3.1 R est une relation binaire définie sur E

LES RELATIONS

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1 Produit Cartésien
1.1 Produit cartésien de 2 ensembles
Soient E et F deux ensembles donnés, le produit cartésien de E et de F (ou produit de E par F) est l’ensemble des
couples (x, y) où x est l’élément de E et y élément de F.
E x F = {(x, y) tel que x Є E et y Є F}
Remarque
Dans un couple (x, y) x est la première composante et y la seconde composante.
(x, y)=(x’,y’)  x=x’ et y=y’
lorsque E=F, le produit s’appelle carrée cartésien de E, noté E x E ou E²
1.2 Généralisation
Le concept de produit cartésien peut être généralisé à un nombre fini d’ensembles.
Soient E1, E2 …En : E1 x E2 x…x En = {(x1, x2,..., xn) tel que x1 Є E1, x2 Є E2, ..., xn Є En }
Soit E, En sera l’ensemble suivant : {(x1, x2,..., xn) tel que x1 Є E, x2 Є E, ..., xn Є E }
Remarque :
(x1, x2,..., xn) est appelé un n-uplet.
(x1, x2,..., xn) = (x’1, x’2,..., x’n)  x1=x’1 ^ x2=x’2 ^ … ^ xn=x’n
ATTENTION :
Le produit cartésien n’est pas commutatif : A x B  B x A
Le produit cartésien n’est pas associatif : (A x B) x C  A x (B x C)
Exemples :
Soient A={x,y} et B={0, 1, 2}
A x B = {(x,0) ;(x,1) ;(x,2) ;(y,0) ;(y,1) ;(y,2)}
B x A = {(0,x) ;(0,y) ;(1,x) ;(1,y) ;(2,x) ;(2,y)}
Donc B x A  A x B
Soient A={x,y} et B={0, 1, 2} c{}
(A x B) x C = {((x,0),) ;((x,1),) ;((x,2),) ;((y,0),) ;((y,1),) ;((y,2),)}
A x (B x C) = {(x,(0,)) ;(y,(0,)) ;(x,(1,)) ;(y,(1,)) ;(x,(2,)) ;(y,(2,))}
Donc (A x B) x C  A x (B x C)
Exemple de produit cartésien :
Soit E = {a, b, c}
Déterminer un élément de N² x P(E) x E²
Déterminer un élément de (N² x P(E) x E) x E
( (1,2), {a}, (a,b)) Є N² x P(E) x E²
( ((5,8), , b), a) Є (N² x P(E) x E) x E
2 Relations
2.1 Relations et prédicat
Considérons une relation « intuitive » au sein d’une population.
« x est frère de y »

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Essayons de la formaliser :
En fait tout x est élément des Hommes, soit H.
On suppose que y est élément de l’ensemble des femmes soit F.
Et « x est frère de y » est un prédicat définit sur H x F, d’où :
Définition 1 :
Soient E et F deux ensembles et E x F leur produit cartésien. Une relation sur E x F est un prédicat définit sur E x
F.
 x Є E,  y Є F, x est en relation avec y par R  xRy
 R(x, y)
Quelques relations connues :
Dans R : <, >, , , =, 
Dans Z : , |
2.2 Relations et graphe :
D’après l’exemple précédent, l’ensemble des couples (x, y) qui vérifient la relation est un sous-ensemble du
produit cartésien E x F.
Définition 2 :
Le graphe de la relation R est le sous-ensemble correspondant G de E x F :
G = {(x, y) Є E x F tel que xRy}
La relation R est définie à l’aide de son graphe G.
Exemple :
Soit E et F deux parties de R :
E=[a, b] et F=[c, d]
Voici une représentation cartésienne de E x F
d
GR
c
a b
 (x, y) Є R² xRy  (x, y) Є GR
 (x, y) Є E x F
 (x, y) Є [a, b] x [c, d]
 x Є [a, b] ^ y Є [c,d]
 a  x  b et c  y  d
On en conclut le résultat suivant :
Soit R une relation définie sur E x F, avec E et F deux ensembles donnés, soit GR son graphe :
 (x, y) Є E x F, xRy  (x, y) Є GR
Remarques et définitions :
E et F sont deux ensembles donnés. L’ensemble des relations définies sur E x F est l’ensemble des parties de E x
F soit P(E x F).
Soit E un ensemble. Une relation binaire définie sur E est une relation définie sur E x E.
Exemple de relation binaire :
 est une relation binaire sur R
Toute partie de R² nous permet de définir une relation binaire sur R.

