La loi de Matthiessen

LA LOI DE MATTHIESSEN
Expérience:
1re mesure: On mesure la résistance de l'ampoule à vide
2e mesure: On applique une très faible tension (1 ou 2 volts) aux bornes d'une ampoule de
24v. Le filament est froid. On mesure U et I
3e mesure: Sous tension moyenne (4 ou 5V), on mesure U et I
4e mesure: A pleine tension (24V), on mesure U et I
On recommence l'expérience avec une résistance de 10 Ω
U
I
R lampe
R 30Ω
t°
Faible
Moyenne
Forte
Conclusion: La résistance du filament augmente avec la température
L'expérience montre que la valeur ohmique d'une résistance varie avec la température.
En général la valeur ohmique augmente lorsque la température augmente.
Ce phénomène provient du fait que l'accroissement de température augmente l'agitation
thermique des molécules, ce qui freine le déplacement des électrons dans la matière.
Inversement, pour la plupart des métaux, leur résistance diminue avec la baisse de
température.
Coefficient de température: (α)
On appelle coefficient de température (α = alpha), l'accroissement de température que
subit une résistance de 1 Ω d'un matériau déterminé lorsque sa température augmente de 1
degré centigrade.
La loi de Matthiessen. J. Serrano
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La loi de Matthiessen permet de calculer la résistance d'un conducteur à une température
déterminée t lorsque l'on connaît sa résistance à zéro degré centigrade.
La loi de Matthiessen s'écrit:
avec: Rt = Résistance à la température considérée
Ro = Résistance à la t° de zéro degré c.
t = température considérée
α = Coefficient de température
Rt = Ro (1 + αt)
ou
Rt = Ro + Ro*αt
Les formules qui en découlent :
α = Rt – Ro
Ro * t
t = Rt – Ro
Ro * α
Ro =
Rt .
1+α*t
.
Pour calculer Rt, on doit connaître la valeur de la résistance à zéro degré centigrade.
Le coefficient de température α a été déterminé en laboratoire pour les différents
matériaux utilisés en électricité.
Tableau des coefficients de température de quelques matériaux
Nature du conducteur
Argent
Cuivre
Aluminium
Fer
Ferro-nickel :
Constantan
Laiton
Manganine
Maillechort
Tungstène
Carbone
Fe:75%
Ni: 25%
Cu : 60%
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α
0,0038
0,0043
0,0043
0,0025
0,0009
0,00001 *
0,0025
0,00002 *
0,00036
0,0065
-0,0004**
* Le constantan et la manganine ont un
coefficient α tellement faible qu'on le néglige.
Ces alliages servent à fabriquer les résistances
étalon.
** Le carbone ainsi que certains autres
matériaux comme le silicium, certains gaz et
isolants ont un coefficient négatif, ce qui veut
dire que leur résistance diminue avec
l'augmentation de température.
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Exercice.
En relation avec les valeurs trouvées dans le tableau de l'expérience ci avant, calculons la
résistance de l'ampoule à o degrés. (α du tungstène = 0,0065)
Rt = Ro (1+ α.t)  Ro = Rt
 =
(1+ α.t)
Calculons maintenant la température du filament à 24 volts:
t = Rt – Ro =
Ro * α
Réfléchissons ensemble: Les alliages résistants destinés à la réalisation des résistances
chauffantes ont un coefficient α très faible. Pourquoi ?
Réponse:
Supposons une résistance en argent (α = 0,004)et une autre en Nickel-chrome (α =0,0002)
Supposons une puissance de 1000W
I = P/U = 1000/200 = 5A
R = U/I = 200 / 5 = 40 Ω
puissance de fonctionnement à 500°
ARGENT
NICKEL-CHROME
Rt = 40 (1 + 0,004*500)
Rt = 40 (1 + 0,0002*500)
Rt = 120Ω
Rt = 44Ω
I = U/R = 200/120 = 1,6A
I = U/R = 200/44 = 4,5A
P = U*I = 200*1,6 = 320 W
P = U*I = 200*4,5 = 900 W
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Exercices loi de Mathiessen
1) Une résistance de 50Ω à 0 degrés centigrades a un coefficient de t° α de 0,006.
Quelle est sa valeur à 60° ?
Ro =50Ω
α = 0,006
t° = 60°
Rt = Ro (1+α*t)
Rt=50(1+0,006*60) = 68Ω
2) Sachant qu'à 0 degrés centigrades une résistance mesure 63Ω, quelle sera sa température lorsque
cette résistance fera 80,5Ω ? (α = 0,004)
t = Rt – Ro
Ro * α
t = 80,5 – 65 = 59,61°
65 * 0,004
3) Calculer la nature d'un métal sachant qu'à 0°c. la résistance est de 40Ω et que à 900°c sa valeur est de
72,4Ω
α = Rt – Ro = 72,4 – 40 = 0,0009  Ferro-nickel
Ro * t
40 * 900
4) L'enroulement d'une machine présente à 25°c. une résistance de 12Ω. Après un certain temps de
fonctionnement, la machine s'échauffe et sa résistance devient 14,3Ω.
