12 + 4i = – 4 – 2i
Les points A’ et B’ ont la même affixe – 4 – 2i ; ils sont donc confondus.
3) On cherche les points M’d’affixe z’ tel que z’ = – 5 z² – 4i = – 5 z² – 4 i + 5 = 0.
C’est un trinôme dont le discriminant vaut  = – 4.
Dans I;C, ce trinôme a donc deux racines distinctes : z1 =
Error!
= 2 + i et z2 =
Error!
= 2 – i.
Les points qui ont pour image le point d’affixe – 5 sont les points C et D d’affixes respectives 2 + i et 2 – i
4) a/ z’ + 4 = z² - 4z + 4 z’ + 4 = (z – 2)².
b/ On en déduit alors que : |z’ + 4| = |(z – 2)²| = |z – 2|²
et lorsque z est différent de 2, arg(z’ + 4) = arg[(z – 2)²] = 2 arg (z – 2) [2 ]
c/ M décrit le cercle C de centre I et de rayon 2 IM = 2 |z – 2| = 2 |z’ + 4| = |z – 2|² = 4
JM = 4 où J est le point d’affixe – 4.
L’ensemble des points M’ décrit donc le cercle C’ de centre J et de rayon 4.
5) Soit E le point d’affixe 2 + 2ei /3, J le point d’affixe – 4 et E’ l’image de E.
a/ Le vecteur
Error!
a pour affixe 2 + 2ei /3 – 2 = 2ei /3
donc IE = |2ei /3 |= 2 et (
Error!
;
Error!
) = arg(2ei /3 ) =
Error!
[ 2 ].
b/ Le vecteur
Error!
a pour affixe zE’ + 4 = (zE – 2)²
Error!
= (
Error!
)²
Ainsi, JE’ = IE² = 2² = 4 et (
Error!
;
Error!
) = 2 (
Error!
;
Error!
) = 2
Error!
=
Error!
[2 ].
c/ JE’ = 4 donc le point E’ appartient au cercle C’. De plus, (
Error!
;
Error!
) =
Error!
[2 ] avec cos(
Error!
) =
-
Error!
Exercice 3 :
Partie A : 1) Soit A et B deux points d’un plan P; I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M du plan :
MA² – MB² =
Error!
.
Error!
–
Error!
.
Error!
= (
Error!
+
Error!
) . (
Error!
+
Error!
) – (
Error!
+
Error!
) . (
Error!
+
Error!
)
= ( MI² + 2
Error!
.
Error!
+ IA²) – (MI² + 2
Error!
.
Error!
+ IB²) = 2
Error!
. (
Error!
–
Error!
) car
IA = IB
=
Error!
.
Error!
.
2) MA² – MB² = – 12 2
Error!
.
Error!
= – 12
Error!
.
Error!
= – 12 où H est le projeté orthogonal de M sur (AB)
Ainsi, les vecteurs
Error!
et
Error!
sont colinéaires ;

ils sont, de plus, de sens opposés car – 12 < 0.
– 2 HI BA = – 12 HI =
Error!
HI =
Error!
= 3.
Après avoir placé le point H sur la droite (AB) comme dans la figure ci-dessus, on a alors l’ensemble
des points M qui décrit la droite perpendiculaire à (AB) passant par H.
Partie B : Soit trois points A(2 ; 1), B( – 1 ; 0) et C(1 ; 2) d’un plan P.
Déterminons une équation cartésienne de la droite (BC) :
Soit M(x ; y).
Error!Error!
et
Error!Error!
M (BC)
Error!
et
Error!
sont colinéaires 2(x + 1) –
2(y) = 0 x – y + 1 = 0 équation cartésienne de (BC)
Soit
Error!
Error!
un vecteur normal à la droite (BC).
Alors, d(A ; (BC)) =
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
La distance du point A à la droite (BC) vaut 2.
Partie C : Soit ABCD un tétraèdre régulier de côté a ;
I, J et K les milieux respectifs de [BC], [DC] et [AD].
Le triangle ABC est équilatéral et la médiane (AI) est aussi une hauteur du triangle ABC ; ainsi
Error!
est
orthogonal à
Error!
. Donc
Error!
.
Error!
= 0
Error!
.
Error!
= (
Error!
+
Error!
) .
Error!
=
Error!
.
Error!
+
Error!
.
Error!
= 0 + JD CD
car
Error!
Error!
(triangle équilatéral) et
Error!
et
Error!
sont colinéaires de même sens
Error!
.
Error!
=
Error!
a =
Error!
Error!
.
Error!
= (
Error!
+
Error!
) .
Error!
=
Error!
.
Error!
+
Error!
.
Error!
=
Error!
+ DK CD cos(
Error!
;
Error!
)
=
Error!
+
Error!
a cos (–
Error!
) =
Error!
+
Error!
(–
Error!
) soit
Error!
.
Error!
=
Error!
.