Modèle microscopique du gaz parfait, pression et température

Modèle microscopique du gaz parfait, pression et température cinétique
I Modèle du gaz parfait
Enceinte de volume V, N molécules identiques de masse m.
V
Constitue un gaz parfait si, et seulement si :
 Il n’y a pas d’interactions entre les molécules
Force entre deux molécules choisies au hasard, distantes de d, nulle, quelle que soit la
distance d. ou : U interaction  cte  0 , d (énergie potentielle d’interaction)
Uinteraction
Gaz "réel"
2R
dvdw
Gaz parfait
d
Les molécules sont assimilables à des sphères rigides de rayon R. Donc d  2R . Pour
d  qqsR , il y a une partie attractive : forces de Van der Waals.
Pour un gaz dilué, le gaz parfait constitue une assez bonne approximation (dmoy>dvdw, on
peut donc négliger les interactions). Les molécules ont donc des mouvements
indépendants les uns des autres.
 Il n’y a pas d’interaction avec l’extérieur.
Pas de forces extérieures (poids, forces électromagnétiques…) agissant sur les
molécules. On ne peut pas supprimer le poids. Quand peut-on le négliger ?
Relation entre d et v :
v0
d, distance caractéristique
de l’action du poids
v02
. Les molécules ont une vitesse v0  300m.s 1 . Donc d  10km . Donc
g
si l’échelle est très inférieure à d, le mouvement n’est pas ou peu perturbé par le poids. (
V 1 / 3  10m )
Rappel : d 

Il n’y a pas d’échange de matière avec l’extérieur
L’enceinte est un système fermé.
Exemple d’enceinte non fermée (il y a échange de matière entre les phases) :
Eau vapeur
V
Eau liquide
II Calcul de la pression cinétique
A) Hypothèse du chaos moléculaire
1) Agitation thermique
Les molécules sont animées de mouvements désordonnés et incessants.
2) Homogénéité de la densité moléculaire
Définition : nv ( M , t ) densité moléculaire ou volumique de particules.
V mésoscopique
N
Nombre de molécules dans V mésoscopique : N
N
N
. Pour une répartition homogène : nV (t )  .
nV ( M , t ) 
V
V
3) Homogénéité et isotropie de la distribution des vitesses

Isotropie (de la distribution des vitesses) :
Toutes les directions de l’espace sont équivalentes (en particulier, pas de
mouvement d’ensemble des particules, c'est-à-dire pas d’écoulement)

Homogénéité de la distribution des vitesses :
Les vitesses sont indépendantes de la position des particules dans l’enceinte
Variante simplifiée de l’homogénéité et de l’isotropie de la distribution des


vitesses : une molécule i dans l’enceinte a une vitesse vi telle que i, vi  v0 , et,

   


dans un repère (O, i , j , k ) , vi   v0 i ou  v 0 j ou  v0 k . On a donc un même
module de vitesse pour toute molécule, constant où qu’elle soit (homogénéité), et
la probabilité d’une des vitesses est de 1/6 (isotropie).
B) Calcul de la pression cinétique
1) Interprétation microscopique de la pression
dS, élément de la paroi
gaz


dF  PdS.i
Les chocs incessants entre les molécules et la paroi se traduisent par
l’existence d’une force (de pression) exercée par ces molécules sur la paroi.
2) Force pressante et percussion
(Avec variante simplifiée)
Paroi dS

 v0 i
x

Seules les molécules ayant une vitesse  v0 i pourront avoir un choc avec la

paroi et auront alors une vitesse  v0 i après le choc.
D’après la relation fondamentale de la dynamique (dans Rlab galiléen) :


dv
m i  FdS / i (seule force appliquée à la molécule)
dt


 FdS / i  i
tdébut
t
tfin
t  t
très petit





F
dt

m
d
v

m
(
v
(
t
)

v
(
t
))