Quelle est la température de la machine si α = 0,004 ?
t1 = 25°
Rt1 = 12Ω
Rt2 = 14,3Ω
α = 0,004
t2 ?
Chercher d'abord Ro:
Ro =
Rt1 . =
(1 + α*t)
t2 = Rt2 – Ro = 14,3 – 10,9 =
Ro * α
10,9*0,004
12
.=
(1 + 0,004*25)
Ro = 10,9Ω
t2 = 77,98°c.
5) L'enroulement d'une machine présente à 15°c. une résistance de 10Ω. Après un certain temps de
fonctionnement, la valeur de la résistance passe à 14Ω.
Calculer la t° de la machine (α = 0,004)
Ro =
Rt1 . =
10
. = 9,43Ω
1+α*t
1+0,004*15
t2 = Rt2 – Ro = 14 – 9,43 = t2 = 123° c.
Ro* α
9,43*0,004
6) La résistance d'un bobinage inducteur de dynamo est de 160Ω à 15°. Après un fonctionnement de longue
durée, sa résistance est de 182Ω. Quelle est alors la t° du bobinage (α = 0,0043 pour le cuivre) ?
7) A quelle t° un conducteur de cuivre dont le coefficient de t° α = 0,004 a-t-il une résistance double de sa
résistance à zéro degré ?
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Nom ,Prénom : _________________
Classe : __________
Date : ___________
Evaluation électricité : loi de Matthiessen
1. Au niveau moléculaire, que provoque l’accroissement de température dans un métal ?
/2
2. La résistance de tous les matériaux augmente avec la température. Vrai ou faux ?
/1
3. Une résistance de 50Ω à 0 degrés centigrades a un coefficient de t° α de 0,006.
Quelle est sa valeur à 60° ?
/2
4. La valeur ohmique d’une ampoule hors circuit est de 50 Ώ à 25°C. Calculez la température
du filament lorsque allumé, sa valeur ohmique est de 665 Ώ. α = 0,0065 ( tungstène )
/3
5. L'enroulement d'une machine présente à 15°c. une résistance de 10Ω. Après un certain temps de
fonctionnement, la valeur de la résistance passe à 14Ω.
Calculer la t° de la machine (α = 0,004)
/3
6. Une résistance a une valeur de 6 Ώ à 20°C. Calculez :
a) la longueur du fil de cette résistance sachant qu’il est en cuivre d’une section de 0,25 mm².
( ρ = 0,016 Ώ mm²/m)
b) quelle sera la valeur ohmique de cette résistance si elle est portée à une température de 120°C,
sachant que α vaut 0,0043 ?
/4
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Nom ,Prénom : _________________
Classe : __________
Date : ___________
Evaluation électricité : loi de Matthiessen
1. Au niveau moléculaire, que provoque l’accroissement de température dans un métal ?
/2
L’accroissement de t° augmente l’agitation thermique des molécules, ce qui freine le déplacement des
électrons dans la matière.
2. La résistance de tous les matériaux augmente avec la température. Vrai ou faux ?
/1
3. Une résistance de 50Ω à 0 degrés centigrades a un coefficient de t° α de 0,006.
Quelle est sa valeur à 60° ?
/2
Rt = Ro (1+α*t)
Rt=50(1+0,006*60) = 68Ω
4. La valeur ohmique d’une ampoule hors circuit est de 50 Ώ à 25°C. Calculez la température
du filament lorsque allumé, sa valeur ohmique est de 665 Ώ. α = 0,0065 ( tungstène )
/3
Rt1 = 50 Ώ
t1 = 25°C
Rt2 = 665
α = 0,0065
t2 ?
Ro =
Rt1
1 + α t1
Ro =
50_____
1+ 0,0065.25
Ro = 43 Ώ
t2 = Rt2 - Ro
Ro * α
t2 = 665 – 43
43 * 0,0065
t2 = 2225°C
5. L'enroulement d'une machine présente à 15°c. une résistance de 10Ω. Après un certain temps de
fonctionnement, la valeur de la résistance passe à 14Ω.
Calculer la t° de la machine (α = 0,004)
/3
Ro = Rt1
1+α*t
. =
10 . = 9,43Ω
1+0,004*15
t2 = Rt2 – Ro = 14 – 9,43 = 123° c.
Ro* α
9,43*0,004
6. Une résistance a une valeur de 6 Ώ à 20°C. Calculez :
a) la longueur du fil de cette résistance sachant qu’il est en cuivre d’une section de 0,25 mm².
( ρ = 0,016 Ώ mm²/m)
b) quelle sera la valeur ohmique de cette résistance si elle est portée à une température de 120°C,
sachant que α vaut 0,0043 ?
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L = R*S
ρ
= 6*0,25
0,016
Rt = Ro (1 + α t)
= 93,75 m
Ro = Rt__
1+ α t
=
6_____
1+0,0043*20
= 5,524 Ω
Rt = 5,524 (1+0,0043 * 120) = 8,37 Ω
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