3.1 R est une relation binaire définie sur E

LES RELATIONS
1
1.1
Produit Cartésien
Produit cartésien de 2 ensembles
Soient E et F deux ensembles donnés, le produit cartésien de E et de F (ou produit de E par F) est l’ensemble des
couples (x, y) où x est l’élément de E et y élément de F.
E x F = {(x, y) tel que x Є E et y Є F}
Remarque
Dans un couple (x, y) x est la première composante et y la seconde composante.
(x, y)=(x’,y’)  x=x’ et y=y’
lorsque E=F, le produit s’appelle carrée cartésien de E, noté E x E ou E²
1.2
Généralisation
Le concept de produit cartésien peut être généralisé à un nombre fini d’ensembles.
Soient E1, E2 …En : E1 x E2 x…x En = {(x1, x2,..., xn) tel que x1 Є E1, x2 Є E2, ..., xn Є En }
Soit E, En sera l’ensemble suivant : {(x1, x2,..., xn) tel que x1 Є E, x2 Є E, ..., xn Є E }
Remarque :
(x1, x2,..., xn) est appelé un n-uplet.
(x1, x2,..., xn) = (x’1, x’2,..., x’n)  x1=x’1 ^ x2=x’2 ^ … ^ xn=x’n
ATTENTION :
Le produit cartésien n’est pas commutatif : A x B  B x A
Le produit cartésien n’est pas associatif : (A x B) x C  A x (B x C)
Exemples :
Soient A={x,y} et B={0, 1, 2}
A x B = {(x,0) ;(x,1) ;(x,2) ;(y,0) ;(y,1) ;(y,2)}
B x A = {(0,x) ;(0,y) ;(1,x) ;(1,y) ;(2,x) ;(2,y)}
Donc B x A  A x B
Soient A={x,y} et B={0, 1, 2} c{}
(A x B) x C = {((x,0),) ;((x,1),) ;((x,2),) ;((y,0),) ;((y,1),) ;((y,2),)}
A x (B x C) = {(x,(0,)) ;(y,(0,)) ;(x,(1,)) ;(y,(1,)) ;(x,(2,)) ;(y,(2,))}
Donc (A x B) x C  A x (B x C)
Exemple de produit cartésien :
Soit E = {a, b, c}
Déterminer un élément de N² x P(E) x E²
Déterminer un élément de (N² x P(E) x E) x E
( (1,2), {a}, (a,b)) Є N² x P(E) x E²
( ((5,8), , b), a) Є (N² x P(E) x E) x E
2
2.1
Relations
Relations et prédicat
Considérons une relation « intuitive » au sein d’une population.
« x est frère de y »
2
Essayons de la formaliser :
En fait tout x est élément des Hommes, soit H.
On suppose que y est élément de l’ensemble des femmes soit F.
Et « x est frère de y » est un prédicat définit sur H x F, d’où :
Définition 1 :
Soient E et F deux ensembles et E x F leur produit cartésien. Une relation sur E x F est un prédicat définit sur E x
F.
 x Є E,  y Є F, x est en relation avec y par R

xRy

R(x, y)
Quelques relations connues :
Dans R : <, >, , , =, 
Dans Z : , |
2.2
Relations et graphe :
D’après l’exemple précédent, l’ensemble des couples (x, y) qui vérifient la relation est un sous-ensemble du
produit cartésien E x F.
Définition 2 :
Le graphe de la relation R est le sous-ensemble correspondant G de E x F :
G = {(x, y) Є E x F tel que xRy}
La relation R est définie à l’aide de son graphe G.
Exemple :
Soit E et F deux parties de R :
E=[a, b] et F=[c, d]
Voici une représentation cartésienne de E x F
d
GR
c
a
b
 (x, y) Є R² xRy  (x, y) Є GR
 (x, y) Є E x F
 (x, y) Є [a, b] x [c, d]
 x Є [a, b] ^ y Є [c,d]
 a  x  b et c  y  d
On en conclut le résultat suivant :
Soit R une relation définie sur E x F, avec E et F deux ensembles donnés, soit G R son graphe :
 (x, y) Є E x F, xRy  (x, y) Є GR
Remarques et définitions :
E et F sont deux ensembles donnés. L’ensemble des relations définies sur E x F est l’ensemble des parties de E x
F soit P(E x F).
Soit E un ensemble. Une relation binaire définie sur E est une relation définie sur E x E.
Exemple de relation binaire :
 est une relation binaire sur R
Toute partie de R² nous permet de définir une relation binaire sur R.
