Chapitre II : Triangles, droites remarquables.

CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES.
I-
29 octobre 2012
L’inégalité triangulaire.
1-
Propriété :
Dans un triangle la longueur d’un côté est toujours inférieure ou égale à la somme
des deux autres côtés.
Soient 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 trois points du plan on a : 𝐴𝐶 ≤ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
Remarque :
Si 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 < 𝐴𝐵 , alors le triangle 𝐴𝐵𝐶 n’est pas constructible.
On dit aussi que les points 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 n’existent pas.
Les mathématiques au collège
Page 1
CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES.
29 octobre 2012
Remarque :
Si 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 + 𝑪𝑩 , alors le point 𝑪 appartient au segment [𝑨𝑩]. ( 𝑪 ∈ [𝑨𝑩] )
Remarque :
Si 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 Le triangle est constructible. On dit aussi que les trois points existent.
Les mathématiques au collège
Page 2
CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES.
II-
29 octobre 2012
Mesurer des angles.
1- On place
2- le centre du
rapporteur sur le sommet de l’angle.
3- On coïncide l’un des côtés de l’angle avec l’un des zéros du rapporteur.
4- On lit la mesure de l’angle sur les graduations qui correspondent au « 0° » choisi.
Propriété :
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 𝟏𝟖𝟎𝟎 .
III- Cercle circonscrit à un triangle.
Médiatrice d’un segment.
1-
Définition :
On appelle médiatrice d’un segment la droite perpendiculaire à ce segment en son
milieu.
Les mathématiques au collège
Page 3
CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES.
29 octobre 2012
Propriété :
La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance des
deux extrémités du segment.
𝑴𝑨 = 𝑴𝑩 Donc le point 𝑴 appartient à la médiatrice du segment [𝑨𝑩].
2-
Cercle circonscrit.

Pour qu’un cercle passe par les points 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 , il faut que son centre soit sur la
médiatrice du segment AB .
 
Remarque : Un cercle passe par les points A, B et C ; si son centre appartient aux médiatrices des trois
segments ∶ [𝐴𝐵] , [𝐵𝐶] 𝑒𝑡 [𝐶𝐴] .
Les mathématiques au collège
Page 4
CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES.
29 octobre 2012
IV- Hauteurs d’un triangle.
Définition :
Dans un triangle, on appelle hauteur la droite qui passe par un sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Remarque : Dans un triangle il y’a trois hauteurs.
Propriété :
Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes, leur point
d’intersection noté souvent H est appelé l’orthocentre du triangle.
Les mathématiques au collège
Page 5
CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES.
Vocabulaire :
On dit que CH est la hauteur issue de


Les mathématiques au collège
C
ou bien la hauteur relative au côté
29 octobre 2012
AB.
Page 6
CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES.
V-
29 octobre 2012
Médianes d’un triangle.
Définition :
On appelle médiane d’un triangle la droite qui relie le sommet d’un triangle
au milieu du côté opposé à ce sommet.
1
Remarque : Dans un triangle il y’a trois médianes.
Propriété :
Les médianes d’un triangle ont un point d’intersection on dit qu’elles sont
concourantes. Ce point de concours, noté souvent G. On l’appelle le centre de
gravité du triangle.
Les mathématiques au collège
Page 7
CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES.
29 octobre 2012
VI- Bissectrices d’un triangle :
Définition 1 : (Bissectrice d’un angle.)
On appelle bissectrice d’un angle : La droite qui partage l’angle en deux
angles de même mesure.
Définition propriété :
Dans un triangle les trois bissectrices sont concourantes, leur point de
concours est le centre du cercle inscrit.
Les mathématiques au collège
Page 8