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2.3 Relation particulière
Soit E un ensemble donné.
On appelle identité de E, et on note IE la relation binaire définie sur E par :
 (x, y) Є E² x IE y  x=y
2.4 Représentation des relations
2.4.1 Représentation d’une relation définie sur E x F à l’aide de son graphe
Représenter une relation revient à représenter son graphe. Voyons deux sortes de représentations sur un
exemple :
Soit E = { a, b, c, d, e} et F = {1, 2, 3, 4}
Et R définie à l’aide de G par G = {(a,2) ;(a,3) ;(b,1) ;(c,1) ;(c,3)}
Représentation sagittale :
a 1
b c 2
3
d 4
e
Matrice Booléenne
a b c d e
1 0 1 1 0 0
2 1 0 0 0 0
3 1 0 1 0 0
4 0 0 0 0 0
(x, y) Є GR  xRy  il y a 1 à la colonne x et la ligne y
(x, y)  GR  xRy  il y a 0 à la colonne x et à la ligne y
2.4.2 Représentation d’une relation binaire
 Graphe dirigé de R, ou diagonale de R
Sur un exemple :
Soit A={1, 2, 3, 4, 5}
GR = {(1,1) ;(1,2) ;(1,5) ;(2,3) ;(3,3) ;(3,5) ;(3,1) ;(3,2)}
Les flèches sont appelées arêtes, les cercles étiquetés par les éléments de A sont les sommets.
 Dans R², représentation cartésienne
Soit la relation R, définit sur R par la donnée de son graphe :
GR = {(x, y) Є R / x²+y²=4}
On peut représenter graphiquement le graphe de cette relation : c’est le cercle de centre O et de rayon 2.
MR =
1
4
5
3
2

5
3 Propriétés des relations
3.1 R est une relation binaire définie sur E
R est réflexive :
 x Є E xRx   x Є E (x, x) Є GR
R est anti-réflexive
 x Є E xRx   x Є E (x, x)  GR
Remarque :
Attention , ne pas confondre anti-réflexive et non réflexive
R est non réflexive :  x Є E / xRx   x Є E (x, x)  GR
R est symétrique
 (x, y) Є E² xRy  yRx
( c’est à dire :  (x, y) Є E² (x, y) Є GR => (y ,x) Є GR)
R est anti-symétrique
 (x, y) Є E² [xRy ^ yRx ] => x=y
(c’est à dire :  (x, y) Є E² [(x, y) Є GR ^ (y, x) Є GR ] => (x, y) Є GR)
R est transitive
 (x, y , z) Є E3 [xRy ^ yRz] => xRz
(c’est à dire :  (x, y, z) Є E3 [(x, y) Є GR et (y, z) Є GR] => (x, z) Є GR
R est circulaire
 (x, y, z) Є E3 [xRy ^ yRz] => zRx
(c’est à dire :  (x, y, z) Є E3 [(x, y) Є GR et (y, z) Є GR] => (z, x) Є GR)
3.2 Quelques notions supplémentaires sur les relations nécessaires à la compréhension des
graphes
Tout d’abord, le graphe de la relation IE sera noté E
Soit R une relation binaire définie sur E, on peut alors définir la relation /R par  (x, y) Є E² x /R y  /(xRy)
On peut aussi définir la relation R-1 par  (x, y) Є E² xR-1y  yRx
Traduisons ces propriétés à l’aide des graphes :
R est réflexive   E  GR
R est anti-symétrique  E  G/R
R est symétrique  GR = GR-1
R est anti-symétrique  GR  GR-1  E