3
2.3
Relation particulière
Soit E un ensemble donné.
On appelle identité de E, et on note IE la relation binaire définie sur E par :
 (x, y) Є E² x IE y  x=y
2.4
Représentation des relations
2.4.1 Représentation d’une relation définie sur E x F à l’aide de son graphe
Représenter une relation revient à représenter son graphe. Voyons deux sortes de représentations sur un
exemple :
Soit E = { a, b, c, d, e} et F = {1, 2, 3, 4}
Et R définie à l’aide de G par G = {(a,2) ;(a,3) ;(b,1) ;(c,1) ;(c,3)}
Représentation sagittale :
a
1
b
c
2
3
d
4
e
Matrice Booléenne
1
MR =
2
3
4
a
b
c
d
e
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(x, y) Є GR  xRy  il y a 1 à la colonne x et la ligne y
(x, y)  GR  xRy  il y a 0 à la colonne x et à la ligne y
2.4.2 Représentation d’une relation binaire
 Graphe dirigé de R, ou diagonale de R
Sur un exemple :
Soit A={1, 2, 3, 4, 5}
GR = {(1,1) ;(1,2) ;(1,5) ;(2,3) ;(3,3) ;(3,5) ;(3,1) ;(3,2)}
2
1
3
5
4
Les flèches sont appelées arêtes, les cercles étiquetés par les éléments de A sont les sommets.
 Dans R², représentation cartésienne
Soit la relation R, définit sur R par la donnée de son graphe :
GR = {(x, y) Є R / x²+y²=4}
On peut représenter graphiquement le graphe de cette relation : c’est le cercle de centre O et de rayon 2.
4
3
3.1
Propriétés des relations
R est une relation binaire définie sur E
R est réflexive :
 x Є E xRx   x Є E (x, x) Є GR
R est anti-réflexive
 x Є E xRx   x Є E (x, x)  GR
Remarque :
Attention , ne pas confondre anti-réflexive et non réflexive
R est non réflexive :  x Є E / xRx   x Є E (x, x)  GR
R est symétrique
 (x, y) Є E² xRy  yRx
( c’est à dire :  (x, y) Є E² (x, y) Є GR => (y ,x) Є GR)
R est anti-symétrique
 (x, y) Є E² [xRy ^ yRx ] => x=y
(c’est à dire :  (x, y) Є E² [(x, y) Є GR ^ (y, x) Є GR ] => (x, y) Є GR)
R est transitive
 (x, y , z) Є E3 [xRy ^ yRz] => xRz
(c’est à dire :  (x, y, z) Є E3 [(x, y) Є GR et (y, z) Є GR] => (x, z) Є GR
R est circulaire
 (x, y, z) Є E3 [xRy ^ yRz] => zRx
(c’est à dire :  (x, y, z) Є E3 [(x, y) Є GR et (y, z) Є GR] => (z, x) Є GR)
3.2
Quelques notions supplémentaires sur les relations nécessaires à la compréhension des
graphes
Tout d’abord, le graphe de la relation IE sera noté E
Soit R une relation binaire définie sur E, on peut alors définir la relation /R par  (x, y) Є E² x /R y  /(xRy)
On peut aussi définir la relation R-1 par  (x, y) Є E² xR-1y  yRx
Traduisons ces propriétés à l’aide des graphes :
R est réflexive   E  GR
R est anti-symétrique  E  G/R
R est symétrique  GR = GR-1
R est anti-symétrique  GR  GR-1  E
5
Exercices
Exercice 1
1) Soit n un entier positif, on définit sur Z la relation x  n y  n|x-y
2) Sur R xRy  |x| = |y|
3) Sur R xRy  cos²x + sin²y = 1
Montrer que chacune de ces relations est (anti-) symétrique, réflexive, transitive.
1)
-
 (x, y) Є E² on suppose que n|x-y (c’est à dire, on suppose que xRy) donc n|-x + y
donc n|y-x donc on a bien yRx. Donc la relation 1 est symétrique.
 x Є E², on a n|x-x donc elle est réflexive.
Soient x, y, z Є E. On suppose que n|x-y et n|y-z donc n|x-y+y-z, donc n|x-z. Donc la relation 1 est
transitive.
2)
-
Soit yRx  |y|=|x|  |x|=|y|  xRy. Donc la relation 2 est symétrique.
Soit x Є R. Donc |x|=|x| donc on a bien xRx. Donc R est réflexive.
