Les Nombres

Les Nombres.
A. Les entiers naturels.
A.1. Notations.
● L’ensemble des entiers naturels : {0, 1, 2, 3, } est noté .
● On écrira par exemple 5  .
● Soit I l’ensemble des nombres impaires I = {1, 3, 5, }, on écrira I  .
A.2. Des entiers naturels particuliers : les nombres premiers.
Rappel. Soit n un entier naturel si n s’écrit n = a × b avec a   et b   alors a et b sont deux diviseurs de n
Définition : Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Remarque. 0 n’est pas premier. Pourquoi ? 1 n’est pas premier. Pourquoi ?
Crible D’Ératosthène. Permet de déterminer la liste des premiers nombres premiers.
Ératosthène gouverneur de la grande bibliothèque d’Alexandrie (IIIe s. av. J-C) était aussi astronome (première mesure
scientifique du rayon de la terre). C’était un contemporain du grand physicien Archimède.
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100
Le crible d’Ératosthène nous a permis de déterminer le début de la liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3,
5, 7, 11, 13, etc  .
Mais comment faire pour savoir si par exemple 331 est premier ?
Avant de commencer énonçons un résultat très important que l’on admettra.
Théorème : a désigne un nombre entier naturel (a > 1)
Si tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à a ne divisent pas a, alors a est premier !
Pour notre exemple nous avons 331  18,19  17 < 331 < 19

331 n’est pas divisible par 2.
331 n’est pas divisible par 3.
331 n’est pas divisible par 5.
331 n’est pas divisible par 7 car Error! 
47,29.
331 n’est pas divisible par 11 car Error! 
30,09.
331 n’est pas divisible par 13 car Error! 
25,46.
331 n’est pas divisible par 17 car Error! 
19,47.
Conclusion : 331 est premier !
Définition : Un nombre composé est un entier naturel différent de 0 et 1 et qui n’est pas premier.
Remarque. Cela sous-entend qu’un nombre composé peut être décomposé. Nous allons voir comment.
Théorème (admis) : Tout entier naturel n différent de 0 et de 1 est soit premier soit composé (dans ce cas il
peut être décomposé et s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers).
Exemple. Décomposer 1875 en produit de facteurs premiers.
Dans les exercices les nombres premiers vont nous permettre
 d’écrire une fraction comme par exemple
Error!
sous forme irréductible en simplifiant numérateur et
dénominateur par leurs facteurs premiers communs.
 de transformer les écritures avec des radicaux comme par exemple 625.
 de déterminer le PGCD de deux nombres. Calculer par exemple PGCD(2 200 ; 560).
B. Nombres relatifs, nombres rationnels, nombres irrationnels, nombres décimaux.
B.1. Nombres relatifs.

