CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES. I- 29 octobre 2012 L’inégalité triangulaire. 1- Propriété : Dans un triangle la longueur d’un côté est toujours inférieure ou égale à la somme des deux autres côtés. Soient 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 trois points du plan on a : 𝐴𝐶 ≤ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 Remarque : Si 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 < 𝐴𝐵 , alors le triangle 𝐴𝐵𝐶 n’est pas constructible. On dit aussi que les points 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 n’existent pas. Les mathématiques au collège Page 1 CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES. 29 octobre 2012 Remarque : Si 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 + 𝑪𝑩 , alors le point 𝑪 appartient au segment [𝑨𝑩]. ( 𝑪 ∈ [𝑨𝑩] ) Remarque : Si 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 Le triangle est constructible. On dit aussi que les trois points existent. Les mathématiques au collège Page 2 CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES. II- 29 octobre 2012 Mesurer des angles. 1- On place 2- le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle. 3- On coïncide l’un des côtés de l’angle avec l’un des zéros du rapporteur. 4- On lit la mesure de l’angle sur les graduations qui correspondent au « 0° » choisi. Propriété : La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 𝟏𝟖𝟎𝟎 . III- Cercle circonscrit à un triangle. Médiatrice d’un segment. 1- Définition : On appelle médiatrice d’un segment la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Les mathématiques au collège Page 3 CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES. 29 octobre 2012 Propriété : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance des deux extrémités du segment. 𝑴𝑨 = 𝑴𝑩 Donc le point 𝑴 appartient à la médiatrice du segment [𝑨𝑩]. 2- Cercle circonscrit. Pour qu’un cercle passe par les points 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 , il faut que son centre soit sur la médiatrice du segment AB . Remarque : Un cercle passe par les points A, B et C ; si son centre appartient aux médiatrices des trois segments ∶ [𝐴𝐵] , [𝐵𝐶] 𝑒𝑡 [𝐶𝐴] . Les mathématiques au collège Page 4 CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES. 29 octobre 2012 IV- Hauteurs d’un triangle. Définition : Dans un triangle, on appelle hauteur la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Remarque : Dans un triangle il y’a trois hauteurs. Propriété : Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes, leur point d’intersection noté souvent H est appelé l’orthocentre du triangle. Les mathématiques au collège Page 5 CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES. Vocabulaire : On dit que CH est la hauteur issue de Les mathématiques au collège C ou bien la hauteur relative au côté 29 octobre 2012 AB. Page 6 CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES. V- 29 octobre 2012 Médianes d’un triangle. Définition : On appelle médiane d’un triangle la droite qui relie le sommet d’un triangle au milieu du côté opposé à ce sommet. 1 Remarque : Dans un triangle il y’a trois médianes. Propriété : Les médianes d’un triangle ont un point d’intersection on dit qu’elles sont concourantes. Ce point de concours, noté souvent G. On l’appelle le centre de gravité du triangle. Les mathématiques au collège Page 7 CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES. 29 octobre 2012 VI- Bissectrices d’un triangle : Définition 1 : (Bissectrice d’un angle.) On appelle bissectrice d’un angle : La droite qui partage l’angle en deux angles de même mesure. Définition propriété : Dans un triangle les trois bissectrices sont concourantes, leur point de concours est le centre du cercle inscrit. Les mathématiques au collège Page 8