Soient x, y, z réels. |x| = |y| et |y|=|z| donc |x|=|z|. Donc R est transitive.
-
Soit xRy  cos²x + sin²y = 1
xRy  cos²x + sin²y = 1  1 – cos²y + 1 – sin²x = 1  1 = cos²y + sin²x  yRx
Donc R est symétrique.
Soit x Є R cos²x + sin²x = 1 donc xRx. Donc R est réflexive.
Soit xRy et yRz
Donc on a sin²x + cos²y = 1 et sin²y + cos²z = 1. En faisant la somme, on obtient :
sin²x + cos²y + sin²y + cos²z = 2 (cos²y+sin²y=1) donc on a sin²x+cos²z=1. donc on a xRz.
Donc R est transitive.
3)
-
Exercice 2
Soit R la relation binaire définie sur N par :
nRm  le nombre de chiffres dans l’écriture décimale de n est strictement inférieur à celui de m.
1) A-t-on 210 R 35 ?
2) Donner tous les entiers n tels que nR11².
3) Donner tous les entiers m tels que 2002 R m
1) 210=1024 et 35=243 donc on n’a pas R.
2) n = 0, 1, …,99
3) n = 10000, 10001, 10002, …
Exercice 3
Soient A={0, 2, 3, 4, 7} et B={1, 3, 4}
Soit R la relation tel que GR = { (0,3) ; (0,4) ; (0,1) ; (2,3) ; (2,4) ; (3,4)}
Donner le domaine de R et l’image de R.
Faites le graphe sagittal et le graphe dirigé de R.
Que vaut R ?
DomR = {0, 2, 3) et ImR = {1, 3, 4} = B
Graphe Sagittal :
0
2
3
4
7
1
R est la relation « < »
Graphe dirigé de R :
1
0
7
3
4
2
3
4
6
Exercice 4
1) Soit R la relation sur R définie par :
 (x, y) Є R² xRy  (x0) ^ (y0) ^ ((x) = (y) )
R est-elle une relation d’équivalence ?
2) Soit R2 la relation R+ définie par :
 (x, y) Є R+ x R+
xR2y  (x) = (y)
R est-elle une relation d’équivalence ? Si oui, déterminer la classe de x et décrire R+²/R2.
1)
Soit R1 la relation définie sur R.
R1 n’est pas réflexive car –1R –1 est faux. En effet, -1 Є R et pourtant -10 est faux.
Soient x0 Є R et y0 Є R tels que x0 R y0. On a x0 0 et y0  0 et x0 = y0. Comme « = » est symétrique, on a
aussi x0 0 et y0  0 et y0 = x0. C’est à dire, on a y0 R x0. Donc R est symétrique.
Soient x0, y0, z0 Є R tels que x0 0 et y0  0 et x0 = y0 et y0 0 et z0  0 et y0 = z0. Comme « = » est
transitive, on a aussi x0 0 et z0  0 et x0 = z0 .
On a donc R transitive et symétrique, mais pas réflexive. Donc R n’est pas une relation d’équivalence.
2)
R2 est réflexive car  x0 Є R+, on a x00 et x00 et x0 = x0.
De même 1), on a R2 qui est symétrique et transitive.
Donc R2 est une relation d’équivalence. __
On peut donc déterminer la classe de x : X = {X}
Donc R+²/R2 = { {x} / x Є R+ } (l’espace quotient).
Exercice 5
Soient E et F deux ensembles et f : E  F telle que  (x1, x2) Є E² x1Rx2  f(x1)=f(x2)
Montrer que R est une relation d’équivalence. Décrire les classes de x, x Є E. En déduire E/R.
Soit x0 Є E f(x0)=f(x0) donc on a x0Rx0. Donc la relation est réflexive.
Soit x1 Є R et x2 Є tels que x1 R x2. On a donc f(x1) = f(x2), c’est à dire f(x2) = f(x1) donc on a x2Rx1. Donc R est
symétrique.
Soient x1, x2, x3, Є E tels que x1Rx2 et x2Rx3. On a donc f(x1)=f(x2) et f(x2)=f(x3). On a donc aussi f(x1)=f(x3).
Donc on a bien x1Rx3. Donc R est transitive.
Donc R est bien une relation d’équivalence.
_
Soit x0 Є R. x0 = { x Є E / f(x0) = f(x) }
E/R = f—1({y}) / y Є f(E)}
Exercice 6
Soit R la relation binaire de R² définie par ( (a, b) ; (c,d) ) Є (R²)²  (a,b)R(c,d) = a+d=b+c.