Notation. L’ensemble des entiers relatifs : {, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, } est noté .
Remarque.   
B.2. Nombres rationnels, nombres irrationnels.
Définition. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction
Error!
où a et b
sont deux entiers relatifs, b étant non nul.
Notation L’ensemble des nombre rationnels est noté  (comme quotient).
Exemples.
Error!
  ,
Error!
  ,
Error!
  .
Contre exemple. On démontre facilement que 2 ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction
2 n’est donc pas un rationnel ce que l’on note 2  . C’est un irrationnel.
Remarque. Tout entier relatif est un nombre rationnel, par exemple : – 13   car – 13 =
Error!
.
On écrira   .
Théorème. Tout nombre rationnel admet une unique écriture sous la forme de fraction irréductible.
Exemples.
Error!
=
Error!
;
Error!
= –
Error!
;
Error!
=
Error!
.
B.3. Nombres décimaux.
Définition. Un nombre décimal est un nombre qui possède une écriture fractionnaire de la forme
Error!
où
a est un entier relatif et n un entier naturel qui peut être nul.
Notation. L’ensemble des nombre décimaux est noté .
Remarque 1. Tout nombre décimal est un nombre rationnel puisqu’il s’écrit sous forme de fraction.
On écrira   .
Exemples.
Error!
=
Error!
= 3,5 ; –
Error!
= –
Error!
= –
Error!
– 0,75 ; 0,023 =
Error!
=
Error!
;
0,124 =
Error!
=
Error!
;
Remarque 2. Les nombres décimaux ont une écriture décimale finie.
Remarque 3. Tous les rationnels ne sont pas décimaux par exemple
Error!
  mais
Error!
  en effet si
l’on effectue la division, elle ne s’arrête pas :
Error!
= 0,36…
Error!
a une écriture décimale
illimité périodique.
Remarque 4. Les nombres irrationnels eux ont une écriture décimale illimitée non périodique.
Par exemple :  = 3,14159265359…
La troncature à deux décimales de  est 3,14 c’est aussi sa valeur approchée par défaut à 10– 2 près !
La valeur approchée par excès de à 10– 2 près est 3,14 + 10– 2 = 3,14 + 0,01 = 3,15
La valeur arrondie de à 10– 2 près est 3,14 car le chiffre des millièmes est 1.
La troncature à quatre décimales de  est 3,1415 c’est aussi sa valeur approchée par défaut à 10– 4 près !
La valeur approchée par excés de à 10– 4 près est 3,1415 + 10– 4 = 3,1415 + 0,0001 = 3,1416
La valeur arrondie de à 10– 4 près est 3,1416 car le chiffre des cent-millièmes est 9.
Remarque 5. – 2 =
Error!
=
Error!
donc – 2  .

Les entiers relatifs sont des décimaux particuliers.
On écrira   
Remarque 6. Un nombre décimal peut s’écrire en pourcentage :
0,127 = 12
7;100 = 12,7% ; 4,25 =
Error!
= 425%.
Plus généralement a étant un entier a % signifie
Error!
.
Définition. Tout nombre décimal strictement positif admet une écriture scientifique.
Il s’écrit alors comme produit d’un décimal a et d’une puissance de 10 avec 1  a < 10. Ainsi :
127, 478 = 1,27478  102 (le 1er chiffre significatif est le nombre de centaines) ;
0,00704 = 7,04  10-3 (le 1er chiffre significatif est le nombre de millièmes).
Remarque. À partir de l’écriture scientifique d’un nombre on détermine facilement sont ordre de grandeur en
appliquant la règle suivante :
Pour écrire l’ordre de grandeur d’une dimension, on donne la puissance de 10 supérieure au nombre
étudié lorsque celui-ci est supérieur ou égal à 5 × 10n sinon on donne la même puissance de 10 que celui-ci.
Exemples. L'ordre de grandeur de 2,1.103 est 103
L'ordre de grandeur de 2,1.10-4 est 10-4
L'ordre de grandeur de 6,1.103 est 104
L'ordre de grandeur de 6,1.10-4 est 10-3
C. Les nombres réels.
Tous les nombres que nous utilisons s’appellent des nombres réels. Leur ensemble est noté .
On le représente par une droite graduée (O , I)
M1 M2 M3 M4 M5 M6
- 2,6 – 3
Error!
Error!
4,1
Chaque nombre réel est représenté par un point de la droite graduée, et tout point M de cette droite représente
un nombre réel xM, qu’on appelle son abscisse défini de la manière suivante

xM = OM lorsque M  [O, I)
xM = - OM lorsque M  [O, I)
Remarques.
Les nombres réels positifs sont les abscisses des points de la demi-droite [O, I).
Les nombres réels négatifs sont les abscisses des points n’appartenant pas à la demi-droite [O, I).
On note + l’ensemble des nombres réels positifs et - l’ensemble des nombres réels négatifs.
-  + = {0}.
Conclusion. Parmi les nombres réels, il y a les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres décimaux, les
nombres rationnels. Ces ensembles sont imbriqués comme les poupées russes.
Les nombres qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels.
Remarque. Pour certains calculs, on utilise des valeurs approchées (on donne alors la précision de
l’approximation).
Exemples. 1,414 est une valeur approchée de 2 à 10-3 près. 3,14 est une valeur approchée de  à 10-2 près.