2
mv
i
i fin
i début
0
 dS / i
 i
t fin
tfin
t début
t début


La molécule exerce sur dS une force Fi / dS  FdS / i . Donc


F
dt

2
mv
i
i
/
dS
0

tfin
t début
(percussion individuelle de la molécule i).
t  t 

t  t début  t fin  t  t . Donc  Fi / dS dt  2mv0 i .
t
Donc




i qui ont un 
choc entre t et
t  t


t Fi / dS dt  
t  t
t  t
t  t 
t  t


F
dt

F
dt

  i / dS
 pression
 PdS  i dt
t

 PdS  t  i
t
t

 2  N  mv0 i
(où N est le nombre de chocs entre t et t  t ), soit donc
PdS  t  2  N  mv0 .
3) Evaluation de N .

v0 i
dS

v0 i
M (t  t )
M (t )
v0 t

Les molécules avec une vitesse  v0 i qui pourront avoir un choc avec dS
entre t et t  t sont celles contenues dans le cylindre de base dS et de longueur
v0 t . Volume du cylindre : V  dS  v0  t . Nombre de molécules dans ce
1
1
cylindre qui vont dans le bon sens : N  nV V  nV  dS  v0  t .
6
6
1
1
Donc PdS  t  2mv0  nV dS  v0  t . P  m  nV v02 . Ceci est valable
6
3
1
pour une distribution plus réaliste (admis) : P  m  nV v *2 .
3
C) Température cinétique
On définit la grandeur d’état Tcinétique du système par la relation :
3
1
kTcinétique  mv *2 . m : masse d’une molécule.
2
2
k : constante de Boltzmann  R / N a ( R  8,314K 1 .mol 1 , N a  6,022.1023 mol 1 ).
Pour une molécule i, EC , translation ,i 
1
mvi ² . Donc EC ,translation ,i
2
i

1
1
mvi ²  mv * ² .
2
2
i
1
kTcinétique : Énergie thermique associée à chaque degré de liberté de translation
2
(mouvement dans l’espace  3 degrés de liberté).
3kTcinétique
m  v *2 M N a  v *2 M  v *2
Donc Tcinétique 
ou v* 
.


m
3k
3 R Na
3R
D) Equation d’état du gaz parfait
1
On a : P  m  nV v *2
3
m  v *2 3P / nV
R
Donc Tcinétique 

 P  nV kTcinétique  PV  N 
Tcinétique
3k
3k
Na
 PV  n.R.Tcinétique
Et n 
mgaz
M
.
Donc PV  mgaz rTcinétique avec r 
R
: constante massique des gaz parfaits.
M
III Energie interne du gaz parfait
A) Gaz parfait monoatomique
Définition :
gaz parfait dont les molécules sont réduites à un seul atome = particule ponctuelle.
Energie d’une molécule : Ei  Ec ,i  E p ,interaction  E p ,extérieur .
Comme le gaz est parfait, E p ,interaction  E p ,extérieur  0 . Donc Ei  E c ,i 
1
mvi2 .
2
B) Gaz parfait polyatomique
Définition :
C’est un gaz parfait dont les molécules sont constituées de plusieurs atomes.
H
translation
O
rotation
interactions
H
Donc Ec ,i  Ec , translation  Ec ,rotation  Ec , vibration
C) Energie interne du gaz parfait
1) Gaz parfait monoatomique
Définitions :
N
1  1 N 2
1
U

E

N

m  vi   N  mv *2
- Energie interne :

i
2  N i 1 
2
i 1
3
3
Donc U  N  kTcinétique  nRTcinétique
2
2
U 3
- Energie interne molaire : U m   RTcinétique
n 2
mgaz
U
1
3

RTcinétique 
 rTcinétique
- Energie interne massique : u 
mgaz
M
mgaz 2
thermique

Capacité ou
calorifiqu e

U
isochore (à V constant) : CV 
ou
T
Chaleur
Pour le gaz parfait, U ne dépend que de T (indépendant de V)
dU 3
 nR , CV   J .K 1
On a : CV 
dT 2
dU m 3
- Cm,V 
 R , Cm,V   J .K 1 .mol 1
dt
2
du 3
 r , cV   J .K 1 .kg 1
- cV 
dt 2
Remarque : pour un gaz parfait, U  CV T  nCm ,V T  mgaz cV T
V
2) Gaz parfait polyatomique
N
U   Ei  nU m (U est un paramètre extensif, Um intensif)
i 1
1ère Loi de Joule : Um ne dépend que de T (pas de V)
dU m
dU
du
, Cm,V 
, cV 
.
CV 
dT
dt
dt
Pour un gaz parfait diatomique :
Cm,v
7
+2 degrés de
2 R
liberté : vibrations
5
2 R
+2 degrés de
liberté : rotation 3
2 R
3 degrés de liberté :
translation dans
l’espace
T
translation translation +
translation +
rotation
rotation + vibrations
(Pour les deux degrés de liberté de la vibration, assimiler les interactions
entre molécules à des ressorts…)
T
U m (T )   Cm,V (T ' )  dT '  Cm,V  T
0
Attention : l’égalité U m  C m ,V  T n’est valable que pour un gaz parfait
monoatomique.