1) Montrer que R est une relation d’équivalence.
2) Déterminer la classe d’équivalence de (1,5). Quelle est son interprétation géométrique.
3) Même question avec (a, b) Є R²
4) Déterminer R²/R et l’interprétation géométrique.
1)
Soit (a, b) Є R² on a bien (a, b)R(a, b) car a+b=b+a. Donc R est réflexive.
Soient (a, b) et (c, d) Є R² tels que (a, b)R(c, d). On a donc a+d=b+c. Comme « = » est symétrique, on a
c+b=d+a. Donc on a (c, d)R(a, b). Donc R est symétrique.
Soient (a, b), (c, d), (e, f) Є R² tels que (a, b)R(c, d) et (c, d)R(e, f). On a donc a+d=b+c et c+f=d+e. En
additionnant membre à membre, on obtient a+d+c+f=b+c+d+e, c’est à dire après simplifications : a+f=b+e.
Donc on a bien (a, b)R(e, f). Donc R est transitive.
y
Donc est une relation d’équivalence.
y = x+4
2)
___
Classe d’équivalence de (1,5) : (1,5) = { (x, y) Є E² / y+1= 5+x}
C’est la droite d’équation y=x+4
4
x
7
y
y = x+(b-a)
b-a
3)
____
De même (a, b) = { (c, d) Є R² / d= c + (b-a)}
Un exemple ci contre :
x
a-b
4)
L’espace quotient est l’ensemble des classes d’équivalence des droites parallèles à celle du schéma ci dessus.
R²/R= { {(c,d) Є R²/ d=c+},  Є R}
Exercice 7
1) Soit R la relation de RxR définie par xRy  x=y².
2) Soit R la relation RxR définie par xRy  y=x².
Pour chacune des relations, donner le domaine et l’image de R. R est-elle injective, surjective ? R est-elle une
fonction, une application ?
1)
DomR =R+ et ImR=R
Si x1Ry et x1Ry alors x1=y² et x2=y² donc x1=x2 Donc la relation est injective.
De plus, elle est surjective car ImR=R (cf définition du cours : une fonction est surjective si ImR est l’ensemble
d’arrivée, ici R)
Rappel : R est une fonction si xRy1 et xRy2 => y1=y2
Y²=x => y= -(x) ou y=(x) et (x) -(x). Donc R n’est pas une fonction.
2)
DomR = R et ImR=R+
R n’est pas injective : contre-exemple : soit x1=2 et x2=-2, on a 2R4 et –2R4 et pourtant x1x2 (-22). Donc R
n’est pas injective.
R n’est pas surjective car ImRR.
R est une fonction :  x Є R si xRy1 et xRy2 alors x²=y1 et x²=y1. Donc y1=y2. Donc R est une fonction.
R est une fonction et DomR=R donc R est une application.
Exercice 8
Enumérer les éléments de D*70 (ensemble des diviseurs de 70)
Faire le diagramme de Hasse de (D*70, | ). Quel est le maximum et le minimum de (D*70, | ).
Déterminer les éléments minimaux de (D*70, | ) \ {1}.
Déterminer les éléments maximaux de (D*70, | ) \ {70}.
En faisant la division, on a
70
2
35
5
7
7
C’est à dire 70 = 2 x 5 x 7
Donc D*70 = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}
D’ou diagramme de Hasse ci contre.
1 |d  d Є D*70 donc 1=min(D*70)
d |70  d Є D*70 donc 70=max(D*70)
Si (D*70, | ) \ {1} alors les éléments minimaux sont 2, 5, 7.
Si (D*70, | ) \ {70} alors les éléments maximaux sont 10, 14, 35.
E
10
14
2
35
5
7
1
Exercice 9
Soit A un ensemble non vide. Soit R un relation. Montrer l’équivalence suivante :
(A, R) ordonné  (A, R-1) ordonné.
Soit (A, R).  x Є A xRx donc xR-1x donc on a (A, R-1). Donc on a bien la réflexivité.
 x, y, z Є A xRy ^ yRz => xRz donc zR-1y ^ yR-1x => zR-1x. Donc on a bien R-1 réflexive.
 x, y Є A xRy ^ yRx => x=y. De même on a yR-1x ^ xR-1y => y=x. Donc R-1 est antisymétrique.
Donc R-1 est une relation d’ordre si et seulement si R est une relation d’ordre. On a donc bien l’équivalence
(A,R) ordonné  (A, R-1) ordonné.
8